湖南师大附中2020—2021学年度高二第一学期期末考试数学试题(含答案解析)

1、而加大耐中2020-2021考斗女W二第一学期期东考我时量：120分钟 满分：150分命题：审题：高二数学备课组得分:一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设a为常数,命题p ： IzW 0.1 , 2,一a2O,则力为真命题的充要条件是 A.aWlB.alC.D.2 .已知向量。与的夹角是费且|a| =l，l6=4,若（3a+如）J_g则实数入 O的值为A -B C -D 八.2口 2333 .已知（771）”的展开式中各项的二项式系数的和为512,则这个展开 式中的常数项为A.-34B. -672C. 81D.

2、6724 .围祺起源于中国.据先秦典籍世本记载:“尧造围棋.丹朱善之”.至今已 有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智. 而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联.蕴含着中华文化的丰 富内涵.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局 匚胜制.即先胜1局的一方获得比赛冠军,比赛结束.假设每局比赛甲胜 乙的概率都为?9目各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中 O甲获得冠军的概率为A 1_R _8_r 16n 17A. 9B. 27C. 27D. 8今 1+V?cos（2q一）5 .已知a是第四象限角，且cosG-a） = ，则;=5 sin（

3、f+a）A. 一看B. -yC.yriy6.已知抛物线G的顶点在坐标原点，焦点F在3,釉正半轴上.若点F到双 曲线。2：卷一=1的一条渐近线的距离为2,则G的标准方程是A ,8/3R-16 月A. y 一一B. y C. / =8yD. i2 = 16）7.为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定:汽车驾驶员血液中 的酒精含量不得超过0. 09 mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒 后，血液中的酒精含量迅速上升到0. 3 mg/mL,在停止喝酒后，血液中每 小时末的酒精含量都比上个小时末减少25%.那么此人在开车前至少 要休息 （ 参考数据：lg 20. 301.1g 3*0. 4

4、77）A. 4. 1小时 B. 4. 2小时 C. 4. 3小时 D. 4. 4小时8 .在三棱锥PARC中平面PBCL平面八BC,/ACB=900,BC=PC=2, AC=PB,则该三棱锥体积的最大值为C 3273D三二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错 的得0分.9 .已知复数z=（l+2i）（2-i）*为之的共钝复数,则下列结论正确的是A n的虚部为3iB. |乏|=5C.之一4为纯虚数D.之在复平面上对应的点在第四象限10.已知函数 /（j）=Asin0 0,0中在一个周期内的图象如

5、图所 示，其中图象最高点、最低点的横坐标分 别为京、浮图象在轴上的截距为四则1时无零点B.当a = l时,/（1）只有一个零点C.当0,)0)的右焦点为F,点P在C的右支上, C)为坐标原点.若存在点P.使I尸FI = I OF I 且cosNOFP= 则双曲 线的离心率为.16 .若过点A(a,0)的任意一条直线都不与曲线C：y=Q、一De”相切.则。的 取值范围是.四、解答题：本大题共6个小题，共7()分.解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤.17 .(本小题满分10分)在锐角ABC中，角A、3、C所对的边分别为a已知2csin A=4a.(1)求角(?的大小；(2)若。=2, c=4

6、7 ,求ABC 的面积.高二数学试题(附中版)第3页(共8页)18 .（本小题满分12分）设数列4的前项和为S“，已知内=4,0=7二+2一4二GN”.（1）求数列.4的通项公式;设“产宾4一Z，数列,的前项和为T”求满足丁 乙 I I .，1乙 I 1 7IXz的正整数的最小值.19 .（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边 长为3的正方形，PA_L平面ABCD.PA=3.点E 在侧棱PC上（端点除外），平面ABE交尸D于点 F.（D求证:四边形ABEF为直角梯形；若求直线PC与平而AJ3EF、所成角的正弦值.高二教学试即（附中版）第5页（共8 M）20 .（本小

7、题满分12分）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了城市生活垃圾分类 制度实施方案,规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分 类，并且垃圾回收、利用率耍达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本 市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了 50 个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下 频数分布表,并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为,超标”社区.垃圾量12.5J5.5)15.5.18.5)18.5.21.5)21. 5,2-1. 5)21. 5,27.5)27.5.30.5)30.5,33. 5频数56912864Q）估计该市

8、A类社区这一天垃圾量的平均值不（2）若该市A类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（.27. 04）,其 中/近似为50个样本社区的平均值不（精确到0. 1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中.这一天共有8个“超标”社 区,市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来 源.设这一天垃圾量不小于30. 5吨的社区个数为X,求X的分布列 和数学期望.附:若X服从正态分布NJ./）,则尸（幺-YX/+#Q0. 6826/（一 2VX+28*0. 9544；P（-%1 都有/（/）wo成立.求实数4的取值范围.鬲二教学试题（附中板）第8

9、页（共8页）掰南亚大附中20202021多寺女W二第一季飒期本老武数学参考答案一、单项选择题:本大题共8个小题,每小题5分.共4。分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1. C【解析】命题P为真当/长01：时2一能成立，即能成立，所以cW（2，）m=2,选C.2. A【解析】因为（3a+M）_L。则（3a+M） q=O,即3/+加 6=0,即3+2人=0,得;1=1，选A.3. B【解析】由已知.2=512.则=9.所以。+】=。（笈（Z） = （ 2）CU宁,令9一3r=0,得厂=3 .所以常数项为（一2。= -8X84=-672,选B.4 .C【解析】设甲以3 - 0获

10、胜为事件小甲以3获胜为事件B则A.B互斥，且P（八）=（等） =3 J乙/P（B） =Ci（-1） 母等=暴所以 P（A+B）=+3=相.选 C.r A .44匚、上 门 4 4c34 dlm、,1 +cos2z+sin 2a 2cos，+2sin qcos。05 . A 【解析】由 已知付 cos a = -z-,sin a=丁，则原式 = 2cos ar53cos acos a2sin a=_ff = 选 A.55 J6.D【解析】双曲线C2的渐近线方程是今一q=0.即了= 士信r.因为抛物线的焦点厂（g）（P）到渐近 O V乙线、后上一y=0的距离为2.则“二=2.即力=8所以C,的标准

11、方程是川=16y选D.7.B【解析】设经过H小时,血液中的酒精含量为?,则y=0. 3X（l-25%r=0. 3X0. 75由03乂0,75，0.09.得0.75，40.3,则工植0. 75lg 0. 3,因为1g 0.75 Vo则禺惨=禹又7右lg U. / 0 lg a lg 4器粤W历=m=4.184*4.2.所以开车前至少爱休息4.2小时选B.u. 4/ / - U. 0U61Z0& D【解析】如图因为平面PBQL平面ABC.平面PBCCI平面ABC=BC.ACU平面ABC.PAC_BC.则 ACJ_平面 PBC.取PB中点A九连接CM.因为BC= PC= 2 ,则GWBP./ 以兴设

12、 AC=P8=2MOO2）.则 CM= y X2.rX /RZf。VA-nr=4-XT /PX2i=立卫三.设t=:不（02）.则 匕-咖=”与山=丝3.JJ00因为/）=女等,则当0荤时，V）0,VC）单调递增；当零f2时/（，）0,甘（）单调递 戒，所以当零时丫（外皿=嚼选D.0乙，二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得5分.部分选对的得3分有选错的得0分.9. BCD【解析】因为z=（l+2i）（2i）=4+3i则之的虚部为3.团=|之| = JTTF=5.z4=3i为纯虚数 对应的点（4,一3）在第四舜限,选BCD

13、.10. BC【解析】由图知C最小正周期T=2（一6）=江,则s=2.由 2X.+w=9 .得夕.由 /（0）=。，得 Asin 号=通则 A=2所以 /（%） = 2sin（2、THy ）.1乙乙JOJ当jre一雪时&+4W一希今则r）单调递增.因为 / （1+手）=2sin2 Q+膏）+y = 2sin （ 2.r+y ）,则 /（i+得）不是偶函数,选 BC.11. ACD【解析】因为抛物线开口向右.p=4则准线/的方程是1 = 一2.因为焦点F（2,0） ,则|ME| 一|,必比正产|=笈.当点尸在线段“后上时取等号.所以|建|一|M臼的最大 值为虚.过点M.E分别作准线/的垂戏,垂足

14、为八,所则|也定| + |尸| =也曰+ |初4|冽8|=5,当点”在线段 EB上时取等号，所以IMEI + IMFI的最小值为5.设点MQ1） y,） 线段MF的中点为D.则死=以4 =耳1 ,所以以线段MF为直径的圆与）轴相切选 乙乙ACD.12. ABD【解析】令/Q）=0则 w+且一2=0,即 / 2w+a=0Q0） 即。=一/十21（1#0）.* ,考察直线y=a和抛物线y = /+2w（iK0）的位置关系，由图可知.当al时JQD无零点；当a=或。=0时./G）只有一个零点当a且a0时,/1）有两个零点；若户汇）有两个零点才】,则了】是方程；2才+口=0的两根由韦达定理得力+4=2

15、选ABD.三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.共2。分.13.1 【解析】设球（）的半径为R.八3c的外接圆半径为小球心。到平面八3。的距离为d.由4nR2 = 167,得R=2；由2厂=高瑞 =2乃得厂=总,所以d= /J?2-；-=1.14.36 【解析】先将4名医务人员分成无记号3组,其中有一纽2人.另两组各1人，有C：=6种方法；再将三组人员安排到3个乡镇,有Ai =6种方法.据分步乘法计数原理.不同的安排方法共有6X6=36种.15.2 【解析】设双曲线的左焦点为E.在EFP中.|EW=2, . |PF|=c.cos/EFP=.由余弦定理，得|PE|2=4c2+c2-2 2r

16、1=4儿则|PE| =2。由双曲线定义，得I PE| - I PP| =2a,则,=所以e= = 2.a16 . （-3-1）【解析】设点J3Crc .（加一1）小。）为曲线C上任意一点因为J = F 1） U =才小 则曲线C在点5处的切践，的方程为了一（a一De% =z）M）（1一石）.据题意,切线I不经过点A ,则关于我 的方程一 l）e。= aieo （一%）即城（a + 1 = 0无实 根,所以=（+l）24o.解得3Va0则 a = 3.所以的面积 S = JMsinC=X3X2sir）等 =峙. Z乙J 乙18 .【解析】（1）因为 S=a+i+2-4,如J Sfi i =aw+

17、2;z6（h2）. 当 “）2 时,a=StSi =*,十 1一。川+2,即 a, =勿精一2即人+I2 = 2（an 2）. 因为 m2=2取”=1.则 .-2=Si=ai=4=2Qi-2）. 所以%-2是首项和公比都为2的等比数列，从而即-2=2,所以% = 2+2. 、22内+1 （2八+ 1）1（2,由题戏4一（2 + 1）（2 f+1） （2 + 1）（2川+1）一1-2田+1 则 T =（2Ti-22 + l ） +（22 + 1-24-1 卜 卜（212+1 ） =4_一尸? * 由十一悬于啮，得悬百120.即/119,则66 所以正整数的最小值为6.分分分分分19 .【解析】（

18、1）因为ABCD.CDU平面PCD.八30平面PCD.则AB 平面PCD （1因为 ABU平面 ABEF,平面 ABEFCI平面 PCD=EF.则 ABEF. （2又EFCD=AB.所以四边形A/3EF为梯形.（3因为PA_L平面ABCD,则八B_LP八，又八所以八B_L平面PAD （4又AFU平面PAD,则AB_LAF.所以四边形A8EF为直角梯形. （5（2）解法一：因为AB_L平面PAD.则平面ABEEL平面PAD./人作 PMA.AF,垂足为 M,则 PMJ_平面 AI3EF./vK连接EM,则/PEM为直线PC与平面A3 所成的角. （7分） / ;在 RtNPAD 中.因为 PA=

19、AD=3.则 PD=3笈.因为 PF=2FD.则 PP=2虎/ ：俱（8分）/竺梦?在ZV1PF中.因为/APF=451由余弦定理得AF = 3? +（2笈产一2X3X29 任二二cos 450=5,则 AF=V （9分）3C由八尸乂只必=。八乂。55M45,将花尸=3乂2历乂考,则/小4=强. （10分）因为 EFCD,CD_LPD,则 PE=2EC=-PC= 7PD2+CD3 =273. （11分）oO取y=1，则之二一2.所以;i=（0t 1, 2）.（11 分）高二数学参考答案（附中版）一 5因为 cos/至= 3+6 =/1!m |PC|-75X3y3 5，所以直线PC与平面ABEF

20、所成角的正弦值为牢. （12分）20 .【解析】（1）样本数据各组的中点值分别为14,17,20,23262932,则一 14X5+17X6+20X9+23X12+26X8+29X6+32X4今今供=50=22. 76.估计该市人类社区这一天垃圾量的平均值约为2276吨. （3分）（2）据题意甲=22.8./=27 04.即。=5.2则 P（X28） = P（X+o） =匕竽螫=0. 1587.因为320X0.1587=50. 784*51,估计该市A类社区中“龙标”社区约51个.（6分）（3）由频数分布表知.8个社区中这一天的垃圾量不小于30. 5吨的超标社区有4个则垃圾量在27.5.30.

21、 5）内的“超标社区也有4个.则X的可能取值为1,2,3,4. （7分）尸（X=l） =若=吉,尸（X=2）=.P（X=3）=甯=半0*=4）=甯=（10分） 则X的分布列为：X1234P11433 T1 U所以 EX=lX1+2xg+3xU+4x = ?.14/ i 14 c（11 分）（12 分）21 .【解析】（1）由圆F的方程知圆心为F（LO） ,半径为272. （1分）设圆M和圆F内切于点D,则D.MF三点共缘且|QF|=2，/L因为圆 M过点E.MJ |ME| = |MD| .于是ME| + |MF| = |MD| + |MF| = |DF|=2|EF|=2, 所以圆心M的轨迹是以EF为焦点的椭圆.（3分）2因为2a = 2、笈则a=又c=l 则产=1 所以曲线C的方程是彳+丁 = 1. （5分）乙当直线，与工轴不重合时,设直线，的方程为n = T，+1 ,代入卷+丁 = 1,得（切+1）2+2；/=2,设点A（力八），B（ ,）,则y+=2t._1w*=一壬（7分）即（产+2）y2 + 2y1=0.设点 P（ni,O）,则 PA