物理2-振动2+习题课

1、本章内容：本章内容： 14.1 简谐振动简谐振动 14.2 谐振动的合成与分解谐振动的合成与分解 14.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动与共振受迫振动与共振 14.4 非线性振动简介非线性振动简介14.2 2021012021010coscossinsintan AAAA )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx21xxx )cos(0 tAx)cos(21020212221 AAAAA合成振动仍为合成振动仍为简谐振动简谐振动x20 x0 x10 x02010P .Aot M2A1AA2A1A讨论两个特例讨论两个特例 (1)两个振动同相两个振动同相 k21020 ,.2, 1, 0

2、k)cos(21020212221 AAAAA由由2122212AAAAA xto2TT23T2T合成振动合成振动21AA )cos(21020212221 AAAAA由由(2)两个振动反相两个振动反相212122212AAAAAAA 1020 ,.2, 1, 0 k如果如果21AA 则则 A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动合成振动 ) 12( k一般情况一般情况 为其他任意值，则：为其他任意值，则：)(2121AAAAA 上述结果说明两个振动的相位差上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。对合振动起着重要作用。合成振动合成振动t2TT23T2Txo 21xxx tA2co

3、s212 0212cos t着重研究着重研究21, 相近情况相近情况)(21 )cos(0111 tAx)cos(0222 tAx如图如图拍现象拍现象1x2xtox合振幅变化的频率即合振幅变化的频率即拍频拍频|2|1212 拍拍beat拍频振动的应用拍频振动的应用 21xxx tA2cos212 0212cos t: N个同方向个同方向,同频率的谐振动同频率的谐振动,若它们相位若它们相位依次为依次为 、 2 、,试求它们的合振幅试求它们的合振幅; 并证并证明当明当 N = 2k 时的合振幅为零时的合振幅为零.A合合xOBCA0 /2N QR解解： 合振幅合振幅A2sin2 NRA 由由 OPB

4、可看出可看出Pab2sin20 RA 2sin2sin0 NAA 显然当显然当N =2 k 时的合振幅为零时的合振幅为零：两个沿同一直线且具有相同振幅和周期两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。谐振动，求原来两个振动的相位差。解解： 21AAA AAA 2112 A2A OA1x32 )cos(101 tAx)cos(202 tAy)(sin)cos(210202102021222212 AAxyAyAx消去消去t 得到轨道方程得到轨道方程(椭圆方程椭圆方程) 10200) 1 (1020

5、21AAyx 21AAyx 12 A22 A&两个互相垂直同频率两个互相垂直同频率简谐简谐振动的合成振动的合成x2)2(1020 1222212 AyAx2 21AA 轨迹为圆轨迹为圆y23 当两个振动的频率差异很小时当两个振动的频率差异很小时201020 12 A22 A 24 4345 47 49 1 2:&两两当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比; 221 ; 321 ;3221 利萨如图形利萨如图形无阻尼自由振动无阻尼自由振动 阻尼振动阻尼振动( 摩擦阻尼，辐射阻尼摩擦阻尼，辐射阻尼 )由由牛顿第二定律牛顿第二定律txkxtx

6、mdddd22 令令20 mk 2 m ( 称为阻尼因子称为阻尼因子)txFtdd ( 称为阻尼系数称为阻尼系数)对于摩擦阻尼对于摩擦阻尼,当当 不太大时不太大时0dd2dd222 xtxtx 220 称为阻尼振动振幅称为阻尼振动振幅Otx此常系数线性齐次微分方程的解为此常系数线性齐次微分方程的解为在阻尼较小时，在阻尼较小时， 0，) cos(00 teAxt0dd2dd222 xtxtx teAA 034500220222TT 曲线曲线4,5为为过阻尼过阻尼振动振动)(0 曲线为曲线为临界阻尼临界阻尼)(0 在生产实际中根据不在生产实际中根据不同要求控制阻尼大小。同要求控制阻尼大小。12xt

7、图中曲线图中曲线1,2为为阻尼振动阻尼振动)(0 设设T 为物体相继两次通过极大为物体相继两次通过极大(或极小或极小)位置所经时间位置所经时间 1 . 掌握简谐运动的基本特征和规律掌握简谐运动的基本特征和规律. 2 . 掌握描述简谐运动的旋转矢量法掌握描述简谐运动的旋转矢量法,并能用以分析有关并能用以分析有关问题问题,特别是相位、相位差问题特别是相位、相位差问题. 3 . 掌握描述简谐运动的三个特征量的意义和求法掌握描述简谐运动的三个特征量的意义和求法,从而从而建立简谐运动的运动学方程建立简谐运动的运动学方程. 4 . 理解同方向同频率简谐运动的合成规律及合振动振理解同方向同频率简谐运动的合成

8、规律及合振动振幅极大或极小的条件幅极大或极小的条件. 5 . 理解简谐运动的能量特点理解简谐运动的能量特点. 1 . 简谐运动的规律和判据简谐运动的规律和判据0dd222 xtx f = kx)cos( tAx线谐运动线谐运动(定义兼判据定义兼判据)0dd222 t M= k )cos( t角谐运动角谐运动Jk 且且mk 且且 2 . 谐运动的运动学方程谐运动的运动学方程, 速度、加速度表达式速度、加速度表达式)cos( tAx)sin( tAv)cos(2 tAa 3 . 谐运动中的各物理量谐运动中的各物理量 振幅振幅A、周期、周期T、频率、频率 、角频率、角频率 、相位、相位( t + )

9、 初相位初相位 4 . 谐运动中的谐运动中的三要素的确定三要素的确定kEvxA222020 Ax0cos Av0sin ,mk 弹弹簧簧振振子子： 12 Tlg 单单摆摆： 5 . 同方向、同频率简谐运动的合成同方向、同频率简谐运动的合成)cos(212212221 AAAAA)cos()cos(221121 tAtAxxx仍为简谐运动仍为简谐运动,其中其中:同相同相:k=0,1, 2, 3.22112211coscossinsintan AAAA k212 21AAA 反相反相: )12(12 k21AAA k=0,1, 2, 3.)(sin21212222 tAmmvEk 6 .简谐运动的

10、能量简谐运动的能量)(cos2121222 tkAkxEp221kAEEEpk 241kAEk 241kAEp 1 .符合什么规律的运动是简谐运动符合什么规律的运动是简谐运动?判断下列物体判断下列物体(物理量物理量)的运动是不是简谐运动的运动是不是简谐运动? (1)完全弹性球在钢板上的上下跳动完全弹性球在钢板上的上下跳动;(2)活塞的往复运动活塞的往复运动; (3)如图所示如图所示,一小球在半径很大的一小球在半径很大的光滑凹球面上滚动光滑凹球面上滚动(滚动距离很短滚动距离很短); (4)长为长为l, 质量为质量为m的均质细杆的均质细杆,顶端悬挂在固定的光滑顶端悬挂在固定的光滑轴上轴上.今将其下

11、端稍微偏离平衡位置今将其下端稍微偏离平衡位置(角度很小角度很小),使其摆动使其摆动; (5)一质点做匀速圆周运动一质点做匀速圆周运动,它在直径上投影的运动它在直径上投影的运动; (6)由交流发电机发出的由交流发电机发出的50Hz的交流电的交流电; 提示提示：简谐运动不是一般的往复运动：简谐运动不是一般的往复运动,要判断一一个物理量是否要判断一一个物理量是否作简谐运动必须严格按照接简谐运动的运动学或动力学特征是否得作简谐运动必须严格按照接简谐运动的运动学或动力学特征是否得到满足来判定到满足来判定. 分析分析: mgmg sin sinmg mgltm 22dd glt 22dd即即 (7)两个固

12、定在两个固定在2R 距离上的小球各带电量距离上的小球各带电量Q,在其中点处在其中点处放一电量为放一电量为q 的点电荷的点电荷A,令令A在固定电荷连线上振动在固定电荷连线上振动(xR),是不是简谐运动是不是简谐运动?如果如果A的上下前后左右都对称地的上下前后左右都对称地放置同样的固定电荷放置同样的固定电荷, A是否简谐运动是否简谐运动?从而体会晶体内的从而体会晶体内的离子在它的平衡位置附近的运动离子在它的平衡位置附近的运动. 2 .作简谐运动的单摆在一个周期的几个运动状态如图作简谐运动的单摆在一个周期的几个运动状态如图所示所示.若分别以若分别以(a)和和(b)为计时起点为计时起点,问单摆的初相和

13、各图所问单摆的初相和各图所示状态的相位各为何值示状态的相位各为何值?(a)(b)(c)(d) m m 最大最大 最大最大0ddt0ddt =0 =0为负最大tdd为正最大tdd t+ =0 t+ =3 /2 t+ = t+ = /2 =0 = /2 t+ =0 t+ = /2 t+ = t+ =3 /2QQqxf )(1)(14220 xRxRqQf )(2)(2422220 xRxxRRqQ 4044RRxqQ 30RxqQ kx 准弹性力！准弹性力！ 3 .若若F代表质点所受合外力代表质点所受合外力, M代表刚体所受合外力矩代表刚体所受合外力矩, x是质点位移是质点位移, 是刚体离开平衡位

14、置的角是刚体离开平衡位置的角,v 是质点运动是质点运动速度速度, k、k1、k2 、A、B、D、J为正常数为正常数. 在下列各式中在下列各式中,哪种情况质点哪种情况质点(或刚体或刚体)作谐运动作谐运动(或角谐运动或角谐运动)? (1)F= k k1 x ; (2) F= k1 x2 ; (3) F= kv ; (5) M= D ; (6) x =Asin2Bt ; (7) x =AB x2 ; (4) F=k x ; (8) x = 5sin( t+ /2) ; (9) x =e-At 5cos t ;xtx222dd)10( .dd)11(22 DtJ 1 . 如图如图,长方形物体长方形物体

15、B质量质量m,横截面积横截面积S ,放入密度为放入密度为 的液体中的液体中,同时由劲度系数为同时由劲度系数为k的弹簧吊起的弹簧吊起, 使之部分露出液面使之部分露出液面.起始时起始时B静止不动静止不动.现将沿竖直方向向下压现将沿竖直方向向下压 x 后放手后放手,求物体求物体B 的运动方程的运动方程(忽略摩擦力忽略摩擦力, 分别取分别取向上向下为向上向下为 x 轴正方向轴正方向).k B ：设平衡时物体浸入水中为：设平衡时物体浸入水中为a,弹簧伸长为弹簧伸长为x0,)1(00 kxgasmg 取取 x 轴向上为正轴向上为正,由平衡位置向下压由平衡位置向下压x) 2(dd)()(220txmmgxx

16、kgsxa 取液面为取液面为x=0 x=0)1(00 kxgasmg ) 2(dd)()(220txmmgxxkgsxa 22dd)(txmkgs mkgs 2?)cos(0 txx )cos(0 txx 2 . 如图质量如图质量m,长为长为l的均质细杆的均质细杆A,可绕通过其端点可绕通过其端点O1的水平轴在竖直平的水平轴在竖直平面内自由转动面内自由转动.在离轴在离轴O1为处的正上方为处的正上方有一劲度系数为有一劲度系数为k的弹簧的弹簧B悬挂在悬挂在O2与与A相连相连.平衡时杆平衡时杆A处于水平位置处于水平位置,现令现令杆转过一个小角度杆转过一个小角度 0后后,由静止释放由静止释放,求运动学方

17、程求运动学方程. BAO23lO1：设平衡时弹簧伸长：设平衡时弹簧伸长x0,230lmglkx kmgx230 当杆由平衡位置转过小角度当杆由平衡位置转过小角度 , cos23)sin3(0lmgllxkM )( 很很小小 32kl 222dd31tmlJ mk 2 tmkcos0 3 .如图分别为简谐运动的位移如图分别为简谐运动的位移时间时间(x-t)曲线和速度曲线和速度时时间间(v-t) 曲线曲线, 试分别写出它们的简谐运动方程试分别写出它们的简谐运动方程.ox(m)t(s)AA/21xA35 3 ? T)(11211sT 1112 T6112 T)3611cos( tAx)(SI(1)又

18、又t 6111 611 v(m/s)ot(s)vm2-vm-vm/2xv(2)0 t)sin(2 tvvmm21sin 65;6 )cos( taam0 6 t 1211 mvA )61211cos(1112 tvxm 6112 1112mv 解析法解析法v(m/s)ot(s)vm2-vm-vm/2vx由由速度振幅速度振幅矢量推矢量推位移振幅位移振幅矢量矢量 Avm Ax6cm 4 .质量为质量为0.2kg的圆盘的圆盘B,悬挂在弹簧的下悬挂在弹簧的下面面, 弹簧伸长弹簧伸长 2cm,另有圆另有圆C 环从盘上方环从盘上方6cm处自由落下与盘处自由落下与盘B 作完全非弹性碰撞作完全非弹性碰撞,碰撞

19、碰撞时间极短时间极短, 环落到盘上开始计时环落到盘上开始计时,坐标取向下坐标取向下为正为正, 空气阻力不计空气阻力不计,求求:kBC(1)盘的运动学（振动）方程盘的运动学（振动）方程;(2)用旋转矢量法求从开始运动学到用旋转矢量法求从开始运动学到首次回到平衡位置所用的时间首次回到平衡位置所用的时间.： (1)mNgmkB10002. 0 C与与B 碰撞前碰撞前smghvC1 . 12 0)(vmmvmCBCC smvvC55. 0210 6cmkBCsradmmkCB105 mkgmxC02. 00 mvxA04. 022020 x200Axt 00 v且且?0 320 )32105cos(04. 0 tx(2) t 34 st256. 0 5 . 倾角为倾角为 的固定斜面上放一质量为的固定斜面上放一质量为m物体物体B,由细绳由细绳跨过定滑轮与劲度系数为跨过定滑轮与劲度系数为k的弹簧相连如图的弹簧相连如图,弹簧下端固弹簧下端固定在地面定在地面.滑轮可视为均质圆盘滑轮可视为均质圆盘,半径半径R,质量质量M, 绳与轮不绳与轮不打滑打滑, 摩擦力忽略不计摩擦力忽略不计