直接证明间接证明与数学归纳法（课堂PPT）

1、1 (了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法分析分析法和综合法法和综合法/了解分析法和综合法的思考了解分析法和综合法的思考过程、特点过程、特点/了解间接证明的一种基本方了解间接证明的一种基本方法法反证法反证法/了解反证法的思考过程、了解反证法的思考过程、特点特点/了解数学归纳法的原理了解数学归纳法的原理/能用数学归能用数学归纳法证明一些简单的数学命题纳法证明一些简单的数学命题)11.3 11.3 直接证明、间接证明与数学归纳法直接证明、间接证明与数学归纳法2 1直接证明中最基本的两种证明方法是直接证明中最基本的两种证明方法是 和和 2综合法是利用已知条件和某些数学定义、综合法是利

2、用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立综合法简称为：综合法简称为： 3分析法的思考过程：从要证明的结论出分析法的思考过程：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件显成立的条件(已知条件、定理、定义、公已知条件、定理、定义、公理等理等)为止为止分析法简称为：分析法简称为： 综合法综合法分析法分析法由因导果由因导果执果索因执果索因3 4反证法的思考过程：

3、假设原命题不成立，反证法的思考过程：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明因此说明 ，从而证明了原命题，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法成立，这样的证明方法叫反证法应用反证法证明数学命题，一般有下面应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：几个步骤：第 一 步 ， 分 清 命 题第 一 步 ， 分 清 命 题 “ p q ” 的 条 件的 条 件和和 第二步，作出与命题结论第二步，作出与命题结论q相矛盾的假设相矛盾的假设綈綈q.第三步，由第三步，由p与綈与綈q出发，应用正确的推出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果理方法，推出矛盾结

4、果第四步，断定产生矛盾结果的原因在于第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈开始所作的假设綈q不真，于是原结论不真，于是原结论q成成立，从而间接地证明了命题立，从而间接地证明了命题pq为真为真假设错误假设错误结论结论4 5由一系列有限的特殊事例得出由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法，通常叫做归纳法的推理方法，通常叫做归纳法 6对某些与正整数有关的数学命题常采用对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第取第1个值个值n0时，命题成立；然后假设当时，命题成立；然后假设当nk k，(k kN*，k kn0)时命题

5、成立，证明当时命题成立，证明当nk k1时，命题也成立，这种证明方法叫时，命题也成立，这种证明方法叫做做 7用数学归纳法证明一个与正整数有关的用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：命题时，其步骤为：(1)归纳奠基：证明当取第一个自然数归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时时命题成立；命题成立；(2)归纳递推：假设归纳递推：假设nk k，(k kN*，k kn0)时，命题成立，时，命题成立，证明当证明当nk k1时，命题成立；时，命题成立；(3)由由(1)(2)得出结论得出结论一般结论一般结论数学归纳法数学归纳法5 1分析法是从要证明的结论出发，逐分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求

6、使结论成立的步寻求使结论成立的()A充分条件充分条件 B必要条件必要条件 C充要条件充要条件 D等价条件等价条件答案：答案：A6 2如果命题如果命题p(n)对对nk k成立，则它对成立，则它对nk k2也成立若也成立若p(n)对对n2成立，则下列结成立，则下列结论正确的是论正确的是()Ap(n)对所有正整数对所有正整数n都成立都成立 Bp(n)对所有正偶数对所有正偶数n都成立都成立Cp(n)对所有正奇数对所有正奇数n都成立都成立 Dp(n)对所有自然数对所有自然数n都成立都成立解析：归纳奠基是：解析：归纳奠基是：n2成立归纳递成立归纳递推是：推是：nk k成立，则对成立，则对nk k2成立成立

7、p(n)对所有正偶数对所有正偶数n都成立都成立答案：答案：B7 3某个命题与自然数某个命题与自然数n有关，若有关，若nk k(k kN*)时命题成立，那么可推得当时命题成立，那么可推得当nk k1时该命题时该命题也成立，现已知也成立，现已知n5时，该命题不成立，那时，该命题不成立，那么可以推得么可以推得()An6时该命题不成立时该命题不成立 Bn6时该命题成立时该命题成立Cn4时该命题不成立时该命题不成立 Dn4时该命题成立时该命题成立解析：解法一：由解析：解法一：由nk k(k kN*)成立，可推成立，可推得当得当nk k1时该命题也成立因而若时该命题也成立因而若n4成立，必有成立，必有n5

8、成立现知成立现知n5不成立，所不成立，所以以n4一定不成立一定不成立 解法二：其逆否命题解法二：其逆否命题“若当若当nk k1时该时该命题不成立，命题不成立， 则当则当nk k时也不成立时也不成立”为真，故为真，故“n5时不成立时不成立”“n4时不成立时不成立” 答案：答案：C8 4如右图所示，在直四棱柱如右图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形中，当底面四边形ABCD满足条件满足条件_时，有时，有A1CB1D1.(注：填上你认注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形能的情形)解 析 ： 从 结 论 出 发 ， 找 一 个

9、 使解 析 ： 从 结 论 出 发 ， 找 一 个 使A1CB1D1成立的充分条件成立的充分条件因而可以是：因而可以是：ACBD或四边形或四边形ABCD为为正方形正方形答案：答案：ACBD 9用综合法证明不等式时，应注意观察不等式用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择适当的已知不等式作为依的结构特点，选择适当的已知不等式作为依据在证明时，常要用到以下证题依据：据在证明时，常要用到以下证题依据：(1)若若a，bR，则，则|a|0，a20，(ab)20；(2)若若a，b同号，则同号，则 2；(3)若若a，b(0，)，则，则 ；a，bR，则，则a2b22ab.10 【例【例1】设】设

10、a0，b0，c0，证明证明： abc.证明：证明：a，b，c0，根据基，根据基本不等式，本不等式，有有 b2a ， c2b ， a2c.三式相加：三式相加：abc2(abc)即即 abc.11变式变式1.已知已知a，b，cR，求证：，求证：a2b2c22(abc)3.证明：证明：a2b2c22(abc)3a22a1b22b1c22c1(a1)2(b1)2(c1)20，当且仅当当且仅当abc1时，等号成立时，等号成立原不等式成立原不等式成立.12 【例【例2】如右图所示，设四面体】如右图所示，设四面体PABC中，中，ABC90，PAPBPC，D是是AC的中点的中点求证求证：PD垂直于垂直于ABC

11、所在的平面所在的平面立体几何中的很多证明过程都要采用综合法，证明过程中，要步步为营，环立体几何中的很多证明过程都要采用综合法，证明过程中，要步步为营，环环相扣，不可主观臆造，否则因果不成立，从而导致错误环相扣，不可主观臆造，否则因果不成立，从而导致错误13证明：连结证明：连结PD，BD.BD是是RtABC斜边斜边上的中线，上的中线，DADBDC.又又PAPBPC，而，而PD为为PAD、PBD、PCD的公共边，的公共边，PAD PBD PCD.于是于是PDAPDBPDC，而而PDAPDC90，PDB90.可见可见PDAC，PDBD.ACBDD，PD平面平面ABC.14 变式变式2.在直四棱柱在直

12、四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，AA12，底面是边长为，底面是边长为1的正方形，的正方形， E、F、G分别是棱分别是棱B1B、D1D、DA的中的中点求证：点求证：(1)平面平面AD1E平面平面BGF；(2)D1E平面平面AEC.证明：证明：(1)E，F分别是棱分别是棱BB1，DD1的的中点，中点，BED1F且且BED1F，四边形四边形BED1F为平行四边形，为平行四边形，D1EBF，又，又D1E平面平面AD1E，BF 平面平面AD1E，BF平面平面AD1E.又又G是棱是棱DA的中点，的中点，GFAD1，又，又AD1平面平面AD1E，GF 平面平面AD1E，GF平面平面AD1E，又，又BF

13、GFF，平面平面AD1E平面平面BGF.15(2)AA12，AD1同理同理AE ，D1E ， D1E2AE2，D1EAE.ACBD，ACD1D，BDD1DD，AC平面平面BB1D1D，又又D1E平面平面BB1D1D，ACD1E，又，又ACAEA，D1E平面平面AEC.16 由有限的特殊事例去发现问题，得出问题由有限的特殊事例去发现问题，得出问题的一般结论，再利用数学归纳法给的证明，的一般结论，再利用数学归纳法给的证明，从不完全归纳到利用数学归纳法证明展示从不完全归纳到利用数学归纳法证明展示了从发现问题到解决问题的完整的数学思了从发现问题到解决问题的完整的数学思维过程维过程17 【例【例3】是否

14、存在常数是否存在常数a、b、c使等式使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切对于一切nN*都成立，若都成立，若存在，求出存在，求出a、b、c并证明；并证明；若不存在，试说明理由若不存在，试说明理由解答：假设存在解答：假设存在a、b、c使使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切对于一切nN*都成立都成立当当n1时，时，a(bc)1；当；当n2时，时，2a(4bc)6；当当n3时，时，3a(9bc)19. 解方程组解方程组解得解得18 证明如下：证明如下： 当当n1时，显然成立，假设时，显然成立，假设nk k(k kN*，k k1)时等式成立，时等式成立

15、， 即即122232k k2(k k1)22212 k k(2k k21)； 当当nk k1时，时， 122232k k2(k k1)2k k2(k k1)22212 k k(2k k21)(k k1)2k k2 k k(2k k23k k1)(k k1)2 k k(2k k1)(k k1)(k k1)2 (k k1)(2k k24k k3) (k k1)2(k k1)21 因此存在因此存在a ，b2，c1， 使等式对一切使等式对一切nN*都成立都成立19 变式变式3.是否存在常数是否存在常数a，b，c使等式使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对对一切正整数一切正整数

16、n成立？并证明你的结论成立？并证明你的结论解答：分别用解答：分别用n1,2,3代入等式得代入等式得解之得解之得下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：(1)当当n1时，由上可知等式成立；时，由上可知等式成立；(2)假设假设nk k(k kN*，k k1)时等式成立，时等式成立，20即即1(k k212)2(k k222)k k(k k2k k2) k k4 k k2.则则nk k1时，左边时，左边1(k k1)2122(k k1)222k k(k k1)2k k2(k k1)(k k1)2(k k1)21(k k2 212)2(k k222)k k(k k2k k2)1(2k k1)2(2

17、k k1)k k(2k k1) k k4 k k2(2k k1)2(2k k1)k k(2k k1)k k4k k2(2k k1) (k k1)4 (k k1)2.当当nk1时，等式也成立时，等式也成立由由(1)，(2)得知等式对一切的得知等式对一切的nN*均成立均成立21 1分析法的特点是：从未知看需知，逐步分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知靠拢已知 2综合法的特点是：从已知看可知，逐步综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知推出未知 3分析法和综合法各有优缺点分析法思分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，

18、缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来出来【方法规律】【方法规律】22 4应用反证法证明数学命题，一般分下面应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：几个步骤：第一步：分清命题第一步：分清命题“pq”的条件和结论；的条件和结论；第二步：作出与命题结论第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定相矛盾的假定綈綈q；第三步：由第三步：由p和綈和綈q

19、出发，应用正确的推出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈于开始所作的假定綈q不真，于是原结论不真，于是原结论q成成立，从而间接地证明了命题立，从而间接地证明了命题pq为真为真第三步所说的矛盾结果，通常是指推出第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况假定矛盾以及自相矛盾等各种情况23 5(1)在数学归纳法中，归纳奠

20、基和归纳递在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk k到到nk k1时，式子中项数的变化，应时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项同时还应注意，不仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法用假设的证法不是数学归纳法 (2)对于证明等式问题，在证对于证明等式问题，在证nk k1等等式也成立时，应及时把结论和推导过式也成立时，应及时把结论和推导过 程对比，以减少计算时的复杂程度；对程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明于整除性问题，关键是凑假设；证明 不等式时，一般要运用放缩法；证明几

21、不等式时，一般要运用放缩法；证明几何命题时，关键在于弄清由何命题时，关键在于弄清由nk k到到n k k1的图形变化的图形变化 (3)归纳、猜想、证明属于探索性问题的归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，一种，一般经过计算、观察、归纳， 然后猜想出结论，再用数学归纳法证然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于明由于“猜想猜想”是是“证明证明”的前提和的前提和“对对 象象”，务必保证猜想的正确性，同时必，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写须注意数学归纳法步骤的书写. 24(本题满分本题满分5分分)如果如果A1B1C1的三个内角的余的三个内角的余弦值分别等于弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，的三个内角的正弦值，则则()AA1B1C1和和A2B2C2都是锐角三角形都是锐角三角形BA1B1C1和和A2B2C2