线性代数习题课5

1、第五章第五章 习题课习题课定义定义: 设有设有n维向量维向量,2121 nnyyyyxxxx记记x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn, 称称x, y为向量为向量x与与y的的内积内积. x, y =xT y.内积的运算性质内积的运算性质设设x, y, z为为n维向量维向量, 为实数为实数, 则则(1) x, y = y, x;(2) x, y = x, y;(3) x+y , z = x, z + y, z;(4) x, x 0, 当且仅当当且仅当x=0时有时有x, x=0.称称|x|为为n维向量维向量x的的长度长度(或或范数范数).,|22221nxxxxxx 定义定义

2、: 令令向量的长度具有下述性质向量的长度具有下述性质:(1) 非负性非负性: | x| 0, 当且仅当当且仅当x=0时有时有| x | = 0;(2) 齐次性齐次性: | x| = | | | x |;(3) 三角不等式三角不等式: | x+y | | x | + | y |.|,arccosyxyx 单位向量及单位向量及n 维向量间的夹角维向量间的夹角(1)当当| x |=1时时, 称称x为为单位向量单位向量.(2)当当| x | 0, | y | 0 时时, 称为称为n维向量维向量x与与y的的夹角夹角.1. 正交的概念正交的概念2. 正交向量组的概念正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两

3、两正交若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量则称该向量组为组为正交向量组正交向量组.当当x, y=0时时, 称向量称向量 x 与与 y 正交正交.由定义知由定义知, 若若x=0, 则则x与任何向量都正交与任何向量都正交.3. 正交向量组的性质正交向量组的性质 定理定理1: 若向量组若向量组 1, 2, , r 是是n维维正交向量组正交向量组, 则则 1, 2, , r 线性无关线性无关. 定义定义: 设设n维向量组维向量组e1, e2, , en是向量空间是向量空间V Rn的一组正交基的一组正交基, 且都是单位向量且都是单位向量, 则称则称e1, e2, , en是向是向量空间量空间V的

4、一组的一组规范正交基规范正交基. 若若e1, e2, , er 是向量空间是向量空间V Rn的一组的一组规范正交规范正交基基,则对任意的则对任意的 a V, 都有都有:a = 1e1+ 2e2+ r er 其中其中 i = erT, a = erTa, ( i =1, 2, , r )4. 求规范正交基的方法求规范正交基的方法(1) 正交化正交化(施密特正交化过程施密特正交化过程)设设a1, a2, , ar 是向量空间是向量空间V 的一组基的一组基. ,1112122bbbabab ,222321113133bbbabbbbabab 取取 b1 = a1,111122221111, rrrr

5、rrrrrbbbabbbbabbbbabab 则则b1, b2, , br两两正交两两正交, 且且b1, b2, , br与与a1, a2, ,ar等价等价.(2) 单位化单位化, 取取,|,|,|222111rrrbbebbebbe 则则e1, e2, , en是向量空间是向量空间V的一组的一组规范正交基规范正交基. 定理定理: A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是的列向量都是单位向量且两两正交单位向量且两两正交. 若若n阶方阵阶方阵A满足满足ATA = E, 即即A-1=AT, 则称则称A为为正交正交矩阵矩阵. 正交矩阵正交矩阵A的的n个列个列(行行)向量构成向量空

6、间向量构成向量空间Rn 的一的一个个规范正交基规范正交基.性质性质: 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变. 定义定义: 若若P为正交阵为正交阵, 则线性变换则线性变换 y = Px 称为正交称为正交变换变换.|xxxPxPxyyyTTTT 即即 定义定义: 设设A是是n阶方阵阶方阵, 如果数如果数 和和n维非零列向量维非零列向量x使关系式使关系式Ax = x成立成立, 那末这样的数那末这样的数 称为方阵称为方阵A的的特征值特征值, 非零向量非零向量x称为的对应于特征值称为的对应于特征值 的的特征向量特征向量. 称以称以 为未知数的一元为未知数的一元n次方程次方程| A E |

7、 = 0为方阵为方阵A的的特征方程特征方程. 记记f( ) = | A E |, 它是它是 的的n次多项式次多项式, 称其为方阵称其为方阵A的的特征多项式特征多项式.设设n阶方阵阶方阵A=(aij)的特征值为的特征值为 1, 2, , n, 则有则有: (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann;(2) 1 2 n = | A |.若若 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值, 则则(1) 是矩阵是矩阵AT的特征值的特征值, (2) m是矩阵是矩阵Am的特征值的特征值(m为正整数为正整数);(3) 当当A可逆时可逆时, 则则 -1是逆阵是逆阵A-1的特征值的特征值. 还可以

8、类推还可以类推: 若若 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值, 则则 ( )是是矩阵矩阵多项式多项式 (A)的特征值的特征值, 其中其中 ( )=a0+a1 +am m, (A)=a0E+a1A+amAm. 定理定理: 设设p1, p2, , pm是方阵是方阵A的分别对应于的分别对应于m个互个互不相等的特征值不相等的特征值 1, 2, , m的的m个特征向量个特征向量, 则则p1, p2, , pm线性无关线性无关. 注意注意2: 属于同一特征值的特征向量的非零线性组属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量合仍是属于这个特征值的特征向量; 注意注意3: 矩阵的特征向量总是相

9、对于矩阵的特征值矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一一个特征值具有的特征向量不唯一, 但一个特但一个特征向量不能属于两个不同的特征值征向量不能属于两个不同的特征值.注意注意1: 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的; 定义定义: 设设A, B都是都是n阶矩阵阶矩阵, 若有可逆矩阵若有可逆矩阵P, 使使P-1AP = B ,则称则称B是是A的相似矩阵的相似矩阵, 或说或说矩阵矩阵A与与B相似相似, 对对A进行进行运算运算P-1AP, 称为称为对对A进行相似变换进行相似变换, 可逆矩阵可逆矩阵P称为把称为把A变成变成

10、B的的相似变换矩阵相似变换矩阵. 定理定理1: 若若n阶阶矩阵矩阵A与与B相似相似, 则则A与与B的特征多项的特征多项式相同式相同, 从而从而A与与B的特征值亦相同的特征值亦相同. 推论推论: 若若n阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵 =diag( 1, 2, n )相似相似, 则则 1, 2, n 既是既是A的的n个个特征值特征值.相似矩阵的性质相似矩阵的性质:1. 相似矩阵是等价的相似矩阵是等价的:(1) 自反性自反性; (2) 对称性对称性; (3) 传递性传递性.3. P-1(A1A2)P = (P-1A1P)(P-1A2P).4. 若若A与与B相似相似, 则则Am与与Bm相似相似(m为正

11、整数为正整数) ).2. P-1(k1A1+k2A2)P = k1P-1A1P+k2P-1A2P.其中其中k1, k2是任意常数是任意常数 (A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1 =P(a0E+a1B+amBm)P-1=P (B)P-1.即即相似矩阵的多项式相似矩阵的多项式, 有相同相似变换矩阵有相同相似变换矩阵.Am = P mP-1; (A)= P ( )P-1.特别当矩阵特别当矩阵A与对角阵与对角阵 =diag( 1, 2, n )相似时相似时,则则;21 knkk 而对于对角阵而对于对角阵 , 有有 k = ( )=.)()()(21 n 结论结论: 若若f( )为矩阵

12、为矩阵A的特征多项式的特征多项式, 则矩阵则矩阵A的多的多项式项式f(A)=O. 定理定理2: n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵与对角矩阵 相似相似(即即A能对角化能对角化)的充分必要条件是的充分必要条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.定理定理1: 对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. 定理定理2: 设设 1, 2是对称矩阵是对称矩阵A的两个特征值的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量是对应的特征向量, 若若 1 2, 则则p1与与p2正交正交. 定理定理3: 设设A为为n阶对称矩阵阶对称矩阵, 是是A的特征方程的的特征方程的r 重根重根, 则矩阵则矩阵(A E

13、)的秩的秩R(A E ) = nr, 从而对应特从而对应特征值征值 恰有恰有r 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 定理定理4: 设设A为为n阶对称矩阵阶对称矩阵, 则必有则必有正交矩阵正交矩阵P , 使使P-1AP = , 其中其中 是以是以A的的n个特征值为对角元素的对个特征值为对角元素的对角矩阵角矩阵.定义定义: 含有含有n个变量个变量x1, x2, , xn的的二次齐次函数二次齐次函数f(x1, x2, , xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn称为称为二次型二次型.只含有平方项的二次型只含有平方项的二次

14、型 f(x1, x2, , xn)=k1y12+k2y22+knyn2称为称为二次型的标准形二次型的标准形(或或法式法式).,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA则二次型可记作则二次型可记作 f =xTAx, 其中其中A为对称矩阵为对称矩阵(矩阵表示矩阵表示).若记若记 对称矩阵对称矩阵A叫做叫做二次型二次型 f 的矩阵的矩阵, f 叫做叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型, 对称矩阵对称矩阵A的秩叫做二次型的秩叫做二次型 f 的秩的秩. 定理定理1: 任给可逆矩阵任给可逆矩阵C, 令令B=CTAC, 如果如果A为对称为对称矩阵矩阵, 则则B也为对称矩阵也

15、为对称矩阵, 且且R(A)=R(B). 说明说明1: 二次型二次型 f 经可逆变换经可逆变换 x=Cy 后后, 其秩不变其秩不变, 但但 f 的矩阵由的矩阵由A变为变为B=CTAC; 说明说明2: 要使二次型要使二次型 f 经可逆变换经可逆变换 x=Cy 变成标准变成标准形形, 就是要使就是要使,yT(CTAC)y =k1y12+k2y22+knyn2,),(212121 yyykkkyyynnn也就是要使也就是要使CTAC成为对角矩阵成为对角矩阵.定理定理2: 任给二次型任给二次型总有正交变换总有正交变换 y=Px, 使使 f 化为标准形化为标准形:),(1,jiijnjijiijaaxxa

16、f f = 1y12+ 2y22+ nyn2,其中其中 1, 2, , n,是是 f 的矩阵的矩阵A=(aij)的特征值的特征值.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出求出A; 2. 求出求出A的所有特征值的所有特征值 1, 2, , n ; 3. 求出求出对应特征值对应特征值 i 的正交单位化的特征向量组的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组从而有正交规范向量组 1, 2, , n ;1. 若二次型含有若二次型含有xi 的平方项的平方项, 则先把含有则先把含有xi的乘积

17、的乘积项集中项集中, 然后配方然后配方, 再对其余的变量同样进行再对其余的变量同样进行, 直到都直到都配成平方项为止配成平方项为止, 经过非退化线性变换经过非退化线性变换, 就得到标准形就得到标准形;2. 若二次型中不含有平方项若二次型中不含有平方项, 但是但是aij 0 ( i j ), 则则先作可逆线性变换先作可逆线性变换: kkjijjiiyxyyxyyx 化二次型为含有平方项的二次型化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按然后再按1中方中方法配方法配方.( k i, j ). 4. 记记P=( 1, 2, , n ), 作正交变换作正交变换x=Py, 则得则得 f 的的标准形标准形:f

18、 = 1y12+ 2y22+ nyn2 . 定义定义: 设有实二次型设有实二次型 f(x)=xTAx,显然显然 f (0)=0. 如果对任意的如果对任意的 x 0, 都有都有 f(x)0, 则称则称 f 为为正定二正定二次型次型, 并称对称矩阵并称对称矩阵A为正定矩阵为正定矩阵; 如果对任意的如果对任意的 x 0, 都有都有 f(x) j ), 证明证明A不可对角化不可对角化. 解解(1):方阵方阵A可对角化的一个可对角化的一个充分条件充分条件是是A有有n个个互异的特征值互异的特征值. 下面求出下面求出A的所有特征值的所有特征值.,00021222111 nnnnaaaaaaA因为因为所以所以 fA( )=| A E |=(a11 ) (a22 )(ann ),得得A的所有特征值的所有特征值 i = aii ( i =1, 2, , n ). 所以所以, 当当 i j