5.2.1三角函数的概念-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

1、立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展5.2.1 任意角的三角函数(第一课时)第五章 三角函数立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展sin_;cos_;tan_aboxyP(a,b)r复习引入复习引入请同学们回忆一下：在直角三角形中，如何表示请同学们回忆一下：在直角三角形中，如何表示角的正弦、余弦和正切值角的正弦、余弦和正切值我们能求上述角的三角函数值，若角是任意大小的角，我们能求上述角的三角函数值，若角是任意大小的角，我们还能求它的三角函数值吗？我们还能求它的三角函数值吗？立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个 问题.如图，以单位圆的圆心为原点

2、， 以射线OA为 轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P 射线OA从 轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向 旋转角，终止位置为OP.【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给 定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？探求新知探求新知立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展【分析】利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).【结论】一般地，任意给定一个角R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无 论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标 和 纵坐标 都是角的函数

3、.探求新知探求新知立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展【定义】设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P（1）把点P的纵坐标 叫做的正弦函数，记作sin，即 =sin（2）把点P的横坐标 叫做的余弦函数，记作cos，即 =cos（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的正切，记作tan，即 =tan ( ). 可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tan无意义.除此之外，正切tan与实数是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称 为正切函数.=tan ( ) 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.探求新知探求新知立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展归纳总结

4、归纳总结立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展三角函数定义域值域sincostanRk k2 2| ,k ZRR1,11,1学习新知学习新知4由三角函数的定义可知三角函数值是两个量的比值，由三角函数的定义可知三角函数值是两个量的比值，所以其大小与点所以其大小与点P在终边上的位置无关，它是由终边在终边上的位置无关，它是由终边所在的位置唯一确定的，它是角的大小的函数所在的位置唯一确定的，它是角的大小的函数立德树人 和谐发展可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tan无意义.所以，点P的横坐标 和请同学们回忆一下：在直角三角形中，如何表示角的正弦、余弦和正切值 叫做 的正弦，即=tan

5、( )| ,kZ任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.（1）把点P的纵坐标 叫做的正弦函数，记作sin，即 =sin论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的.定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tan无意义.OMPOM0P0我们能求上述角的三角函数值，若角是任意大小的角，我们还能求它的三角函数值吗？【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给课本P184页 习题5.当 或 叫做 的余弦，即分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，于是 ，即 可以看

6、出，当 时，的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tan无意义. 叫做 的余弦，即纵坐标 都是角的函数.所以 ，即 旋转角，终止位置为OP.分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，课本P184页 习题5.易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0， 53解：如图，在直角坐标系中，作 ，53AOB易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，13()22， 所以53sin32， 51cos32，5tan33 新知探究例1 利用三角函数的定义求 的正弦、余弦和正切值典型例题典型例题立德树人 和谐发展特殊角的三角函数特殊角的三

7、角函数立德树人 和谐发展M0M 证明：设角的终边与单位圆交于点P0（x0，y0）分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，P0 xyOP则|P0M0|y0|，|PM|y|，|OM0|x0|，|OM|x|，新知探究例2如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为rsincostanyxyrrx，求证：立德树人 和谐发展OMPOM0P0 因为y0与y同号，所以 ，即 0yyrsinyr同理可得costanxyrx，新知探究于是 ，即 001M PMPr0yyrM0Msincostanyxyrrx，P0 xyOP例2如图，设

8、是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r求证：立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展【点拨】回归“定义”是解题的一种常用手段例2如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r 叫做 的余弦，即时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).旋转角，终止位置为OP.分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？纵坐标 都是角的函数.=tan ( )分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0

9、，例2如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r| ,kZ可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tan无意义.【分析】利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；【定义】设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P射线OA从 轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向所以，点P的横坐标 和【思路分析】抓住正弦、余弦和正切的定义是解决本题的关键【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个金版P117-P119当 或纵坐标 都是角的函数.如图，以单位圆的圆心为原点， 以射线OA为则|P0M0|y0|，|PM|y|，|

10、OM0|x0|，|OM|x|，=tan ( )【思路分析】抓住正弦、余弦和正切的定义是解决本题的关键易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，=tan ( ) 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的是终边上的任意一点，点任意一点，点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ry 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rx 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关. .定义推广：定义推广：立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展【思路分析思路分析】抓住正弦、余弦和正切的定义是解决本题的关键抓住正弦、余弦和正切的定义是解决本题的关键【点拨】【点拨】回归回归“定义定义”是解题的一种常用手段是解题的一种常