高三数学导数的应用测试题

1、浙江省平阳县第三中学高三数学浙江省平阳县第三中学高三数学 导数的应用测试题导数的应用测试题类型一 利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)；(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)例 1(2012 年高考安徽卷改编)设函数f(x)aex1aexb(a0) 在点(2，f(2)处的切线方程为y32x， 求a，b的值跟踪训练已知函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线yf(x

2、)的三条切线，求a的取值范围类型二 利用导数研究函数的单调性例 2(2012 年高考山东卷改编)已知函数f(x)lnxxke(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间跟踪训练若函数f(x)lnx12ax22x存在单调递减区间，求实数a的取值范围类型三 利用导数研究函数的极值与最值例 3(2012 年高考北京卷)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单

3、调区间，并求其在区间(，1上的最大值跟踪训练(2012 年珠海摸底)若函数f(x)2x33x21（x0）eax（x0），在2，2上的最大值为 2，则a的取值范围是()A12ln 2，)B0，12ln 2C(，0D(，12ln 2导数应用同步作业导数应用同步作业一、选择题一、选择题1 1设设a a为实数，函数为实数，函数f f( (x x) )x x3 3axax2 2( (a a2)2)x x的导函数是的导函数是f f( (x x) )，且，且f f( (x x) )是偶函数，则曲线是偶函数，则曲线y yf f( (x x) )在原点处的切线方程为在原点处的切线方程为( () )A Ay y2

4、 2x xB By y3 3x xC Cy y3 3x xD Dy y4 4x x2 2已知函数已知函数f f( (x x) )的导函数为的导函数为f f( (x x) )，且满足，且满足f f( (x x) )2 2xfxf(1)(1)lnlnx x，则，则f f(1)(1)( () )A Ae eB B1 1C C1 1D De e3 3函数函数f f( (x x) )3 3x x2 2lnlnx x2 2x x的极值点的个数是的极值点的个数是( () )A A0 0B B1 1C C2 2D D无数个无数个4 4(2011(2011浙江高考浙江高考) )设函数设函数f f( (x x)

5、)axax2 2b bx xc c( (a a，b b，c cR)R)若若x x1 1 为函数为函数f f( (x x)e)ex x的一个极值点，则的一个极值点，则下列图像不可能为下列图像不可能为y yf f( (x x) )图像的是图像的是( () )二、填空题二、填空题5 5(2011(2011嘉兴模拟嘉兴模拟) )已知函数已知函数f f( (x x) )x xe ex x，则，则f f( (x x) )_；函数；函数f f( (x x) )的图像在点的图像在点(0(0，f f(0)(0)处的处的切线方程为切线方程为_6 6已知函数已知函数f f( (x x) )1 12 2mxmx2 2

6、lnlnx x2 2x x在定义域内是增函数，则实数在定义域内是增函数，则实数m m的取值范围为的取值范围为_7 7已知函数已知函数f f( (x x) )axax3 3bxbx2 2cxcx，其导函数，其导函数y yf f( (x x) )的图像经过点的图像经过点(1,0)(1,0)，(2,0)(2,0)，如图所示，则下列说，如图所示，则下列说法中法中不不正确的是正确的是_当当x x3 32 2时函数取得极小值；时函数取得极小值；f f( (x x) )有两个极值点；有两个极值点；当当x x2 2 时函数取得极小值；时函数取得极小值； 当当x x1 1 时函数取得极大值时函数取得极大值三、解

7、答题三、解答题8 8已知函数已知函数f f( (x x) )axax3 33 3x x2 21 13 3a a( (a aR R 且且a a0)0)，试求函数，试求函数f f( (x x) )的极大值与极小值的极大值与极小值9 9已知函数已知函数f f( (x x) )x x3 3axax2 2bxbxc c在在( (，0)0)上是减函数上是减函数，在在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数，函数函数f f( (x x) )在在 R R 上有三上有三个零点，且个零点，且 1 1 是其中一个零点是其中一个零点(1)(1)求求b b的值；的值；(2)(2)求求f f(2)(2)的取值范围的取值范

8、围1010(2011(2011江苏高考江苏高考) )已知已知a a，b b是实数是实数，函数函数f f( (x x) )x x3 3axax，g g( (x x) )x x2 2bxbx，f f( (x x) )和和g g( (x x) )分别是分别是f f( (x x) )和和g g( (x x) )的导函数，若的导函数，若f f( (x x) )g g( (x x) )0 0 在区间在区间I I上恒成立，则称上恒成立，则称f f( (x x) )和和g g( (x x) )在区间在区间I I上单调性一致上单调性一致(1)(1)设设a a0.0.若若f f( (x x) )和和g g( (x

9、 x) )在区间在区间 1 1，) )上单调性一致，求上单调性一致，求b b的取值范围；的取值范围；(2)(2)设设a a0 0 且且a ab b. .若若f f( (x x) )和和g g( (x x) )在以在以a a，b b为端点的开区间上单调性一致，求为端点的开区间上单调性一致，求| |a ab b| |的最大值的最大值第三讲第三讲导数的应用导数的应用（聚焦突破）类型一 利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)；(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0

10、)f(x0)(xx0)例 1(2012 年高考安徽卷改编)设函数f(x)aex1aexb(a0) 在点(2，f(2)处的切线方程为y32x， 求a，b的值解析f(x)aex1aex，f(2)ae21ae232，解得ae22 或ae212(舍去)，所以a2e2，代入原函数可得 212b3，即b12，故a2e2，b12.跟踪训练已知函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线yf(x)的三条切线，求a的取值范围解析：(1)由题意得f(x)3x21.曲线yf(x)在点M(t，f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt)，即y(3t

11、21)x2t3，将点(1，0)代入切线方程得 2t33t210，解得t1 或12，代入y(3t21)x2t3得曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程为y2x2 或y14x14.(2)由(1)知若过点(a，0)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程 2t33at2a0 有三个相异的实根，记g(t)2t33at2a.则g(t)6t26at6t(ta)当a0 时，函数g(t)的极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3a，要使方程g(t)0 有三个相异的实数根，需使a0 且a3a0 且a210，即a1；当a0 时，函数g(t)单调递增，方程g(t)0 不可能有三个相异的实数根；当a0 时，函数g(t)

12、的极大值是g(a)a3a，极小值是g(0)a，要使方程g(t)0 有三个相异的实数根，需使a0，即a0，即a0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0 时，yax22x1 为开口向上的抛物线，所以ax22x10 在(0，)上恒有解；(2)当a0，此时1a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解析(1)f(x)2ax，g(x)3x2

13、b，因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且 2a3b.解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)当b14a2时，h(x)x3ax214a2x1，h(x)3x22ax14a2.令h(x)0，得x1a2，x2a6.a0 时，h(x)与h(x)的变化情况如下：x(,)2a 2a(,)26aa6a(,)6a( )h x00( )h x所以函数h(x)的单调递增区间为(，a2)和(a6，)；单调递减区间为(a2，a6)当a21，即 0a2 时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为

14、h(1)a14a2.当a21，且a61，即 2a6 时，函数h(x)在区间(，a2)上单调递增，在区间(a2，1上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为h(a2)1.当a66 时，函数h(x)在区间(，a2)上单调递增，在区间(a2，a6)上单调递减，在区间(a6，1上单调递增，又因为h(a2)h(1)1a14a214(a2)20，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h(a2)1.跟踪训练(2012 年珠海摸底)若函数f(x)2x33x21（x0）eax（x0），在2，2上的最大值为 2，则a的取值范围是()A12ln 2，)B0，12ln 2C (，0D(，12ln 2解析：当x0 时，

15、f(x)6x26x，易知函数f(x)在(，0上的极大值点是x1，且f(1)2，故只要在(0，2上，eax2 即可，即axln 2 在(0，2上恒成立，即aln 2x在(0，2上恒成立，故a12ln 2.答案：D导数应用同步作业导数应用同步作业一、选择题一、选择题1 1设设a a为实数，函数为实数，函数f f( (x x) )x x3 3axax2 2( (a a2)2)x x的导函数是的导函数是f f( (x x) )，且，且f f( (x x) )是偶函数，则曲线是偶函数，则曲线y yf f( (x x) )在原点处的切线方程为在原点处的切线方程为( () )A Ay y2 2x xB By

16、 y3 3x xC Cy y3 3x xD Dy y4 4x x解析解析： 由已知得由已知得f f( (x x) )3 3x x2 22 2axaxa a2 2， 因为因为f f( (x x) )是偶函数是偶函数， 所以所以a a0 0， 即即f f( (x x) )3 3x x2 22 2， 从而从而f f(0)(0)2 2，所以曲线，所以曲线y yf f( (x x) )在原点处的切线方程为在原点处的切线方程为y y2 2x x. .答案：答案：A A2 2已知函数已知函数f f( (x x) )的导函数为的导函数为f f( (x x) )，且满足，且满足f f( (x x) )2 2xf

17、xf(1)(1)lnlnx x，则，则f f(1)(1)( () )A Ae eB B1 1C C1 1D De e解析：解析：f f( (x x) )2 2f f(1)(1)1 1x x，令，令x x1 1，得，得f f(1)(1)2 2f f(1)(1)1 1，f f(1)(1)1.1.答案：答案：B B3 3函数函数f f( (x x) )3 3x x2 2lnlnx x2 2x x的极值点的个数是的极值点的个数是( () )A A0 0B B1 1C C2 2D D无数个无数个解析：函数定义域为解析：函数定义域为(0(0，) )，且且f f( (x x) )6 6x x1 1x x 2

18、 26 6x x2 22 2x x1 1x x，由于由于x x00，g g( (x x) )6 6x x2 22 2x x1 1 中中200200)0 恒成立，故恒成立，故f f( (x x)0)0 恒成立，恒成立，即即f f( (x x) )在定义域上单调递增，无极值点在定义域上单调递增，无极值点答案：答案：A A4 4(2011(2011浙江高考浙江高考) )设函数设函数f f( (x x) )axax2 2bxbxc c( (a a，b b，c cR)R)若若x x1 1 为函数为函数f f( (x x)e)ex x的一个极值点，则的一个极值点，则下列图像不可能为下列图像不可能为y yf

19、 f( (x x) )图像的是图像的是( () )解析：若解析：若x x1 1 为函数为函数f f( (x x)e)ex x的一个极值点，则易得的一个极值点，则易得a ac c. .因选项因选项 A A、B B 的函数为的函数为f f( (x x) )a a( (x x1)1)2 2，则，则 f f( (x x)e)ex x f f( (x x)e)ex xf f( (x x)(e)(ex x) )a a( (x x1)(1)(x x3)e3)ex x，x x1 1 为函数为函数f f( (x x)e)ex x的一个极值点满足条件；的一个极值点满足条件；选项选项 C C 中，对称轴中，对称轴x

20、 xb b2 2a a0 0，且开口向下，且开口向下，a a0 0，b b0.0.f f( (1)1)2 2a ab b0.0.也满足条件；也满足条件；选项选项 D D 中，对称轴中，对称轴x xb b2 2a a1 1，且开口向上，且开口向上，a a0 0，b b2 2a a. .f f( (1)1)2 2a ab b0.0.与图矛盾与图矛盾答案：答案：D D二、填空题二、填空题5 5(2011(2011嘉兴模拟嘉兴模拟) )已知函数已知函数f f( (x x) )x xe ex x，则，则f f( (x x) )_；函数；函数f f( (x x) )的图像在点的图像在点(0(0，f f(0

21、)(0)处的处的切线方程为切线方程为_解析：解析：f f( (x x) )1 1e ex xx xe ex x(1(1x x)e)ex x；f f(0)(0)1 1，f f(0)(0)0 0，因此，因此f f( (x x) )在点在点(0(0，f f(0)(0)处的切线方程处的切线方程为为y y0 0 x x0 0，即，即y yx x. .答案：答案：(1(1x x)e)ex xy yx x6 6已知函数已知函数f f( (x x) )1 12 2mxmx2 2lnlnx x2 2x x在定义域内是增函数，则实数在定义域内是增函数，则实数m m的取值范围为的取值范围为_解析：解析：f f( (

22、x x) )mxmx1 1x x2 20 0 对一切对一切x x00 恒成立，恒成立，m m( (1 1x x) )2 22 2x x，令，令g g( (x x) )( (1 1x x) )2 22 2x x，则当则当1 1x x1 1 时，函数时，函数g g( (x x) )取得最大值取得最大值 1 1，故，故m m1.1.答案：答案：11，) )7 7已知函数已知函数f f( (x x) )axax3 3bxbx2 2cxcx，其导函数其导函数y yf f( (x x) )的图像经过的图像经过点点(1,0)(1,0)，(2,0)(2,0)，如，如图所示，则下列说法中图所示，则下列说法中不不

23、正确的是正确的是_当当x x3 32 2时函数取得极小值；时函数取得极小值；f f( (x x) )有两个极值点；有两个极值点；当当x x2 2 时函数取得极小值；时函数取得极小值；当当x x1 1 时函数取得极大值时函数取得极大值解析：从图像上可以看到：当解析：从图像上可以看到：当x x(0,1)(0,1)时，时，f f( (x x) )0 0；当；当x x(1,2)(1,2)时，时，f f( (x x) )0 0；当；当x x(2(2，) )时时，f f( (x x) )0 0，所以所以f f( (x x) )有两个极值点有两个极值点 1 1 和和 2 2，且当且当x x2 2 时函数取得

24、极小值时函数取得极小值，当当x x1 1 时函数取得极大值时函数取得极大值只有只有不正确不正确答案：答案：三、解答题三、解答题8 8已知函数已知函数f f( (x x) )axax3 33 3x x2 21 13 3a a( (a aR R 且且a a0)0)，试求函数，试求函数f f( (x x) )的极大值与极小值的极大值与极小值解：由题设知解：由题设知a a0 0，f f( (x x) )3 3axax2 26 6x x3 3axax( (x x2 2a a) )令令f f( (x x) )0 0，解之得，解之得x x0 0 或或x x2 2a a. .当当a a00 时，随时，随x x

25、的变化，的变化，f f( (x x) )与与f f( (x x) )的变化情况如下：的变化情况如下：x x( (，0)0)0 0(0(0，2 2a a) )2 2a a( (2 2a a，) )f f( (x x) )0 00 0f f( (x x) )极大值极大值极小值极小值f f( (x x) )极大值极大值f f(0)(0)1 13 3a a，f f( (x x) )极小值极小值f f( (2 2a a) )4 4a a2 23 3a a1.1.当当a a011，即，即a a 3 32 2. .f f(2)(2)8 84 4a a(1(1a a) )3 3a a775 52 2. .故故

26、f f(2)(2)的取值范围为的取值范围为5 52 2，. .1010(2011(2011江苏高考江苏高考) )已知已知a a，b b是实数是实数，函数函数f f( (x x) )x x3 3axax，g g( (x x) )x x2 2bxbx，f f( (x x) )和和g g( (x x) )分别是分别是f f( (x x) )和和g g( (x x) )的导函数，若的导函数，若f f( (x x) )g g( (x x) )0 0 在区间在区间I I上恒成立，则称上恒成立，则称f f( (x x) )和和g g( (x x) )在区间在区间I I上单调性一致上单调性一致(1)(1)设设a a0.0.若若f f( (x x) )和和g g( (x x) )在区间在区间 1 1，) )上单调性一致，求上单调性一致，求b b的取值范围；的取值范围；(2)(2)设设a a0 0 且且a ab b. .若若f f( (x x) )和和g g( (x x) )在以在以a a，b b为端点的开区间上单调性一致，求为端点的开区间上单调性一致，求| |a ab b| |的最大值的最大值解：解：f f(