四年级-数学笔记-下

1、一、 四则运算【加法的意义】 把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。相加的两个数叫做 加数 ；加得的数叫做 和。【减法的意义】 已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减 法。在减法中，已知的和叫做 被减数 。【加法各部分间的关系】和 = 加数 + 加数 加数 = 和 另一个加数【减法各部分间的关系】差 = 被减数 减数 减数 = 被减数 差 被减数 = 减数 + 差 【加减法间的关系】 减法是加法的逆运算。【乘法的意义】 求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做 因数 ；乘得的数叫做 积。 如果给数字赋予意义，加法中的连个加数之间的意义相同；而乘法中的两个因数

2、之 间意义不同。例如： 3 只羊和 5 只羊合起来一共 8 只羊，算式是 3 + 5 = 8 ，这里的加数 3 和 5，它 们指的都是羊的个数，二者意义相同。有 3 个小队，每个小队有 5 只羊，总共的羊的数量是 3 x 5 = 15 ，这里的因数 3和 5，3指的是 3个队伍， 5指的是每个队伍有 5只羊，二者意义不同。【除法的意义】 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因素的运算，叫做除 法。在除法中，已知的积叫做 被除数。【乘法各部分间的关系】积 = 因数 x 因数 因数 = 积 ÷ 另一个因数【除法各部分间的关系】商 = 被除数 ÷ 除数除数 = 被除数 

3、47; 商被除数 = 商 x 除数【乘除法间的关系】 除法是乘法的逆运算【0 在四则运算中的特性】如5 + 0 = 5如 9 0 = 91. 加法中，一个数加上 0 ，还得原数。2. 减法中，一个数减去 0 ，还得原数。3. 乘法中，一个数和 0 相乘，均得 0如 182 x 0 = 04. 除法中， 0 除以一个非 0 的数，还得 0(注：0 不能做除数 )。 如 0 ÷ 92 = 0【四则运算】 加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。【运算顺序】1. 没有括号的四则混合运算的算式中，先算乘、除法，后算加、减法。2. 含有小括号的混合运算顺序是：先算小括号里面的，再算小括号外面的。

4、括号里面 的算式运算顺序遵守上述第 1 条。3. 既有小括号，又有中括号(也叫方括号)的算式中，先算小括号里面的，再算中括 号里面的，最后算中括号外面的。【分析】例： 96 ÷ ( 32 + 16 ) x 2 推理出图示方式。最先计算 (32 + 16) ，故 32 和 16 应该在图的最顶部(32 + 16) 计算结果看成整体这是运算的第二步，故计算结果和 2 放在图的第二层96 除以 x2 运算后的结果，这是整体运算的第三步 放在图的第三层根据图示反推算式，就是上述分析的逆过程。图示表达式中，从上到下分为不同的 层，每一层代表一步计算顺序，从上到下依次进行，这与先乘除后加减，先算

5、括号内 再算括号外的规则一一对应。【租船策略问题】一共 32 人，大船限乘 6 人，每船租金 30 元；小船限乘 4 人，每船租金 24 元。问如 何租船最省钱。两条原则：1. 优先选择单价最便宜的方式2 条原则的方法进行，当出现同时满足5 元( 30 ÷ 6 = 5 )；6 元( 24 ÷ 4 = 6 )；2. 尽可能保证没有空位寻找租船方案时，每一步都要按同时满足上述2 条原则时，该方案即为最优方案。大船租金 30 元，限乘 6 人，相当于平均每人小船租金 24 元，限乘 4 人，相当于平均每人大船人均单价比小船人均单价便宜。按照原则1，需要优先选择大船。总人数 32

6、人方案 1方案 2方案 3大船数限6人租金 306条5条4条小船数限4人租金 240条1条2条大船剩余空位数4位0位0位小船剩余空位数0位2位0位实际总租金6x30= 1805x30+24= 1744x30+2x24= 168到方案 3 时，同时满足了 2 条原则。所以方案 3 计算出的总租金是最便宜的。 【门票策略问题】一共 32 人，其中成人 4 人，儿童 28 人。按下列门票规则，如何买最划算？ 公园门票：成人票 20 元/人，儿童票 10 元/人，团体票 15 元/人（满 5 人以上） 一条原则： 尽可能选择便宜的票价。与租船问题差异： 租船以船（可坐若干人）为单位整体付租金，可能产生

7、空位。而门 票问题直接按人付费，不可能产生空位。 各自买对应的票价：总票价 = 4 x 20 + 28 x 10 = 80 + 280 =360 元 团体票更便宜，全选团体票：总票价 = 32 x 15 = 480 元 方案中成人选择了便宜的团体票价，但儿童却选择了更贵的团体票，所以总票款 更贵了。如果儿童选择儿童票，成人选择团体票，那就可以让不同的人都选择更便 宜的票价。 总票价 = （4+1 ） x15 + （28-1 ）x10 = 75 + 270 = 345 元观察物体（二）一句话：多观察，同时在脑海中建立起立体的空间想象图形立体图左视图三、运算定律加法 交换律】两个数相加，交换加数的

8、位置，和不变。加法 结合律】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。乘法 交换律】 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 乘法结合律】 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。【乘法 分配律】 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相 加。【减法 的运算性质】1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变。【除法 的运算性质】1. 一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。2. 在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变。运算定律表达公式特征加法交换律a + b = b + a1

9、. 纯加法算式2. 减法没有交换律乘法交换律a x b = b x a1. 纯乘法算式2. 除法没有交换律加法结合律(a + b) + c = a + (b + c)纯加法算式乘法结合律(a x b) x c = a x (b x c)纯乘法算式乘法分配律(a ± b) x c = a x c ± b x c a x (b ± c) = a x b ± a x c1. 符号“ ±”指加法或减法；2. 乘法与加法（或减法）的混合算式；3. 公因数写在括号前或后均可；减法性质a b c = a (b + c) a b c = a c b a + b

10、 c = a c + b a b + c = a + c - b1. 纯加减法算式；2. 加（或去）括号时， 若括号前是减 号，括号内的运算符号要同级变号 ； 如： +变成-，-变成+ ；若括号前是 加号，括号内的运算符号不变；3. 后三个公式表示的实际是交换律的性 质，需要注意的是 数字要和它前面的 符号一起交换 ；如： +b-c 变为 -c+b除法性质a ÷ b ÷ c = a ÷ (b x c) a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b a x b ÷ c = a ÷ c x b a ÷

11、 b x c = a x c ÷ b1. 纯乘除法算式；2. 加（或去）括号时， 若括号前是除 号，括号内的运算符号要同级变号； 如： x 变成÷，÷变成 x； 若括号前是 乘号，括号内的运算符号不变；3. 后三个公式表示的实际是交换律的性 质，需要注意的是 数字要和它前面的符号一起交换 ；如： xb ÷c 变为÷cxb【学习运算定律的意义】 即使没有运算定律，一样可以对算式进行加减乘除运算。但 是掌握了运算定律，可以简化运算，降低计算错误的可能性，提高运算效率。【加减法巧算法】1. 凑整法： 观察算式中哪几个数可以凑成整十整百，利用加法交换律

12、、加法结合律以 及减法的运算性质，进行巧算。例：115 + 132 + 118 + 85 66 34= (115 + 85) + (132 + 118) (66 + 34) = 200 + 250 - 100 = 3502. 分解法 ： 观察算式中数字的特点，如果不能用凑整法，但是个别数字接近整十、 整百，该数字可以分解为整十整百和另一个数的差(或和)，从而简化计算。例：198 + 1997 + 204 = (200 -2) + (2000 3) + (200 + 4)= 200 + 2000 + 200 2 - 3 + 4 = 2400 5 + 4 = 2400 1 = 2399【乘除法巧算

13、法】1. 提取公因数： 观察算式中所有数字的特点，如果发现有公因数，可以利用乘法分配 律来提取公因数，简化计算。例 1：36 x 29 + 36 = 36 x 29 + 36 x 1 = 36 x (29 + 1) = 36 x 30 = 1080例 2: 666 x 444 + 333 x 112 = 333 x 2 x 444 + 333 x 112= 333 x ( 2 x 444 + 112) = 333 x (888 + 112) = 333 x 1000 = 3330002. 凑整法： 观察算式中数字的特征，如果发现不同数字间有整数倍的关系，或者凑整 的情况，可以利用乘法交换律等方

14、法，简化计算。例： 146 x 21 ÷ 73 x 25 x 4 = (146 ÷ 73) x 21 x (25 x 4) = 42 x 100 = 42003. 分解法： 观察算式中数字的特点，如果存在特殊运算情况，可以分解数字，使算式 出现特殊运算情况，从而简化计算。例 1 ： 12 x 25 = 3 x 4 x 25 = 3 x (4 x 25) = 3 x 100 = 300例 2：(12 x 25) = (10 + 2) x 25 = 10 x 25 + 2 x 25 = 250 + 50 = 300四、小数的意义和性质【小数的组成】 由 整数部分 、小数点 和小

15、数部分 三部分组成。【小数的必要性】 现实生活中的很多数字都不是整数，比如课桌的高度是 1 米多，这 就需要用小数来表达。【小数和分数】小数是分数的另一种表示形式。分母是 10 的分数改写为小数时，小数点后有 1 位小数。如： 7 / 10 = 0.7 分母是 100 的分数改写为小数时，小数点后有 2 位小数。如： 34 / 100 = 0.3410 份里涂色部分占 7 份，所以是 7 / 10 ，或者 0.7。 【小数的意义】 分母是 10 、100 、1000 的分数可以用小数表示。 【小数的计数单位】 计数单位是十分之一、百分之一、千分之一分别写作0.1 、0.01 、0.001 。每

16、相邻两个计数单位之间的进率是10 。【小数的读法和写法】 有关“ 0”的读法： 整数部分每级末尾的“ 0”不读，中间无论有几个“ 0”都只读一 个零；小数部分有几个“ 0”都要依次读出来。整数部分 小数点 小数部分1 · 8举例5·6312·378数位万 位千 位百 位十 位个 位十分 位百分 位千分 位万分 位计数单位万千百十一十分之一百分之一千分之一万分之一表示含义几 个 万几 个 千几 个 百几 个 十几 个几个 十分 之一几个 百分 之一几个 千分 之一几个 万分 之一整数部分最小的数位是个位 ；整数部分没有最大的数位。小数部分最大的数位是十分位 ；小数部

17、分没有最小的数位 【小数的性质】小数的末尾添上“ 0”或去掉“ 0”，小数的大小不变，但意义发生改变【小数的大小比较】先比较整数部分，整数部分大的那个数就大； 整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大； 十分位上的数也相同，就比较百分位，百分位上的数大的那个数就大小数的大小比较整数的大小比较相同点从高位开始逐一比较：高位上的数大，这个数就大。不同点小数的大小与小数位数的多少无关整数数位多的数一定比数位少的数大小数点移动】10 倍100 倍1000 倍1/101/1001/1000右 移 1 位右移 2 位右 移 3 位左 移 1 位左 移 2 位左移 3 位【小数与单位换算中的

18、进率问题 】 小数的不同数位中，相邻数位间的进率是 10 。 带有单位的小数在进行单位换算时，要注意不同单位间的进率是不是 10 。 如果不同单位间的进率也是 10 ，那么它们可以和小数的不同数位进行一一对应； 例如：元角分相邻单位间进率是 10 ， 9.28 元 = 9 元2 角8 分 如果不同单位间的进率不是 10 ，就不能和小数数位一一对应，而要按单位间的进率进 行换算； 例如：吨和公斤间的进率是 1000 ，9.28 吨 = 9 吨 + 0.28 吨 = 9 吨280 公斤 【小数与单位换算中的 换算方向 】 举例说明： 1 元和 10 角是等价的， 1 元就像是零散的 10 角的一个

19、大包装。大小单位 间的换算，就像把东西组成大包装或者从大包装里拆出零散的小包装一样。对 1 元和 10 角进行等价换算，“元”的大包装换成“角”的小包装时，包装（单 位）变小，数量（数字）就会变大；反过来，包装（单位）变大，数量（数字）就会 变小。大单位变为小单位，数字会变大，需要乘以进率； 小单位变为大单位，数字会变小，需要除以进率； 例如：“米”和“厘米”间的进率是 100。 6 米换为 厘米时，单位变小，数字需要变大， 6需要乘以进率 100 ，所以 6米 = 600 厘米。“吨”和“公斤”间的进率是 1000 。 3000 公斤换为 吨时，单位变大，数字需要变小， 3000 需要除以进

20、率 1000 ，所以 3000 公斤 = 3 吨。【带有单位的小数的组成】 带有单位的小数，如果由若干个不同单位的数字部分组成，它们之间是“+ ”的关系在这个理解基础上，就方便进行单位换算了。例如： 1 米 45 厘米 = 1 米 + 45 厘米 = 1 米 + 0.45 米 = 1.45 米【小数的精确度】 一个小数的最后一位是哪一位（指数位），就说明这个小数精确到了哪一位。 如： 0.984 的最后一位是千分位，说明 0.984 精确到千分位。【求近似数】 求近似数的方法是 四舍五入 。求近似数时 要求把小数精确到哪一位，就 要对这一位的下一位进行四舍五入处理 。 是否是近似数，关键看是否

21、有四舍五入动 作产生。例如： 0.984 要求保留 2 位小数，就要对第 3 位小数“ 4”进行四舍五入处理， = 0.98 789230000 = 7.8923 亿，这个换算不是近似数，因为没有四舍五入动作产生。五、三角形【两点间的距离】 两点间所有连线中，线段最短。这条线段的长度叫做两点间的距 离。注：所有的连线，可能是直线，也可能是曲线。【三角形的定义】 由 3 条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角 形。【高和底】 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的 高；这条对边叫做三角形的 底。三角形有 3 条边， 3 个角， 3 个顶点， 3

22、个高， 3 个底。三角形具有稳定性。 三角形任意两边之和大于第三边。判断 3 条线段能否围成三角形的方法：拿较短的两条线段相加，再与最长的线段相 比，大于最长线段则可以围成三角形；否则不能围成。< 120三角形 3 个内角之和等于 180 °。 三角形任意两个内角之和 不一定 大于第三个 角。例如：30° + 30 ° + 120 °这样一个等腰三角形， 30° + 301. 任意一个三角形都有 2 个角是锐角。它是什么角，这个三角形就是什么三角形2. 等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况，等边三角形一定是等腰三角形；但是反 过来等腰三角

23、形不一定是等边三角形。3. 按角分类还是按边分类，它们只是对三角形的不同角度，就像对学生既可以按性别 区分，也可以按高矮区分一样。等腰三角形（按边来说）可以是锐角三角形、直角 三角形或者钝角三角形（按角来说）。在直角三角形中，如果两条直角边相等，那 么它可以进一步叫做等腰直角三角形（它的两个底角都是 45 °，就是三角板中的其 中之一）。4. 等边三角形的每个角都是 60 °，它属于锐角三角形。【内角和】三角形的 3 个内角和是 180 °；四边形的 4个内角和是 360° = 2 x 180 °（四边形可以分成 2 个三角形）；五边形的 5个

24、内角和是 540° = 3 x 180 °（五边形可以分成 3 个三角形）；n 边形内角和 = （ n 2 ） x 180 °（n 边形可以分成 （n - 2 ）个三角形）；四边形分为 2 个三角形六、小数的加法和减法【对比】整数加减法： 相同数位 要对齐，从 个位 开始运算；若加满 10 则进 1 （加法）；若不够 减从前一位退 1 当 10 ，和本位上的数加在一起再减（减法）；小数加减法： 小数点 要对齐，从 末位开始运算；若加满 10 则进 1（加法）；若不够减 从前一位退 1 当 10 ，和本位上的数加在一起再减（减法）；得数的小数点同样对齐；6 . 4

25、58 . 3+ 8 . 3 - 6 . 4 51 4 . 7 51 . 8 5加减法的运算定律（ 加法交换律、加法结合律、减法的运算性质 ）同样适用于小数减法运算性质）4.97 2.8 1.2 = 4.97 (2.8 + 1.2) = 4.97 4 = 0.97七、图形的运动（二）【轴对称图形】 如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，那 么这个图形叫做 轴对称图形 ，折痕所在的直线叫做 对称轴 。左右对称左右不对称如上图 AB 之间的连线与对称轴对称图形中，对称点之间的连线与对称轴互相垂直。 轴虚线相互垂直。 轴对称图形中，对称点到对称轴的距离相等。【根据对称轴补全对称图形

26、的方法】 找出图形上每条线段的端点； 根据对称轴确定每一个端点的对称点； 依次连接各对称点，将图形补全； 【图形平移】 图形在平移的过程中，每个对应点移动的距离都相等。对应点之间的方 格数即平移的距离。面积不好计算确定方格中图形平移的方向和距离的方法是： 根据箭头的指向确定平移（上、下、左、右）的方向； 找出平移前后两个图形的一组对应点，对应点之间的格数就是平移的距离；图形平移的作用：可以把不规则图形转化成规则图形，方便分析和计算。通过平移变为长方形，面积好计算八、平均数与条形统计图【平均数的意义】 一组数据的和除以这组数据的个数，所得的商叫做平均数。 它是描述数据集中趋势的一个统计量，常用于

27、表示统计对象的一般水平，可以描述一 组数据的总体情况。【平均数的求法】1. 移多补少法 ，从多的数量中拿出一部分给少的数量，使它们的数量相等。2. 公式法 ， 总数量 ÷总份数 = 平均数 平均数 x 总份数 = 总数量 【平均数和平均分的区别】平均数 并不是实际每份的数量，它不是一个实际的数，而是借助平均分 的意义通过计算得到的。平均分 的结果是真实存在的，每个数量都一样多。 平均数 的结果是“虚拟”的，是假 设各个数量都一样多。例如： 2 个孩子一1共2 个苹果，一个人有 4 个，另一个人有 8 个，平均每个孩子有 6 个苹果。这里的“ 6 个”就是平均数，并不代表每个孩子一定有

28、 6 个苹果。而如果把 12 个苹果平均分给 2个孩子，每个人有 6个。这里的“ 6个”是平均分的结 果，是每个孩子实际分得的个数。【用平均数比较几组同类数据的方法】 计算出每组数据的平均数； 对比各个平均数，综合分析； 进行正确判断，解决问题； 【复式条形统计图】 在同一个条形统计图中，用两种（或多种）不同的直线描述两组（或多组）不同的数 据，这样的统计图叫做复式条形统计图。两个单式条形统计图合成一个复式条形统计图】表2图1图21980 年1990 年2000 年xx 年城镇21273546乡村58544943复式条形统计图单式条形统计图不同点表示的数据同时表示出两组（或多组）数据只表示一组数据图例用两种（或多种）直条表示不同数据， 要标出图例只用一种直条表示数据，不需要图例反映的信息体现每组数据的信息；对比两组（或多组）数据，发现更多信息直观体现一组数据所包含的信息相同点纵轴和横轴的画法相同，都是用直条的长短表示数量的多少九、数学广角 - 鸡兔同笼大约 1500 年前，我国古代数学名著孙子算经中记载了“鸡兔同笼”数学趣题。 鸡兔同笼，共有 8 个头， 26 只脚，问鸡和兔各有几只？两类解题方法： 【 1 】列表猜测法【 2】假设法【1 】 列表猜测法 （数据较大时不适合用，列表数据很多很繁琐） 思路：不管鸡有多少只，兔有多少只，总头数始终是 8 不