研究生入学考试D习题课PPT学习教案

1、会计学1研究生入学考试研究生入学考试D习题课习题课 2022年4月19日15时18分1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则2. 换元积分法换元积分法xxfd)( 第一类换元法第一类换元法tttfd)()( 第二类换元法(注意常见的换元积分类型) (代换: )(tx求不定积分的方法 .第1页/共38页 2022年4月19日15时18分dxxxf21)1(（1）xdxf1)1(（2）dxxxf1)(xdxf)(2（3）dxxxf21)(arcsin)(arcsin)(arcsinxdxf（4）dxxxf21)(arctan)(arctan)(arctanxdxf（5）

2、xdx2sinxd2sinxd2cos第2页/共38页 2022年4月19日15时18分（7）dxxx2ln1xxdln（8）（9）xdx1)1ln1 (xxd1ln1dxx)11 (2)1(xxd（10）dxx)11 (2)1(xxd（6）dxx)ln1 ()ln(xxd（11）dxx211)1ln(2xxd第3页/共38页 2022年4月19日15时18分vuvu d使用原则:1) 由dv易求出 v ;2)vud比uvd好求 .一般经验: 按“反, 对, 幂,三 ,指” 的顺序,排前者取为 u , 排后者取为.vuvd第4页/共38页 2022年4月19日15时18分.d4932xxxxx

3、解解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32第5页/共38页 2022年4月19日15时18分dxxxx42cossin3xxdxdxxx322tansectan3xdxxxxtan) 1(sectan23Cxxxxcoslntan21tan23第6页/共38页 2022年4月19日15时18分.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln22

4、1第7页/共38页 2022年4月19日15时18分.dcos1sinxxxx解法解法1 :原式2d2cos2xxx2tandxxln(1cos )xtan2ln cosln 1 cos22xxxxC分部积分(1 cos )1 cosdxx第8页/共38页 2022年4月19日15时18分.dcos1sinxxxx解法解法2 :原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分第9页/共38页 2022年4月19日15时18分23/2ln(1)xxdxx21ln1xdx 221111lnxxdxxCxxxx)ln(ln22111122ln111xd

5、xxxx 第10页/共38页 2022年4月19日15时18分.d1xx解解: 设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx)(xF连续 , , ) 1 ()1 ()1 (FFF得21211121CC221121CC记作Cxxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,) 1(221Cx,) 1(221Cx利用 第11页/共38页 2022年4月19日15时18分试求)(xF)(lim0 xFx.xdex解：解：被积函数中含有绝对值符号， 故分段积分dxexdxex,1Cexdxex,2Cex其中 为任意常数21,CC由原函数的定义 , 可

6、知 连续 , 得)(xF)0(F11 C)(lim0 xFxlim20Cexx21 C212CC0 x0 x)(xF0 x,1Cex0 x,21Cex第12页/共38页 2022年4月19日15时18分,)(2xyxy解解: 令, tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221第13页/共38页 2022年4月19日15时18分解解.)1ln(arctan2dxxxx求dxxx)1ln(2)1 ()1ln(2122xdx

7、.21)1ln()1 (21222Cxxx)1ln()1(arctan21222xxxxd原式xxxxarctan)1ln()1(21222dxxxx1)1ln(21222第14页/共38页 2022年4月19日15时18分.2)1ln(2 3)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxxxxxxarctan)1ln()1(21222dxxxx1)1ln(21222第15页/共38页 2022年4月19日15时18分dxxxx11ln11102例Cxxxxdxx11411111212lnlnln第16页/共38页 2022年4月19日15时18分设 解解:)(xF为)(xf的原函数,

8、时时当当0 x,2sin)()(2xxFxf有有且,1)0(F,0)(xF求. )(xf由题设, )()(xfxF则,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F, 1)0(2FC0)(xF, 因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又第17页/共38页 2022年4月19日15时18分1. 一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换第18页/共38页 2022年4月19日15时18分(1)

9、 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一定都能积出.例如例如 , ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk第19页/共38页 2022年4月19日15时18分.1d632xxxeeex解解: 令,6xet 则,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln

10、() 1ln(323第20页/共38页 2022年4月19日15时18分求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx) 1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2第21页/共38页 2022年4月19日15时18分I12xxdx解法解法1 12tttdI当1x时，令,20secttxsec tansec tanttdtIttct cx1arccos当1x时，令, 1ttx12tttdc

11、t1arccoscx1arccos第22页/共38页 2022年4月19日15时18分解法解法2 令,1tx 21 tdtIcx1arccos,12dttdxct arccos, 10 t21 tdtIcx1arccos,12dttdx1arcsinct , 01t第23页/共38页 2022年4月19日15时18分I342) 1() 1(xxdx解：解：令,113txx3211xt 232) 1(6ttdtdxI322)11() 1(xxxdxtdI23,1213txct 23,113cxx23321,1tx第24页/共38页 2022年4月19日15时18分.d15)1ln(22xxxx解

12、解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (2121dxx325)1ln(2xxC23分析分析: 5)1ln(d2xx第25页/共38页 2022年4月19日15时18分设,2ln) 1(222xxxf且xxfln)(求( ).x dx解：解：1111ln22xx) 1(2xf1)(1)(ln)(xxxfxlnxxx1)(1)(2( )11xx xdx)(xdx)121 (Cxx1ln2第26页/共38页 2022年4月19日15时18分,1)()(xfxxf求).(xf解解,1)()(xfxxf),(1 )(xfxxf解得221)(xxxxfdxxxxxf221

13、)(dxxxx)1111(22.arctan)1ln(212cxxx第27页/共38页 2022年4月19日15时18分dxxx53cossin1提示：xx53cossin1xxxx5322cossincossinxxxx335cossin1cossin11cossin22xxxx5cossinxx3cossin2xxcossin13xx5cossinxx3cossin2x2sin6xx3sincos第28页/共38页 2022年4月19日15时18分sincossincosxxdxxx提示提示: 原式21dxxxxxcossin1)cos(sin221dxxx)cos(sin221)4sin

14、()4(xxdsin()sincossin cos444xxx第29页/共38页 2022年4月19日15时18分dxxxxx23cossincosxesin提示: 原式xdxexsinsinxesinxdxxsectandxexsinxxesinxexsinsec dxexecxsxsincos 第30页/共38页 2022年4月19日15时18分P221 1, 4, 6 , 9 ,14, 17 , 21 ,24, 26 , 30 , 38 , 39, 40 第31页/共38页 2022年4月19日15时18分求解：解：,sincossin1xdxbxaxI因为.sincoscos2xdxb

15、xaxI12IbIaxdxbxaxbxasincossincos1Cx12IabIxdxbxaxaxbsincossincos)sincos(xbxad2sincoslnCxbxa1I2ICxbxaabxba)sincosln(122Cxbxabaxba)sincosln(122第32页/共38页 2022年4月19日15时18分.d)2(23xexxx解解: 取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx) 13(241xx681Cxxxex)7264(232816161CxxaxaexP

16、xkndcossin)(说明说明: 此法特别适用于如下类型的积分: 第33页/共38页 2022年4月19日15时18分.942xxd解法解法1. 查积分表令,2xu 则原式P349 公式 37Cuu33ln3122Cxx2394ln31222213uud2u223uudux第34页/共38页 2022年4月19日15时18分解法解法2. 令,942xu则原式9422xxxdx223uud,9422 xuxdxudu4Cuu33ln61Cxx394394ln6122Cxx2222)394(ln61Cxx2394ln31244( P348 公式 21 )第35页/共38页 2022年4月19日15时18分.52)42()4(22xxxxxdx解解: 令3) 1(2x4) 1(2x,tan21tx则t dtxd2sec2原式 3tan2t)3tan4(2t4tan42ttsec2t dtttt22cos3sin4cos3sin2ttt dt22cos3sin4si