概率论与数理统计：第6章 第二节抽样分布

1、概率统计 在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，往往不是直接使计推断的依据。但在实际应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。函数，利用这些样本的函数进行统计推断。 第二节第二节 抽样分布抽样分布 问题的提出问题的提出 亦即样本去推断总体情况，需要对样本进行一亦即样本去推断总体情况，需要对样本进行一定的定的“加工加工”，这就要构造一些样本的适当函数，这就要构造一些样本的适当函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起

2、来。它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。 这种这种不含任何未知参数的样本的函数不含任何未知参数的样本的函数称为称为统计统计量量。它是完全由样本决定的量。它是完全由样本决定的量。概率统计1. 定义定义设设 是来自总体是来自总体 X 的一个样的一个样本本，12,nXXX),(21nXXXg是是 的函数。的函数。nXXX21,若若 g 是连续函数且是连续函数且 g 中不含任何未知参数中不含任何未知参数,则称则称 是一个统计量。是一个统计量。12(,)ng XXX一一. 统计量的定义统计量的定义 注注: 统计量是样本的函数，它是一个统计量是样本的函数，它是一个随机变量随机变量。其中其中: 是是

3、 的的样本值样本值nxxx,21nXXX21, 称称 为为 的的观察值观察值),(21nxxxg12(,)ng X XX概率统计 2. 几个常用的统计量几个常用的统计量样本均值：样本均值：样本方差：样本方差：11niiXXn 2211()1niiSXXn 它反映了总体它反映了总体均值的信息均值的信息它反映它反映了总体了总体方差的方差的信息信息(1).(2).(3).样本标准差：样本标准差：2211()1niiSXXn (4).样本样本 k 阶原点矩：阶原点矩：11nkkiiAXn (5).样本样本 k 阶中心矩：阶中心矩：11()nkkiiBXXn k=1, 2,它反映了它反映了总体总体k 阶

4、阶矩的信息矩的信息它反映了它反映了总体总体k 阶阶中心矩的中心矩的信息信息概率统计注注:(1) (5)均是随机变量，均是随机变量，实际上它们是样本函数的实际上它们是样本函数的数字特征；数字特征；它们的观察值是具体的实数值，仍它们的观察值是具体的实数值，仍称为样本均值、样本方差、样本称为样本均值、样本方差、样本 k 阶原点距阶原点距与样本与样本 k 阶中心距。阶中心距。 若总体若总体 X 的的 k 阶原点距阶原点距 存在，存在，则当则当 时有：时有： ()kkE X n ,1,2,pkkAk 这个这个结论表明结论表明：样本的：样本的 k 阶距依概率收敛到阶距依概率收敛到总体的总体的 k 阶距。这

5、也是参数估计中的矩估计阶距。这也是参数估计中的矩估计法的理论根据。法的理论根据。(证明见教材证明见教材 P161)概率统计3. 抽样分布抽样分布统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这个分布就称为统计量的个分布就称为统计量的 “抽样分布抽样分布” 。故有：。故有：统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布 二二. 几个重要的分布几个重要的分布设设 是来自正态分布是来自正态分布 N( 0, 1 )的样本，则称统计量：的样本，则称统计量： 为为服从自由度为服从自由度为 n 的的 分布分布.12,nXXX222212nXXX 2 定义定义.2 分布分

6、布1.22( )n记为：记为：概率统计注注:自由度自由度 n 是指是指 中所包含中所包含独立变量独立变量的个数的个数2 2 分布的分布的密度函数密度函数为：为：122210( ; )2(2)00nxnxexf x nnx 来定义。来定义。10( ),0txxe tdtx 其中：伽玛函数其中：伽玛函数 通过积分：通过积分：( )x 其图形如下：其图形如下：概率统计22()(),2EDnn22( )n若若 ，则，则n=2n=1n=4n=6n=11xf (x)0（参见教材（参见教材 P163 图图 61）概率统计2221212()nn2212,相互独立，则相互独立，则2 分布的分布的上上 分位点分位

7、点：(01),称称满足：满足：对于给定的对于给定的为为2 分布的上分布的上 分位点。分位点。2 分布的分布的可加性：可加性：22221122(),()nn 若若且且其图形如下：其图形如下：2( )n 的点的点 )(222)()(ndxxfnP概率统计面积面积 = xf (x)02( )n 2( )n n对于不同的对于不同的 与与 ， 有表可查（见教材有表可查（见教材P443 的附表的附表4） 一般一般:( )a45n 当当时可直接查表时可直接查表( )b45n 当当时可用近似公式：时可用近似公式：概率统计例如：例如：20.1(25)34.382 2(40)26.509)0.95P 20.95(

8、40)26.509 费歇费歇R.AFisher证明证明221( )(21)2nzn z 是正态分布的上是正态分布的上分位点分位点或：或：2( )2nnn z 20.05(50) 21(1.64599)67.22122(25)34.382)0.1P 20.051(2 501)2z概率统计记为记为T t ( n )XTY n 为为服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布.设设 XN ( 0, 1 ) , Y , 且且 X 与与 Y 相互相互独立独立 ，则称随机变量：，则称随机变量：2( )n t 分布分布2. 定义定义. 注注:t 分布是英国统计学家哥塞特（分布是英国统计学家哥塞特（G0s

9、set）首先）首先发现的，并以学生发现的，并以学生(student)的笔名在英国的的笔名在英国的Bi0metrike杂志上发表的一篇文章中提出杂志上发表的一篇文章中提出了他的研究结果，故了他的研究结果，故 t 分布也称为分布也称为学生分布学生分布。概率统计 t 分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为：122(1) 2( ; )(1)(2)nnxt x nnnn t 它非常象正态它非常象正态分布图形分布图形, 关于关于 y 轴对称轴对称xt (x)0n=2n=25n = （参见教材（参见教材 P165 图图 63）其图形如下：其图形如下：概率统计T 分布的上分布的上 分位点分位点: 对于给定

10、的对于给定的 , )10( 称满足条件称满足条件:当当 充分大时，充分大时，n221lim ( ;)2xnt x ne 即即当当 充分大时，充分大时，t 分布可以近似看作是标准正分布可以近似看作是标准正n态分布；但态分布；但当当 较小时，较小时， t 分布与正态分布的差分布与正态分布的差n异是不能忽略的。异是不能忽略的。若若 T t ( n )，则有：，则有：1n 当当 时时( )0E T 2( )D Tnn 2n 当当时时( )( )( )tnP ttnh t dt 的点的点 为为 t 分布的上分布的上 分位点分位点。 )(nt 概率统计( )tn ( )f tt0面积面积 = ( )tn

11、n对于不同的对于不同的 与与 ， 有表可查（见教材有表可查（见教材P441 的附表的附表3） 一般一般:( )a45n 当当时可直接查表时可直接查表( )b45n 当当时可用近似公式：时可用近似公式：( )tnz (用正态分布近似用正态分布近似)概率统计例如例如：0.05(30)1.6973t ( (30)1.6973)0.05P t0.01(35)2.4377t ( (35)2.4377)0.01P t0.050.05(50)(10.05)(0.95)1.645tzzz由上由上 分位点定义及分位点定义及 h( t ) 对称性得对称性得: 1( )( )tntn 概率统计 F分布分布2212(

12、),(),XnYn 设设 X 与与Y 相互独立，相互独立， 则称统计量：则称统计量：为为服从自由度服从自由度 n1 及及 n2 的的 F 分布分布，记作：，记作： F F ( n1, n2 ) 12X nFY n 112121211122212221222()()()1,0( ;,)()()0 0nnnnnnnnnnnnnxxxx n nx 若若 F F ( n1, n2 )，则，则 F 的概率密度为：的概率密度为：注注:3.定义定义.概率统计x( )x 012(,)(10,40)n n 12(,)(1,3)n n 其图形如下：其图形如下：（参见教材（参见教材 P167 图图 65）211(,

13、)F n nF若若 则则12(,)FF n n概率统计 若若 则：则：12(,)FF n n2n 当当 时，时，22(2)nEnF 21221222(2)()(2) (4)n nnn nnD F 4n 当当 时，时，称满足条件称满足条件:1212(,)(,)( )Fn nP FFn nx dx F 分布的上分布的上 分位点分位点: 对于给定的对于给定的 , )10( 的点的点 为为 F 分布的上分布的上 分位点分位点。 ),(21nnF 概率统计12(,)Fn n x( )x 0面积面积 = 12(,)Fn n n对于不同的对于不同的 与与 ， 有表可查（见教有表可查（见教材材P447 的附表

14、的附表5） 62. 2)12,15(05. 0 F(15,12)2.62)0.05P F例如例如:概率统计112211(,)(,)Fn nFn n 0.951 0.05(15,12)(15,12)FF 0.05110.04(12,15)2.48F(15,12)0.04)0.95P F 正态分布正态分布F 分布的上分布的上 分位的分位的性质性质：4.（请复习其图形及性质等）（请复习其图形及性质等）概率统计三三. 正态分布的样本均值与样本方差的分布正态分布的样本均值与样本方差的分布 定理定理 1 (样本均值和样本方差的分布样本均值和样本方差的分布)设设 X1, X2, Xn 是取自正态总体是取自正

15、态总体 ),(2 N的样本，的样本，2,SX是其样本均值和样本方差是其样本均值和样本方差则则2(1)( ,)XNn 222(1)(2)(1)nSn (3)X2S和和相互独立相互独立只证（只证（1），），（2）与（）与（3）的证明见教材的证明见教材P173P174概率统计证明证明:2111(,),XN ),(2222 NX22121212(,)XXN 21(,)niiXN nn 211(,)niiXNnn 2(,)XNn 2( ,),XN (1) 因为若因为若22(,)YN ab a 则有：则有：由已知由已知11niiXXn 又又则：则：即即baXY 概率统计),(2NX12,nXXX2,X S

16、222(1)(1)nSn2,X S2221 (1)()()niinSXn X2 2 2 221/niiXXn22221(1) /niinSXXn2 ( ,)XNn(0,1)/XNn2 /Xn2(1) (0,1)iXN21 niiX2( )n2( )n2(1)2(1)n概率统计n 取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X概率统计n 取不同值时取不同值时 的分布的分布22(1)nS 概率统计推论推论.(0,1)XNn 注注:推论的推论的实质实质是把服从一般正态分布的随机变是把服从一般正态分布的随机变量量 化为标准正态分布的一个方法。它类似化为标准正态分布的一个方法。它类似于把一个随机变

17、量于把一个随机变量 经经线性变换线性变换X),(2 NXxz 化为服从标准正态分布。化为服从标准正态分布。2( ,)N 12,nXXX设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本， 则则概率统计的的线线性性函函数数是是 XnX 对于对于一般一般的有：的有：()P aXb()()bann ()aXbPnnn由推论由推论概率统计定理定理 2. 设设 X1, X2 , Xn 是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2XS和和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有： (1)Xt nSn 证明证明:(0,1),XNn 222(1)(1)nSn 由定理由定理1 的结的结论

18、与论与 推论推论并且两者相互独立并且两者相互独立t由由 分布的定义得：分布的定义得：概率统计22(1)1XnnSn 定理定理 3. 2212(,)(,)XNYN ，且且 X 与与是取自是取自 Y 的样本。的样本。212,nY YY(1)Xt nsn Y 相互独立，相互独立，112,nXXX是取自是取自 X 的的样本，样本，分别是这两个样本的样本均值，分别是这两个样本的样本均值，XY和和分别是这两个样本的样本方差。分别是这两个样本的样本方差。21S22S和和概率统计则有：则有：121212()(2)11WXYt nnsnn证明证明:211(,),XNn 222(,)YNn 而而222() (,)YNn 相当于相当于y = ax+b中中 a = -1, b = 0221212(,)XYNnn0122112212(1)(1)2WnSnSsnn 其中：其中：概率统计从而从而