试验五z变换教学内容

1、试验五Z变换二、实验设备二、实验设备2 2、MATLAB6.5 MATLAB6.5 软件软件1 1、计算机、计算机三、实验原理三、实验原理0)()()(nnznxnxZzX (1)(1) 序列的正反序列的正反Z Z变换变换 其中，符号表示取其中，符号表示取z变换，变换，z是复变量。是复变量。相应地，单边相应地，单边z变换定义为：变换定义为：nnznxnxZzX)()()(三、实验原理三、实验原理a. a. 使用使用ztrans和和iztransMATLABMATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z z变换的函数变换的函数ztransztran

2、s和和z z反变换函数反变换函数iztransiztrans，其语句格式，其语句格式分别为分别为Z=ztrans(x)Z=ztrans(x)x=iztrans(z)x=iztrans(z)上式中的上式中的x x和和Z Z分别为时域表达式和分别为时域表达式和z z域表达式的符号表域表达式的符号表示，可通过示，可通过symsym函数来定义。函数来定义。1. 1. 求求z z变换变换 【例例1 1】 试用试用ztransztrans函数求下列函数的函数求下列函数的z z变换。变换。 x=sym(an*cos(pi*n);Z=ztrans(x);simplify(Z)ans=z/(z+a)()cos(

3、)(nunanxn% simplify(S) 对表达式S进行化简 【例例2 2】 试用试用iztransiztrans函数求下列函数的函数求下列函数的z z反变换。反变换。 Z=sym(8*z-19)/(z2-5*z+6);x=iztrans(Z);simplify(x)ans=-19/6*charfcn0(n)+5*3(n-1)+3*2(n-1)3|65198)(2zzzzzXcharfcn0(n)charfcn0(n)是是 ( (n) )函数在函数在MATLABMATLAB符号工具箱中的表符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为：示，反变换后的函数形式为：)()2335()(619)(11

4、nunnxnn三、实验原理三、实验原理如果信号的如果信号的z z域表示式是有理函数，进行域表示式是有理函数，进行z z反变换反变换的另一个方法是对的另一个方法是对X(z)X(z)进行部分分式展开，然后进行部分分式展开，然后求各简单分式的求各简单分式的z z反变换反变换. .如果如果X(z)X(z)的有理分式表的有理分式表示为：示为： )()(1)(221122110zAzBzazazazbzbzbbzXnnmmrkkikrMkkknNMnnzzCzzAzBzX111101 1)(b. b. 使用使用部分分式展开求逆部分分式展开求逆z变换变换三、实验原理三、实验原理 MATLABMATLAB信号

5、处理工具箱提供了一个对信号处理工具箱提供了一个对X(z)X(z)进行部分分式进行部分分式展开的函数展开的函数residuezresiduez，其语句格式为：，其语句格式为： R,P,K=residuez(B,A)R,P,K=residuez(B,A)其中其中: B: B，A A分别表示分别表示X(z)X(z)的分子与分母多项式的系数向量，的分子与分母多项式的系数向量，分子与分母多项式按照分子与分母多项式按照 升幂排列，从升幂排列，从z z0 0的系数开始的系数开始R R为部分分式的系数向量；为部分分式的系数向量；P P为极点向量；为极点向量；K K为多项式的系数。若为多项式的系数。若X(z)X

6、(z)为有理真分式，则为有理真分式，则K K为零。为零。1z 1111( )11nnRRX zKP zP z 三、实验原理三、实验原理例例3 3 用用MATLABMATLAB命令进行部分分式展开，并求出其命令进行部分分式展开，并求出其z z反变换。反变换。解：解：MATLAB源程序为源程序为B=18;A=18,3,-4,-1;R,P,K=residuez(B,A)5 . 0|431818)(321zzzzzXB，A X(z)的分子与分母多项式的系数向量的分子与分母多项式的系数向量R为部分分式的系数向量；为部分分式的系数向量；P为极点向量；为极点向量；K为多项式的系数。为多项式的系数。 P= 0

7、.5000 -0.3333 -0.3333K= 从运行结果可知32pp 表示系统有一个二重极点。所以，X(z)的部分分式展开为2111)3330.314 . 03333. 0124. 05 . 0136. 0)(zzzzX（)()3333. 0)(1( 4 . 0)3333. 0(24. 0) 5 . 0(36. 0)(nunnxnnn三、实验原理三、实验原理R= 0.3600 0.2400 0.40002( )341zX zzz13z 例例4 用部分分式法求逆z变换： 1212( )34134zzX zzzzzb=0,1;%初始输入分子多项式的项数a=3,-4,1;%初始输入分子多项式的项数

8、r,p,k=residuez(b,a); MATLAB程序：得到r =0.5, -0.5p =1, 1/3k =110.50.5( )11(1 3)X zzz( )0.5(1)0.5(1/3)(1)nx nunun 结合其ROC，可以得到信号为三、实验原理三、实验原理2( )(2)(1)zX zzz31222( )1(2)(1)21(1)cccX zzzzzzz12( )(2)1zX zczz221121( )1(1)1(21)!(2)zzdX zczdzzz 23111( )1(1)1(22)!(2)zzX zczzz 2( )21(1)zzzX zzzz例例5 用部分分式法求逆z变换： 解

9、：解： 即即 ( )21 ( )nx nn u n 三、实验原理三、实验原理 221 21( )(2)(1)(1) (12)zzX zzzzzb=0,0，1;%初始输入分子多项式的项数a=poly(1,1,2);%初始输入分子多项式的项数r,p,k=residuez(b,a);%求三个系数r,p,k得到 r = 1.0000 -0.0000 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000ip = 2.0000 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000ik = 111 2101( )(12)1(1)X zzzz对比一下两种分解方式，二者是对比一下两种分解方式，二者是

10、等价的。等价的。用matlab求其部分分式 MATLAB中提供了多项式乘法和除法函数：conv(b, a)和deconv(b, a) C=conv(b, a)：其中b、a是两个向量。如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法；如果是任意两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。q,r=deconv(b, a)：其中b、a是两个向量。如果是一个有理分式的分子、分母多项式的系数，则完成多项式的除法b/a；如果是任意两个数组，则完成的是解卷积b/a；返回结果q为商，r为余数。c.c.用长除法法求逆用长除法法求逆Z变换变换在z变换应用时，要求b, a是X(z)中按照z-1的升幂排列的分子分母的系数。

11、111 2111 0 0 00012111计算 ，商的精度要求达到4位若要求序列x(n)的长度为Nq 即 商的长度为Nq 当分子的长度b小于分母a的长度时，补0的长度为 (Na-Nb)+(Nq-1)计算序列计算序列x(n)的长度的长度：例例6 用长除法求逆z变换：P53 例2-6111( )1410.25X zzzNq=7;%待求解x(n)的项数b=-1;%初始输入分子多项式的系数Nb=length(b); %分子多项式的项数a=poly(4,0.25); % poly() 求解多项式的系数，Na=length(a);%分母多项式的项数b=b, zeros(1,Nq+Na-Nb-1);% 将b

12、补零成为长度为Nq+Na-1的多项式Nb=length(b);%分子多项式的项数q,r=deconv(b,a)%求二个系数q,rstem(0:Nq-1,q);title(x(n);xlabel(n);ylabel(x(n);例例7 用长除法求逆z变换： 2111( )10.910.7X zzzNq=100;%待求解x(n)的项数b=1;%初始输入分子多项式的系数Nb=length(b);%分子多项式的项数a=poly(0.9,0.9,-0.7);% poly()可以求解多项式的系数，初始输入分母多项式的项数Na=length(a);%分母多项式的项数b=b, zeros(1,Nq+Na-Nb-

13、1);% 将b补零成为长度为Nq+Na-1的多项式Nb=length(b);%分子多项式的项数q,r=deconv(b,a)%求二个系数q,rstem(0:Nq-1,q);xlabel(n)ylabel(x(n)三、实验原理三、实验原理2 2、系统函数的零极点分析、系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z z变换与变换与激励的激励的z z变换之比变换之比: : )()()(zXzYzH如果系统函数如果系统函数)(zH的有理函数表示式为的有理函数表示式为11211121)(nnnnmmmmazazazabzbzbzbzH三、实

14、验原理三、实验原理在在MATLABMATLAB中系统函数的零极点就可通过函数中系统函数的零极点就可通过函数rootsroots得到，得到，也可借助也可借助DSPDSP工具箱中的函数工具箱中的函数tf2zptf2zp得到，得到，tf2zptf2zp的语句格的语句格式为：式为：R,P,K=tf2zp(B,A)R,P,K=tf2zp(B,A)其中，其中，B B与与A A分别表示分子与分母多项式的系数向量。分别表示分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将它的作用是将H(z)H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益的有理分式表示式转换为零极点增益形式：形式：)()()()()(2121nmpzpzpzz

15、zzzzzkzHMATLABMATLAB实现实现三、实验原理三、实验原理例例8 8 已知一离散因果已知一离散因果LTILTI系统的系统函数为：系统的系统函数为：16. 032. 0)(2zzzzH试用试用MATLABMATLAB命令求该系统的零极点。命令求该系统的零极点。 三、实验原理三、实验原理2121216. 0132. 016. 032. 0)(zzzzzzzzHB=1,0.32;B=1,0.32;A=1,1,0.16;A=1,1,0.16;R,P,K=tf2zp(B,A)R,P,K=tf2zp(B,A)R=R= -0.3200 -0.3200P=P= -0.8000 -0.8000 -

16、0.2000 -0.2000K=K= 1 10.32z 极点为：极点为：10.8p 20.2p 因此，零点为：因此，零点为：三、实验原理三、实验原理若要获得系统函数的零极点分布图，可直接应用若要获得系统函数的零极点分布图，可直接应用zplanezplane函函数，其语句格式为：数，其语句格式为：zplane(B,A)zplane(B,A)其中，其中，B B与与A A分别表示的分子和分母多项式的系数向量。分别表示的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在它的作用是在Z Z平面上画出单位圆、零点与极点。平面上画出单位圆、零点与极点。三、实验原理三、实验原理例例9 9 已知一离散因果已知一离散因果L

17、TILTI系统的系统函数为：系统的系统函数为：试用试用MATLABMATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。命令绘出该系统的零极点分布图。68. 052. 136. 0)(22zzzzH21210.36( )11.520.68zH zzz B=1,0,-0.36;B=1,0,-0.36;A=1,-1.52,0.68;A=1,-1.52,0.68;R,P,K=tf2zp(B,A)R,P,K=tf2zp(B,A)zplane(B,A),grid on;zplane(B,A),grid on;legend(legend(零点零点,极点极点););title(title(零极点分布图零极点分布图);)

18、;MATLAB源程序为：源程序为：在离散系统中，在离散系统中，z z变换建立了时域函数变换建立了时域函数 与与z z域函数域函数之间的对应关系。因此，之间的对应关系。因此，z z变换的函数变换的函数 从形式可以从形式可以反映反映 的部分内在性质。的部分内在性质。我们通过讨论我们通过讨论H(z)H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。零极点分布与系统时域特性的关系。三、实验原理三、实验原理)(zH3 3、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系 )(zH)(nh)(nh三、实验原理三、实验原理M

19、ATLABMATLAB求解单位抽样响应求解单位抽样响应 可利用函数可利用函数filterfilter， filterfilter函数的常用语句格式为：函数的常用语句格式为：y=filter(b,a,x)y=filter(b,a,x)表示由向量表示由向量b b和和a a组成的系统对输入组成的系统对输入x x进行滤波，系统进行滤波，系统的输出为的输出为y;y; )(nh三、实验原理三、实验原理MATLABMATLAB另一种求单位抽样响应另一种求单位抽样响应 的方法是利用控制的方法是利用控制系统工具箱提供的函数系统工具箱提供的函数impzimpz来实现。来实现。impzimpz函数的常用函数的常用语

20、句格式为语句格式为impz(b,a,N)impz(b,a,N)其中，参数其中，参数N N通常为正整数，代表计算单位抽样响应的通常为正整数，代表计算单位抽样响应的样值个数。样值个数。)(nh三、实验原理三、实验原理例例10 10 试用试用MATLABMATLAB命令画出系统函数的零极点分布图、以命令画出系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位抽样响应及对应的时域单位抽样响应 的波形。的波形。 )(nh18 . 0118 . 0)(ZzzzHb1=1;a1=1,-0.8;subplot(121)zplane(b1,a1)title(极点在单位圆内的正实数)subplot(122)impz(b1,

21、a1,30);grid on;三、实验原理三、实验原理三、实验原理三、实验原理4 4、离散时间、离散时间LTILTI系统的频率特性分析系统的频率特性分析 离散时间系统的频率响应定义为：离散时间系统的频率响应定义为：)(| )(|)(jjjeeHeH| )(|jeH)(其中其中:称为离散时间系统的幅频特性称为离散时间系统的相频特性 (z)()jjzeHH e 是关于是关于 的的以以2 2 为周期的连续信号为周期的连续信号()jH e 三、实验原理三、实验原理MATLAB提供了求离散时间系统频响特性求离散时间系统频响特性的函数freqzfreqz的调用格式1:其中: B与A表示系统函数的分子和分母

22、多项式的系数向量；N为正整数，表示对频域离散化的点数，默认值为512； 返回值w: 包含 范围内的N个频率等分点；返回值H: 是离散时间系统频率响应。0格式2 ：20H,w=freqz(B,A,N)H,w=freqz(B,A,N,whole)与第一种方式不同之处在于角频率的范围扩展到与第一种方式不同之处在于角频率的范围扩展到三、实验原理三、实验原理例例11 11 试用试用MATLABMATLAB命令绘制以下系统的频率响应曲线。命令绘制以下系统的频率响应曲线。 8109. 056. 19028. 096. 0)(22zzzzzH解：利用函数解：利用函数freqz计算出计算出)(jeH利用函数利用函数abs和和angle分别求出幅频特性与相频特性分别求出幅频特性与相频特性最后利用最后利用plot命令绘出曲线命令绘出曲线三、实验原理三、实验原理b=1 -0.96 0.9028;a=1 -1.56 0.8109;H,w=freqz(b,a,400,whole);Hm=abs(H);Hp=angle(H);subplot(211)plot(w,Hm),grid onxlabel(omega(rad/s),ylabel(Magnitude)title(离散系统幅频特性曲线离散系统幅频特性曲线)subplot(212)plot(w,Hp),gr