第九章 线性系统的状态空间描述

1、一、线性系统的状态空间描述1、系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。文章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图所示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出，二者分别用向量量u=u1,u2upT和y=y1,y2yqT表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的变量为系统内部变量，以X=x1,x2xnT向量表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本类型。一种是系统的外部描述

2、，即输入输出描述。系统描述的另一种类型是内部描述，即状态空间描述。这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成。一是反映系统内变量和输入变量间因果关系的数学表达式,常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一个是表征系统内部变量及变量和输出变量间转换关系的数学式，具有代数方程的形式，称为输出方程。仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。2、系统状态空间描述常用的基本概念(1)状态和状态变量：系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量称为状态变量。状态变量的选取不具有惟一性，同一个系统可能有多种不同的状态变

3、量选取方法。状态变量常用符号表示。(2)状态向量：把描述系统状态的n个状态变量看作向量x(t)的分量，即则向量x(t)称为n维状态向量。12,nxxx12,Tnxxxx(3)状态空间：以n个状态量作为基底所组成的n维空间称为状态空间。(4)状态轨线：系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示，随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。(5)状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状

4、态变化，其一般形式为:1( )( ( ), ( ), )()( (), (),)kkkkx tf x tu ttx tf x tu tt或(6)输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，其一般形式为(7)状态空间表达式：状态方程与输出方程的给合称为状态空间表达式，又称动态方程，其一般形式为(8)线性系统：若在系统的状态空间表达式中，f和g均是线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统.(9)线性系统状态空间表达式：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数方程。或线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为当输

5、出方程中D=0时，系统称为绝对固有系统，否则称为固有系统。线性系统的结构图：线性系统的状态空间表达式常用结构图表示。线性连续时间系统的结构图如下左图所示，线性离散时间系统的结构图如下右图所示。( )( )( )(1)( )( )( )( )( )( )( )( )x tAx tBu tx kGx kHu ky tCx tDu ty kCx kDu k或(10)状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状态的变化特性，适用于描述时变、非

6、线性、连续、离散、随机、多变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控制等。3线性定常连续系统状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：一直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式；二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。(1）根据系统机理建立状态空间表达式(2）由系统微分方程建立状态空间表达式1）系统输入量中不含导数项。111001d( )d( )dy( )( )( )dddnnnnny ty ttaaa y tu tttt(1)12nnxyxyxy122310112101nnnnn

7、xxxxxxxa xa xaxuyx 取状态变量为则有：XAXbuycX写成向量形式121001000010naaaaA000b100c 12nxxxx按上式绘制的结构图称为状态变量图，见下张图。每个积分器的输出都是对应的状态变量，状态方程由各积分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端获得。2）系统输入量中含有导数项。）系统输入量中含有导数项。1111( )( )( )( )( )( )110110( )( )nnnnnnnnd y tdy tdy td u tdu tdu tnnndtdtdtdtdtdtaaa y tbbbb u t取状态变量10111212321101121102,3ii

8、innnnnnnxyh uxxh uinxxhuxxh uxxhuxa xa xaxh uyxh u 则有：0112200nnnnnhbahaha hXAXbuycXdu写成向量形式其中121001000010naaaaA12nhhbh0100cdh二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是可控的，或

9、者更确切地是状态可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可观测。1、可控性系统可控：对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻可控的，则称系统在t0时刻是完全可控的，简称系统在t0时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。AI解可控性判别矩阵为123xxx已知线性定常系统的状态方程为试判别系统的可控性。解：根据状态方程可写出x 所以系统的可控2、可观测性系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻t0Tt，存在一个有限时刻t1Tt，t1t0,对于所有tt0,t1，系统的输出y(t)能惟一确定状态向量x(t0)的初值，则称系统在t0,t1内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在t0,)内完全可观测。系统不可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻t0Tt，存在一个有限时刻t1Tt，t1t0，对于所有tt0,t1