2020届高考数学专题十四外接球精准培优专练理

1、培优点十四外接球“一、墙角模型，二、对棱相等模型例2：如下图所示三棱锥ABCD,其中ABCD5,ACBD6,ADBC外接球的表面积为.【答案】【答案】55几【解析】【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为a,b,c,2(a2b2c2)25a2b2c255,4R255,S557t.“三、汉堡模型例 1:已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16几B. 20几C.24几D.32几a2h16,a2,4R2h2441624,S247t.7,则该三棱锥3649110例3:一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

2、上,9且该六棱柱的体积为-，底面周长为3,则这个球的体积为.8【解析】设正六边形边长为a,正六棱柱的高为h,底面外接圆的半径为r,则a1,正六棱柱的底面积为S6(1)2巫,2428则VSh瓜h,/.h芯,884R212(石)24,也可R2()2(-)21,R1,22设球的体积为V,则V，四、切瓜模型例4：正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为【解析】方法一：找球心的位置，易知r1,h1,hr,V2,各顶点都在同一球面上，则此球体积为.故球心在正方形的中心ABCD处，R1,V五、垂面模型例 5:一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A.3兀B.2兀C.D.以上都不对3【答

3、案】C【解析】法：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，（J3R）21R2,R-J=S,S4TR2TT.,33法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，2R4兀2,R1,V3故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是2R2sin604一一二，下略.,3六、折叠模型例6：三棱锥PABC中，平面PAB则三棱锥PABC外接球的半径为.【解析】如图，2rl2r22sin60R2O2H22ri5一，R3法二：02H01H1.3,R2A0222AH201H20102平面ABC,.

4、153PAB和4ABC均为边长为2的正三角形,21石02H石二k七、两直角三角形拼接在一起3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,则四面体ABCD的外接球的体积为例7：在矩形ABCD中，AB4,BC125A.12125B.九9c125C.九6125D.九3V5-2R5CAR2选故兀，562c528兀4一3对点增分集训一、选择题1.已知底面边长为 1,侧棱长为J2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）【答案】【答案】D【解析】【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，一一.2.2124347t故2RJi1V22,即得 R R1,所以该球的体积V-T

5、R.丫332.已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2,SBSC4,则该三棱锥的外接球的半径为（）A.3B.6C.36D.9【答案】【答案】A【解析】【解析】因为三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥SABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为4242423.3 .在半彳5为 1 的球面上有不共面的四个点 A,B,A,B,C,D D 且ABCDx,BCDAy,CABDz,222327tB.4 九C.2 九D.A.2B.4C.8D. 16则xyz等于（）4 .正四面体的棱长为4爬,顶点都在同一球面上，则该球的表

6、面积为()A.36兀B.72兀C.1447tD.2887t【答案】【答案】C2一一江一【解析】【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径r-46sin-4V2,33正四棱锥顶点到底面的距离为h&4厨(4扬28,设正四棱锥的外接球的半径为R,则有R2r2(hR)2,即R2(472)2(8R)2,解得R6.则所求球的表面积为S4TR21447t.5.一直三棱柱的每条棱长都是 3,且每个顶点都在球。的表面上，则球。的半径为()【答案】【答案】C【解析】【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为a,b,c,则a2b2c2229.99999999999999根据题息abx,bcy,acz

7、,则xyz2(abc)8.4,CA.B.6C.7D.3BC1,ADAD2,2,BD/5,ACJ2,BCAD,则三棱锥的外接球的表面积为()A.击冗 B.6 冗 C.5 九 D.8 九【答案】【答案】B【解析】如图所示，由已知，BCAD,ABBC,BC面ABD,BCBD,CD2VBCBD2MAD2AC2CD2,ADAC,取CD的中点O,由直角三角形的性质，O到 A,BA,B, ,C C, ,D D 的距离均为3【解【解析】球O的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径r九sin3R2(3)2(-3)26.已知直三棱柱ABCA1BC1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3,AC4,ABAC,AA112,

8、则球O的半径为()A.317B.2.10C.3.102D.132【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点,那么半径，就是R,(5)2621327.已知三棱锥DABC中，AB其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为8.在三棱锥ABCD中，ABC与BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC平面BCD,则该三棱锥的外接球的体积为()A.5A冗B.60兀C.60J5冗D.20，15冗【答案】【答案】D【解析】取BC的中点为 M M, ,E,FE,F 分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，O是该三棱锥外接球的球心，连接 AMAM, ,DMDM, ,OF,OE,OM,O

9、B,则 E,FE,F 分别在 AM,DMAM,DM 上，OF平面BCD,OE平面ABC,OMBC,AMBC,DMBC,所以 AMDAMD 为二面角ABCD的平面角，因为平面ABC平面BCD,所以 AMDM,AMDM,1一一又AMDM373，所以EMFM-AMV3,3所以四边形OEMF为正方形,所以OMJ6,在直角三角形OMB中，球半径OBOM2BM2(6)232,15,所以外接球的体积为V9.在矩形ABCD中，AC2,现将4ABC沿对角线AC折起，使点 B B 到达点 B B 的位置，得到三棱锥BACD,则三棱锥BACD的外接球的表面积为（）A.nB.2 九C.4兀D.大小与点 B B 的位置

10、有关【答案】【答案】C【解析】【解析】由题意，AC的中点为三棱锥BACD的外接球的球心，AC2,，球的半径为1,，三棱锥BACD的外接球的表面积为S47t.二、填空题10.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4,底面边长为2衣，则该球的体积为.【答案】【答案】6【解析】【解析】如图所示，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它白高PO上，设球的半径为R,底面边长为2丘，所以AC4,在RtAO。中，OA2OO2OA2,即R24R222,所以R5,所以球的体积V4TR31255.23611 .如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为6、4 4、3,那么它的外接球的表面积是.【答案】

11、【答案】29几【解析】【解析】由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c(a,b,cR),ab12贝Ubc8,abc24,a3,b4,c2,(2R)2a2b2C29,ac62S4TIR29九.12 .在三棱锥ABCD中，ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥ABCD外接球的表面积为.29【答案】【答案】29几2【解析】【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,则a2b29,b2c24,c2a216,.2(a2b2c2)941629,229c29,4R,STT.22一，.,、_一._一兀13 .在直二梭枉ABCABG中，ABAB4,4,AC6,A一，AA)3外接球的表面积为.2,2229abc4,则直三棱柱ABCAB1C1的【解析】R2r2160九32BC216361一46-28,BC2.7,202.7472.72rr333万万/A、2堂2814.已知三棱锥ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC则此棱锥的体积为.,26OO1R2r2.1（33）215.在直角梯形ABCD中，AD/BC,C45,ABABADAD1,1,沿对角线 BDBD 折成四面使平面 ABDABD 平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为.【解析】如图,易知球心在BC的中点O处，,=4-H