立体几何中的与球有关的内切、外接问题

1、专题：与球有关的内切与外接问题11、若球的大圆面积扩大为原来的、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍，则倍，则球的体积比原来增加了球的体积比原来增加了 _ 倍；倍；2、两个半径为、两个半径为 1 的铁球，熔化后成铸成一的铁球，熔化后成铸成一个球，这个大球的半径为个球，这个大球的半径为 _。2 2132练习：练习：2二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的外接球外接球。定义定义2：若一个多面

2、体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的内切球内切球。一、复习一、复习球体的体积与表面积球体的体积与表面积343VR 球球24SR 球球面面3：有三个球：有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切一球切于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求求这三个球的体积之比这三个球的体积之比.画出正确的截面画出正确的截面：(1)(1)中截面；中截面；(2)(2)对角面对角面找准数量关系找准数量关系21ar aa

3、aa2ar222aa2ar2334练习：练习：有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个球的求这三个球的体积之比体积之比 .33:22:1A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O51. 已知长方体的长、宽、高分别是已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的，求长方体的外接球的体积。外接球的体积。35A1AC1CO变题：变题：2. 已知球已知球O的表面上有的表

4、面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两两两互相垂直，若互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：沿对角面截得：ACBPO O6半球的半径为半球的半径为R，一正方体的四个顶点，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长求正方体的棱长7：正四面体：正四面体ABCD的棱长为的棱长为a，求，求其内切球半径其内切球半径r与外接球半径与外接球半径R.：若正四面体变成正三棱锥，方法：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？是否有变化？1 1、内切球球心到多面体各面的

5、距离均相等，外接球、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等球心到多面体各顶点的距离均相等2 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合、正多面体的内切球和外接球的球心重合3 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合不一定重合4 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5 5、体积分割是求内切球半径的通用做法、体积分割是求内切球半径的通用做法8练习练习:一个四面体的所有的棱都为一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（在同一球面上，

6、则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M为为CD的中点。的中点。连结连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR9练习练习:一个四面体的所有的棱都为一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A

7、1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A10例例3 3、如图、如图, ,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径, ,求证求证:(1):(1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. . (2) (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. .O O证明证明: :R R(1)(1

8、)设球的半径为设球的半径为R,R,24RS球球得得: :则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R.2422RRRS圆圆柱柱侧侧圆圆柱柱侧侧球球SS(2)(2)24RS球球圆圆柱柱全全球球SS32222624RRRS圆柱全圆柱全Q11练习练习1：（1）已知正四棱锥的底面边长为已知正四棱锥的底面边长为4，高与斜，高与斜高的夹角是高的夹角是30，求它的表面积和体积。，求它的表面积和体积。练习练习4：已知正四面体的顶点都在表面积为：已知正四面体的顶点都在表面积为36的球的球面上，求这个正四面体的体积。面上，求这个正四面体的体积。12课时小结: 解决与球有关的内切与外接问题的解决与球有关的内切与外接问题的关键是关键是：通过寻找恰当的过球心的截面通过寻找恰当的过球心的截面, ,把立体问题转化为平面问题把立体问题转化为平面问题, ,通过解三角形求出球的半径通过解三角形求出球的半径R. R. 13ABCDA1B1C1D1B1C1A1BOH三棱锥体积的应用求点到直线的距离14 平行于圆锥底面的平面，把圆锥的高三等分，平行于圆锥底面的平面，把圆锥的高三等分，则圆锥被分成三部分的体积之比为（则圆锥被分成三部分的体积之比为（ ） （A）1 2 3 （B）1 4 9 （C）1 7 19 （D）1 8 27VA1A