现代控制理论基础总复习

1、第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。2.1线性系统的时域数学模型对于单输入、单输出|线性定常系统，采用下列微分方程来描述：c(n)(t)aiC(n')(t)a2c2(t)川an_iC(t)anC(t)(2.1)t的(2.1)t的二b°r(m)(t)b/m')(t)IIIbU(

2、t)bmr(t)式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号，c(n)(t)为c(t)对时间n阶导数；ai(i=1,2J|In)和bj(j=0,1lm)是由系统的结构参数决定的系数。2.2传递函数C(s)b0sm+bsm*+HI+bm_s+bmM(s)R(s)a°snapZHIa_iSanN(s)式中M(s)二bosm溝'IIIbmsbmN(s)二a°snaiSnlliaiSa“M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式(2.3)(2.3)2.5线性系统的状态空间描述状态空间表达式与传递函数的关系(2.4)(2.4)G(s)二C(s

3、l-A)BD状态空间表达式的建立情形一：线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点(2.5)(2.5)y(n)'ayza.，a.y二u情形二线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点y(n)ay"|1|a.a.y=b°u(n)卅)川b.u(2.6)Y(s)_gsnDsn川bn®bnU(s)snaV川an=sa.(2.7)Chp.9状态空间系统响应、可控性与可观性9.1线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为(2.8)X(t)二Ax(t)Bu(t),x(0)=xo状态变量的初始值为x0，控制作用为U(t)。状态方程是一阶

4、微分方程组其解为x(t)=eatx(0)其中，指数函数eat可以展成如下无穷级数形式1i00ieat=1at丄a2t2丄aktkXaktk2!k!S!一阶向量微分方程的齐次方程t=Ax的解也具有如下形式Atx(t)二ex(0)其中，eAt=lAt丄A2t21Aktk1Aktk(2.9)2!k!zk!式(2.9)无穷矩阵级数的收敛式eAt叫做矩阵指数，I为单位矩阵。非齐次状态方程(2.8)的求解。x(t)二eAtx(0)“一乜u()d(2.10)从式(2.10)可以看出，系统的动态响应由两部分组成：一部分由状态初始值x(0)引起，叫做零输入响应；另一部分由输入信号u(t)引起，叫做零状态响应。9

5、.2状态转移矩阵(的计算)一般情况下，线性系统(包括定常和时变)的状态响应方程可以写为tx(t)二(t)x(0)0(t-)Bu()d(2.11)式(2.11)又称状态转移方程，并称(t)为状态转移矩阵，它表征系统从t=0的初始状态x(0)转移到t0的任意状态x(t)的转移特性。显然，状态的转移性能完全取决于系统的A阵。对于线性定常系统有二eAt。矩阵指数和状态转移矩阵的计算一、拉氏变换法(t)=eAt=L(sl-A)*(2.12)这种方法实际上是用拉氏变换在频域中求解状态方程。矩阵(si-A)1称为预解矩阵。、化矩阵A为对角线矩阵和约当矩阵法如果状态方程的系数矩阵A为对角线矩阵，即00a?21

6、110；:0IIIann可以证明，相应于矩阵A的矩阵指数eAt为ea100At|0ea22tIII0effrt.00IIIeanntj9.4可控性和可观性i=A(t)xBu(t)定理9-1(可控性的代数判据)设n阶线性定常连续系统的状态方程为x=AxBu(2.13)式中，x、u分别为n维、p维向量，A、B分别为nn维和np维实数矩阵。则系统完全可控的充要条件是系统的|可控性矩阵Qk二BABA2B川AnB的秩为n。即ranQ=rankBABA2BIIIAn=n(2.14)此时称(A,B)为可控矩阵对定理9-3（特征值规范型判据）设线性定常连续系统*=AxBu具有互异的特征值人,一川人，则系统状态

7、完全可控的充要条件是系统经非奇异变换后的对角规范形式人01X=x+Bu0J中B不包含元素全为0的行。定理9-4（特征值规范型判据）设线性定常连续系统X二AxBu具有重特征值k,1（m1重），2（m2重）,-,'k（mk重），'mn,打=打0），则系统状态完全可控i=±的充要条件是，经非奇异变换后的约当规范形式00中B与每一个约当块A(i=1,2,II,k)0艾+BuAk的最后一行相应的那些行的所有元素不完全为0线性定常系统的可观性定理9-5(可观性代数判据)设线性定常连续系统的状态空间表达式为=AxBu构造系统的可观性矩阵CA.CAn-1y=Cx则线性定常连续状态完全

8、可观的充分必要条件是其可观性矩阵满秩，即rankQgn定理9-6（特征值规范型判据）设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵分别为A和C，如果系统具有两两互异的特征值，则其为状态完全可观的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范型0x+Bu0x+Bu的输出矩阵C中不包含元素全为0n定理9-7（特征值规范型判据）设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵k分别为A和C,如果系统具有重特征值'（m重），-2（m?重）,一，k（mk重），amij=n,=1打一j（i=j）,则系统状态完全可观的充要条件是，系统经非奇异变换后的约当规范形式人01=交+Bu0A；jy=Cx中C与每一个约当块A（

9、i=1,2,川,k）的首列相应的那些列的所有元素不全为0。第十章线性反馈系统的时间域综合10.1输出反馈与状态反馈考虑n维线性定常系统(没有引入反馈)x=AxBu状态方程厂Cx观测方程X,u,y分别为n维、p维和q维向量，A，B，C分别为nn、np和q矩阵。下面给出系统的两种反馈形式：输出反馈和状态反馈。输出反馈输出反馈的目的:首先是使系统闭环稳定，然后在此基础上进(10.1)n维的实数改善闭环系统的性能输出反馈系统的状态空间表达式为i=(A-BFC)x+Buy=Cx(2.15)方便起见，用(A-BFC,B,C)表示输出反馈系统，该系统对应的传递函数为Gf(s)二C(sl-ABFC)，B(2.

10、16)二、状态反馈若将系统的控制量u取为状态变量的线性函数u=r-Kx(2.17)式中，r为与u同维的参考输入向量，K为pn的反馈增益矩阵。引入状态反馈后系统的状态方程和输出方程为x=(A-BK)xBry二Cx(2.18)系统(A-BK,B,C)对应的传递函数(矩阵为)Gk(s)二C(sl-ABK)BGk(s)二C(sl-ABK)B(2.19)10.2极点配置问题定理10-1(极点配置定理)对于单输入、单输出系统(A,B,C)，给定任意的n个极点$(in)，s为实数或共轭复数。以这n个给定极点为根的多项式为nf*(s)=n(s-ssJalsZ+lli+azs+an那么存在1n矩阵K，使闭环系统

11、(A-BK,B,C)以s(i=1,2|丨n)为极点，即ndetsl(ABK)=(ss)=sn+aisn，+川+an二s+ani=1的充分必要条件为受控系统(A,B,C)是状态完全可控的。极点配置的设计步骤(掌握下面例子的求解步骤)例10-1给定系统的传递函数为G°(s)G°(s)s(s1)(s2)10要求利用状态反馈把系统的闭环极点配置在-2,-仁j处解由给定的传递函数可-'010III01I01001III00A=4r1-44,B=1,C=bnbnb2bj000III10anan4an_2III_ai_Lk其传递函数为G°(s)bsnnX+n二,ii,一

12、bnS+bnsasansanGo(s)=s(s1)(s2)s32s23s0以写出系统的状态方程011=000-2Pl0uJJ由于系统具有可控标准型的形式，所以系统可控，可以任意配置闭环极点。令状态反馈增益矩阵为则经K引入状态反馈后的系统矩阵为010A-BK=001-k3-k2-2七-3_j其特征多项式为si(ABK)=s3+(k+3)s2+(k2+2)s+k3由期望的闭环极点给出的特征多项式为(s2)(s1-j)(s1j)=s34s26s4比较上述两个特征方程式可得状态反馈矩阵为K-1441110.3状态重构与状态观测器设计利用状态反馈能够任意配置系统的闭环极点，有效地改善控制系统的性能。定理

13、10-2(观测器的存在条件)线性定常系统i=AxBuy二Cx(2.20)具有形式X=(A-GC)x+Bu+Gy(2.21)的状态观测器的充分必要条件是系统不可观部分是渐近稳定的。定理10-3(状态观测器极点任意配置定理)线性定常系统(10.11)，如果其状态观测器的状态方程为如二(A-GC)XBuGy(2.22)则状态观测器可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充分必要条件是系统X=AxBuy=Cx(2.23)状态完全可观。当实际系统不是可观标准型时，其状态观测器的设计可由下例说明。例10-2(了解过程)设线性定常系统的状态方程和输出方程为X=AxBuy=Cx其中100TA=021,B=0,C

14、=k10】002JJ试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在4,乜上解 检测系统的状态可观性系统的可观性矩阵Qg及其秩为C1Qg=CA=12CjC1Qg=CA=12Cj1021,rankQg=3=n44所以系统状态完全可观，但不具有规范形式。对于阶数较高的系统，设计其状态观测器需要将其转化为可观标准型 确定变换矩阵T根据第九章化可观标准型的方法，变换矩阵T可确定如下011=Q,0=TJJJJ1111-42-11T=*1AtiAtiI_1_10,T，=-4_31124一,110 化系统为可观标准型引入线性非奇异变换戈二Tx，则原系统的可观标准型为X=AxBuy二Cx其中004131A=TAT=1

15、0_8，翼TB=-3,C=cto1卫15一1J一 确定可观标准型所对应的反馈矩阵G设在可观标准型表示下，系统的状态观测器的反馈矩阵为G=也g；gl则可观标准型下，状态观测器的特征方程为sl-(A-GC)卜s3+©-5)S2+心2+8)s+(g3-4)再根据极点配置要求、-3,，2-4,_-5建立对应的特征多项式为f*(s)=(s3)(s4)(s5)=s312s247s60比较上述两个特征多项式，令其对应系数相等，则有乱-4=60,©28=47,&-5=12所以可观标准型所对应的反馈矩阵G为G=03©2g=6439171T此外，还可以利用式错误！未找到引用源

16、。确定反馈矩阵G，求出的结果与上述结果相同。 确定给定系统状态方程的状态观测器反馈矩阵G4L174L17120-103',210j1G=tG=-1J所以原系统的状态观测器的状态方程为=(A-GC)xBuGy120-103y210一120-103y210一-119-12001A1031051X+0u+-210-2102一一因为状态观测器的输出为重构状态，所以状态观测器的输出方程为X例10-3（掌握）控制对象的状态空间表达式为0_00_0X二+01x+Iu-5一1一0lx试设计带状态观测器的状态反馈系统，使反馈系统的极点配置在倬二T-j解设计带状态观测器的状态反馈系统可以按照以下步骤进行。

17、 检查控制对象的可控性和可观性由于系统可控矩阵和可观矩阵的秩分别为rankBrankBABEnk。J115=2=nrankFLank1CA一0所以系统是状态完全可控、可观的，从而存在矩阵K、G使得系统及观测器的极点可以任意配置 设计状态反馈矩阵K设K二屹k!1，引入状态反馈后系统的特征多项式为si_(A_BK)=s2+(5+kJs+k2由系统希望配置的极点确定的特征多项式为2(s1-j)(s1j)二s2s2令上述两个特征多项式对应系数相等，可得&-3,k2=2即状态反馈矩阵为K-k2kJ-2-3 设计状态观测器的反馈矩阵G取状态观测器的极点为s,飞2=-5，则希望的状态观测器具有的特征

18、多项式为22(s5)-s10s25设反馈矩阵G为则状态观测器子系统的特征多项式为si-(A-GC)|=s2+(5+g2)s+5g2+gi令两个多项式相等，解得gi=o,g2=5即G=蚯gj'501T10.4最优控制问题概论（了解）最优控制是现代控制理论的核心。最优控制研究的主要问题是：根据已经建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制规律，使得被控对象按预定的要求运行，并使给定的某一性能指标达到最优值（极大值或极小值）。如果设计的控制系统可以使某个性能指标达到最佳值，则这个控制系统就称为最优控制系统。在最优控制中，性能指标的确定是一个比较复杂的实际问题。最常用的性能指标：是由状态变量

19、和控制变量的二次型函数的积分表示，这也是一种常见的最优状态调节器问题。设线性定常系统的状态方程为AxBu(2.24)二次型性能指标为J=0xTQxuTRudt(2.25)式中，Q为正定(或半正定)实对称矩阵，R为正定实对称矩阵。式(2.25)中的xTQx表示状态变量与平衡位置x0的偏差，uTRu与控制功率成正比。因此，使J最小就是使系统的偏差最小，并使控制过程消耗的能量最小。第十一章李亚普诺夫稳定性分析稳定性是对控制系统最基本，同时也是最重要的要求。本章介绍的李亚普诺夫（Lyapunov）稳定性的概念和稳定性判定定理，不仅适用于线性定常系统，而且还适用于线性时变系统和非线性系统，并且还是一些先

20、进的控制系统设计方法的基础。11.1李亚普诺夫关于稳定性的定义设系统的状态方程为(2.26)式中，X=%X2XnT是系统的n维状态向量；f(x,t)是以状态Xi(i=1,2l(n)和时间t为变量的n维函数向量11.2李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法又称为间接法。它适用于线性定常系统和非线性不很严重的实际系统。李亚普诺夫第一方法的主要结论如下：(1) 线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，系统矩阵A的所有特征值均具有负实部。(2) 若线性化系统的系统矩阵A的所有特征值均具有负实部，则实际系统就是渐近稳定的。线性化过程中忽略的高阶导数项对系统的稳定性没有影响。(3) 如果系统矩阵A的特征值中，

21、只要有一个实部为正的特征值，则实际系统就是不稳定的，并且与被忽略的高阶导数项无关。(4) 如果系统矩阵A的特征值中，即使只有一个实部为零，其余的都具有负实部，那么实际系统的稳定性就不能由线性化模型的稳定性判定。这时系统的稳定性将与线性化过程中被忽略的高阶导数项有关。为了判定原系统的稳定性，必须分析原始的非线性模型。可见，李亚普诺夫第一方法是通过判定系统矩阵的特征值实部的符号来判定系统的稳定性，因此又称为特征值判据。11.3李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二法是基于：若系统的内部能量随时间推移而衰减，则系统最终将达到静止状态这个思想而建立起来的稳定判据。设V(x)为一个二次型函数，则其可表示为P12IHPlnXi02I"p2n|X2I*i-r¥rPn2丨HPnn_Xn_PjXiXj_