数学建模：第二章 古典模型

1、1第二章第二章 古典模型古典模型1 1 几几种种简简单单的的数数学学方方法法一、观测实验和抽象分析法一、观测实验和抽象分析法欧拉多面体问题欧拉多面体问题 问题：一般凸的多面体其面问题：一般凸的多面体其面数数F F、顶点数、顶点数V V和边数和边数E E之间有何关之间有何关系？系？ 对此欧拉具体地观察了四面体、五对此欧拉具体地观察了四面体、五面体面体 结果如下：结果如下： 2多面体多面体F V E 四面体四面体44 6 五面体五面体 55 8 ( 56 9) 六面体六面体6812 ( 6 610 ) 七面体七面体7712 ( 7 10 15 ) . 3欧拉猜想欧拉猜想 F+V-E=2然后，欧拉证

2、明了这一猜想，这便是著名的欧然后，欧拉证明了这一猜想，这便是著名的欧拉定理。拉定理。 说明：说明： 1)用观察、归纳发现数学定理（建立模用观察、归纳发现数学定理（建立模型）是一种重要方法。型）是一种重要方法。 2）观察应该是大量的，仅凭少量的观察）观察应该是大量的，仅凭少量的观察就去猜想有时会铸成错误。就去猜想有时会铸成错误。 4 例如：例如：1717世纪大数学家费尔马世纪大数学家费尔马（Fermat.1601-1655Fermat.1601-1655年）对公式年）对公式122nnF进行试算：进行试算：30F51F172F2573F 费尔马断言：费尔马断言：“对任意自然数对任意自然数n n，

3、都是都是素数。素数。”，这是著名的费尔马猜想。，这是著名的费尔马猜想。都是素数都是素数 nF5相隔近相隔近100100年后，欧拉算出：年后，欧拉算出：5F42949672974294967297 67004176700417641641不是素数，不是素数， 后来又有很多人算出后来又有很多人算出 n=6.7.8.9.11.12.15.18.23n=6.7.8.9.11.12.15.18.23等都不是素数。等都不是素数。3 3）不要被前人的条框所约束。）不要被前人的条框所约束。 6 假设有一对兔子，两个月后每月可生假设有一对兔子，两个月后每月可生一对兔子，一对小兔子两个月后每月又可生一对兔子，一对

4、小兔子两个月后每月又可生一对小小兔子，依次类推，问一年后共有多一对小小兔子，依次类推，问一年后共有多少对兔子？能否用计算机算出任意月份兔子少对兔子？能否用计算机算出任意月份兔子的对数？的对数？思考题：思考题： Fibonacci数数 7二、鸽笼原理二、鸽笼原理问题：问题： 在一个边长为在一个边长为1 1 的正三角形内最多的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于于21?方法：方法： 8思考题思考题： 在一个边长为在一个边长为1 1的正三角形内，的正三角形内，若要彼此间距离大于若要彼此间距离大于 ，最多不超过，最多不超过多少个点？多少个点？n1

5、9问题问题： 能否在能否在8 88 8的方格表的方格表ABCDABCD各个空格中分各个空格中分别填写别填写1 1、2 2、3 3这三个数中的任一个，使得每行、这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线每列及对角线ACAC、BDBD上的各个数的和都不相同？上的各个数的和都不相同？为什么？为什么？ A A D D B B C C 图图2 2- -2 210 如图如图2-22-2，因为每行、每列及对角线上的，因为每行、每列及对角线上的数都是数都是8 8个个, ,所以所以8 8个数的和最小值是个数的和最小值是1 18 88 8，最大值是最大值是3 38=248=24，共有，共有1717个不同的和。而由

6、个不同的和。而由题意知，每行、每列及对角线题意知，每行、每列及对角线ACAC、BDBD上各个上各个数的和应有数的和应有8+8+2=188+8+2=18个，所以要想使每行、个，所以要想使每行、每列及两对角线上每列及两对角线上1818个和都不相同是办不到个和都不相同是办不到的。的。11三、学会估算三、学会估算问题问题：能否将一张纸对折：能否将一张纸对折100100次？次？ 31010100010242所以所以30100102若每层纸厚度为若每层纸厚度为0.050.05毫米毫米，层就有3010千米22105即五万亿亿千米，而从地球到太阳也不过即五万亿亿千米，而从地球到太阳也不过1.51.5亿亿千米。

7、千米。对折对折100100次就无法办到了。次就无法办到了。层次共对折100210012思考题：思考题： 一块一块1 1立方米的正方体的木块，立方米的正方体的木块，分成分成1 1立方毫米的小木块，再把小木块立方毫米的小木块，再把小木块排起来，问能排多长？排起来，问能排多长？13四、四、“奇偶校验奇偶校验”方方法法问题：铺瓷砖问题问题：铺瓷砖问题 要用要用4040块方形瓷砖铺设如图所示的地面块方形瓷砖铺设如图所示的地面上，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小上，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了等于方形的两块。一人买了2020块长方形瓷砖，块长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄

8、去始终无法完整铺试着铺地面，结果弄来弄去始终无法完整铺好，你能给解决吗？好，你能给解决吗？14 方法：在方法：在4040个方格上黑白相间个方格上黑白相间地染色（思考：发现了什么？），地染色（思考：发现了什么？）， 仔细观察，发现共有仔细观察，发现共有1919个白格和个白格和2121个黑格。一块长个黑格。一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格，所以铺上方形瓷砖可盖住一白一黑两格，所以铺上1919块长方形块长方形瓷砖后（无论用什么方式），总要剩下瓷砖后（无论用什么方式），总要剩下2 2个黑格没有铺，个黑格没有铺，而一块长方形瓷砖是无法盖住而一块长方形瓷砖是无法盖住2 2个黑格，唯一的办法是个黑格，唯一的

9、办法是把最后一块长方形瓷砖一分为二。把最后一块长方形瓷砖一分为二。15 思考题思考题： (1)(1)设一所监狱有设一所监狱有6464间囚室，其排列类似间囚室，其排列类似8 88 8棋盘，看守长告诉关押在一个角落里的囚犯，棋盘，看守长告诉关押在一个角落里的囚犯，只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻囚室间都有门相通），他将被释放。室（所有相邻囚室间都有门相通），他将被释放。问囚犯能获得自由吗？如果囚室为问囚犯能获得自由吗？如果囚室为8 89 9的排列共的排列共7272间，将会出现什么情况？间，将会出现什么情况？16 (2)(2)某班有某班

10、有4949个学生，坐成个学生，坐成7 7行行7 7列。列。每个坐位的前后左右的坐位叫做它的每个坐位的前后左右的坐位叫做它的“邻座邻座”，要让这，要让这4949个学生都换到他的个学生都换到他的邻座上去，问这种调换位置的方案能否邻座上去，问这种调换位置的方案能否实现？实现？17五、问题的转化处理法五、问题的转化处理法问题：问题： 分析：本题局限在代数不等式的范畴不易求证，分析：本题局限在代数不等式的范畴不易求证，但将其转化到几何上，构造反映题目要求的几何模但将其转化到几何上，构造反映题目要求的几何模型即容易解决。型即容易解决。2kcAbCaB求证：kCcBbAaCBAcba满足条件、已知正数18根

11、据题意作正三角形根据题意作正三角形PQRPQR及及NMLNML如图如图NQLMPNLRMSSS由PQRS, ,所以所以 3sin213sin213sin21AcCbBa3sin212k2kCbBaAc即19问题：问题： 在圆周上均匀地放上在圆周上均匀地放上4 4枚围棋子，规定操作规则如枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若是同色的，就在其间放一枚黑子，下：原来相邻棋子若是同色的，就在其间放一枚黑子，若异色就在其间放一枚白子，然后把原来若异色就在其间放一枚白子，然后把原来4 4枚棋子取走，枚棋子取走，完成这一程序就算是一次操作。证明：无论开始时园完成这一程序就算是一次操作。证明：无论开始时园

12、周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4 4次，次，圆周上就全是黑子。圆周上就全是黑子。 下面构造一个反映题设要求的赋值模型，可使下面构造一个反映题设要求的赋值模型，可使问题简化。问题简化。并给棋子赋值：枚棋子为设开始的)4 , 3 , 2 , 1(4ixi204 . 3 . 2 . 111ixxxiii为白子若为黑子若令为异色与若为同色与若并规定11111iiiiiixxxxxx12ix及第一次操作后得到的第一次操作后得到的4 4枚棋子可表示为：枚棋子可表示为：)(21xx)(32xx)(43xx)(14xx第二次操作后得到的第二次操作后得到的4

13、 4枚棋子可表示为：枚棋子可表示为：)(21xx)(32xx)(32xx)(43xx)(43xx)(14xx)(14xx)(21xx21分别化简为分别化简为 )(31xx)(42xx)(13xx)(24xx第三次操作后得到的第三次操作后得到的4 4枚棋子可表示为：枚棋子可表示为： )(31xx)(42xx)(42xx)(13xx)(13xx)(24xx)(24xx)(31xx最后都是最后都是)(4321xxxx第四次操作后得到的第四次操作后得到的4 4枚棋子都是枚棋子都是24321)(xxxx 故这故这4 4枚棋子的赋值都是枚棋子的赋值都是1 1，这表明只需操作，这表明只需操作4 4次，圆周上

14、的棋子全是黑子。次，圆周上的棋子全是黑子。22思考题：思考题： (2)(2)在一个有限的实数列中，任意在一个有限的实数列中，任意7 7个连续个连续项之和都是负数，而任意连续项之和都是负数，而任意连续1111项之和都是正项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？数，试问这样的数列最多有多少项？ (3)(3)有有1212个外表相同的硬币个外表相同的硬币, ,已知其中一个是已知其中一个是假的假的( (可能轻也可能重些可能轻也可能重些).).现要用无砝码的天平现要用无砝码的天平以最少的次数找出假币以最少的次数找出假币, ,问应怎样称法问应怎样称法. . (1) 如果问题2中是放8枚棋子，结果如何？进

15、一步研究每一圈棋子个数为任意自然数n时棋子颜色的变化规律。232 2 几何模拟问题几何模拟问题 把一个复杂的问题，抽象成各种意义下的几把一个复杂的问题，抽象成各种意义下的几何问题加以解决，这种方法叫做几何模拟法。几何何问题加以解决，这种方法叫做几何模拟法。几何模拟法常常在发现问题解答的同时，也就论证了解模拟法常常在发现问题解答的同时，也就论证了解答的正确性，这种方法当然是数学中的一种重要思答的正确性，这种方法当然是数学中的一种重要思维方法。维方法。一、相识问题相识问题 问题：问题：在在6 6人的集会上，总会有人的集会上，总会有3 3人互相人互相认识或者互相不认识。认识或者互相不认识。 怎样论证

16、此问题？怎样论证此问题？24 方法：把方法：把6 6个人看作平面上的个人看作平面上的6 6个点，个点，并分别记作为并分别记作为 (i=1.26)(i=1.26)。若两人相识，。若两人相识，则用实线联接此两点，反之用虚线。则用实线联接此两点，反之用虚线。 于是原问题转化为：在这个于是原问题转化为：在这个6 6点图中，点图中，必然出现实三角形或虚三角形。必然出现实三角形或虚三角形。 个人相识，至少和不妨假设31A个人不相识，必至少和否则31A 而不相识与相识在问题中是对等的，而不相识与相识在问题中是对等的，至于其它点的情况类似。至于其它点的情况类似。 iA25其它其它1010种情况类似可证，至此问

17、题得证种情况类似可证，至此问题得证 。 于是问题又转化为：于是问题又转化为：点图中，条实线的出发并有在从631A必然出现实三角形或虚三角形。必然出现实三角形或虚三角形。 的连线为实线，如图：、与现假设5421AAAA之一为实线，、如果525442AAAAAA则必出现实的三角形，则必出现实的三角形， 若都不是实线，若都不是实线， 为虚的三角形，则三角形542AAA即在这种情况下结论是正确的。即在这种情况下结论是正确的。 26思考题思考题： (3)(3)1717个科学家中每一个科学家都和其它个科学家中每一个科学家都和其它科学家通信，在他们通信时，只讨论科学家通信，在他们通信时，只讨论3 3个题目，

18、个题目，而且任意而且任意2 2个科学家互相通信时只讨论个科学家互相通信时只讨论1 1个题个题目，证明其中至少有目，证明其中至少有3 3名科学家，他们互相通名科学家，他们互相通信中讨论的是同一个题目。信中讨论的是同一个题目。 （1）9人的集会中一定有人的集会中一定有3个人互相认识或个人互相认识或者有者有4个人互相不认识。个人互相不认识。 （2）14个人的集会中一定有个人的集会中一定有3个人互相认识个人互相认识或者有或者有5个人互相不认识。个人互相不认识。 27 （4 4）设有设有n n个人参加一宴会，已知没有个人参加一宴会，已知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们人认识所有的人，问是否有两个

19、人，他们认识的人一样多？认识的人一样多？28二、椅子问题二、椅子问题 问题：问题：将将4 4条腿长相同的方椅子条腿长相同的方椅子放在不平的地上，怎样才能放平？放在不平的地上，怎样才能放平？29 假定椅子中心不动，每条腿的着地点视假定椅子中心不动，每条腿的着地点视为几何上的点，用为几何上的点，用A A、B B、C C、D D表示，把表示，把ACAC和和BDBD连线看作坐标系中的连线看作坐标系中的x x轴和轴和y y轴，把转轴，把转动椅子看作坐标的旋转如图动椅子看作坐标的旋转如图2-62-6所示：所示： 其中其中表示对角线表示对角线ACAC转动后与初始位置转动后与初始位置x x轴的夹角。轴的夹角。

20、30 设设g(g(）表示）表示A A、C C两腿旋转两腿旋转角度后与角度后与地面距离之和地面距离之和; ; f( f(）表示）表示B B、D D两腿旋转两腿旋转角度后与地角度后与地面距离之和，面距离之和， 当地面为连续曲面时，当地面为连续曲面时，f()f()、g()g()皆皆为连续函数，因为三条腿总能同时着地，即为连续函数，因为三条腿总能同时着地，即对任意对任意，总有，总有f()f()g()g()0 0 。不妨设初始位置不妨设初始位置0 0时时g(0)g(0)0 0，f(0)0f(0)0，问题转化为：是否存在一个问题转化为：是否存在一个. 0)(000gf使得此问题可抽象成什么样的数学问题？此

21、问题可抽象成什么样的数学问题？31数学问题如下：数学问题如下： 已知：已知：f()、g()连续，连续， g(0)0，f(0)0，且对任意的且对任意的，有，有g()f()0。. 0)()(000fg，使得求证：存在证明：证明： 令令h()g()-f()， 则则 h(0)g(0)-f(0)0 。 位置互换，与角度，即将将椅子转动BDAC2. 0)2(, 0)2(fg则有所以所以 , 0)2()2()2(fgh32而而h()是连续函数，根据连续函数的界值定理，是连续函数，根据连续函数的界值定理， , 0)(2000h），使，（知必存在);()(00fg即又由条件对任意又由条件对任意，恒有，恒有g()

22、f()0, ; 0)()(00 fg所以所以方向，即存在0四条腿能同时着地。四条腿能同时着地。 所以椅子问题的答案是：所以椅子问题的答案是： 如果地面为光滑曲面，椅子中心不动最多如果地面为光滑曲面，椅子中心不动最多转动转动 角度，2则四条腿一定可以同时着地。则四条腿一定可以同时着地。 33 思考题：思考题： 怎样把长方形的课桌放平？怎样把长方形的课桌放平？34三、夫妻过河问题三、夫妻过河问题 问题：问题： 有有3对夫妻过河，船最多能载对夫妻过河，船最多能载2人，人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其它男子在一起，如何安排三对夫妻过河？其它男子在一

23、起，如何安排三对夫妻过河？ 此类问题是古典的趣味数学问题，用穷举方法可以解决，但怎样建立此类问题是古典的趣味数学问题，用穷举方法可以解决，但怎样建立数学模型用计算机解决？数学模型用计算机解决？ 模型构成：模型构成： 假设由北岸往南岸渡河，用向量（假设由北岸往南岸渡河，用向量（x，y）表示有）表示有x个男子、个男子、y个女子在北岸，其中个女子在北岸，其中0 x,y3， 称向量称向量(x,y)为状态向量；为状态向量； 由条件知，有些状态是可取的，有些是不可取的，由条件知，有些状态是可取的，有些是不可取的， 35如状态如状态(2,3)是不可取的，是不可取的， 而状态而状态(3,1)是可取的。是可取的

24、。1)可取状态：可取状态： 总共有总共有10种可取状态具体如下：种可取状态具体如下： (3,3) (3,2) (3,1) (3,0) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0) (1,1) (2,2) 其中其中(i,i)表示表示i对夫妻。对夫妻。 用用S表示可取状态的集合，称为允许状态集合。表示可取状态的集合，称为允许状态集合。 2)可取运载：可取运载： (0,1) (0,2) (1,0) (2,0) (1,1) ， 其中其中(1,1)表示表示1对夫妻，对夫妻， 36用用D表示可取运载的集合，称为允许决策集合。表示可取运载的集合，称为允许决策集合。 3)记第记第k次渡河前北岸男子数为次渡河

25、前北岸男子数为kykx，女子数为，女子数为 ),(kkkyxs 称为状态；称为状态； 记第记第k次渡河船上的男子数为次渡河船上的男子数为 ku，女子数为，女子数为 kv),(kkkvud 称为决策。称为决策。 所以状态随可取运载变化规律是所以状态随可取运载变化规律是(*) 1(1kkkkdss（）称为状态转移律（）称为状态转移律37于是问题归结为：于是问题归结为： 求一系列的决策求一系列的决策 kdD(k=1,2n)， 使状态使状态 ksS按规律按规律(*)由初始状态由初始状态 1s(3,3)经过有限步经过有限步n达到状态达到状态 1ns(0,0). 模型求解：模型求解： 编程序上机计算求出结

26、果。编程序上机计算求出结果。38 用穷举法不难验证一种结果如下：用穷举法不难验证一种结果如下： （括号内为北岸的状态）（括号内为北岸的状态）(3,3) 去两女(3,1) 回一女(3,2) 去两女(3,0) 回一女(3,1) 去两男(1,1) 回一男一女(2,2) 去两男(0,2) 回一女(0,3) 去两女(0,1) 回一女(0,2) 去两女(0,0) 经过经过11次决策即可完成。次决策即可完成。 39 思考题：思考题： (1) 在上述约束条件下，在上述约束条件下，4对夫妻能否过河？对夫妻能否过河？ (2)类似讨论如果船最多可载类似讨论如果船最多可载3人，人，5对夫妻对夫妻及及6对夫妻能否过河？

27、对夫妻能否过河？ （3）一般讨论：）一般讨论：n对夫妻过河，船最多能坐对夫妻过河，船最多能坐m个人（个人（m 1800秒秒 d(t)1.4 duut)18001 . 02 . 0(01. 01800）（853 . 1)36001 . 02 . 0(01. 02tt d(3600) 3 . 1)360036001 . 036002 . 0(01. 02（米）（米）3 . 2这说明在雪停以前除雪机已经停止工作。这说明在雪停以前除雪机已经停止工作。 那么除雪机是否中途被迫中断工作？能工那么除雪机是否中途被迫中断工作？能工作多长时间？已清扫了多长路程？作多长时间？已清扫了多长路程？115由由(5-7)

28、式和式和(5-8)式，知雪的厚度函数为式，知雪的厚度函数为 ）（秒秒秒秒9518003 . 1)36001 . 02 . 0(01. 018003600001. 05 . 0)(22ttttttd因为除雪速度与雪的厚度的关系为因为除雪速度与雪的厚度的关系为)105()(321 (10)(tdtV将将(5-9)代入代入(5-10)得得秒秒1800)3600002. 0004. 06 . 5(3101800)3600001. 01 (320)(22ttttttV116易知当易知当t1800 时，时， 0)3600001. 013202t（令令V(t)0 0)3600002. 0004. 06 .

29、5(3102tt所所以以01008000072002tt由此得由此得 t。1903秒秒 （秒秒）52971t（舍去）（舍去） 因此除雪机工作因此除雪机工作1903秒（秒（31.7分分钟）将无法工作。钟）将无法工作。 117思考：不求思考：不求V(t)能否知道除雪机何时停止工作？能否知道除雪机何时停止工作？ 除雪机工作的距离除雪机工作的距离190301800019031800)()()(dttVdttVdttVSdtttdtt)3600002. 0004. 06 . 5(310)3600001. 01 (3202190318001800028434米米8.434公里公里 所以除雪机只能扫除所以除

30、雪机只能扫除8.434公里就无法行走公里就无法行走了，即除雪机无法完成了，即除雪机无法完成10公里的除雪任务。公里的除雪任务。 118思考题：思考题： (1)请考虑其它的除雪速度函数和降雪速度请考虑其它的除雪速度函数和降雪速度函数。函数。 (2)在降雪过程中，除雪机清扫过的路面又在降雪过程中，除雪机清扫过的路面又会开始积雪，雪的厚度将如何变化？特别考会开始积雪，雪的厚度将如何变化？特别考虑降雪速度为非常数时的情况，能否用一个虑降雪速度为非常数时的情况，能否用一个函数描述马路上雪的堆积情况？函数描述马路上雪的堆积情况？ (3)当雪速为常数时，问下雪速度为多少时当雪速为常数时，问下雪速度为多少时除

31、雪机刚好完成除雪机刚好完成10公里除雪工作？公里除雪工作？ 119 三、广告与利润问题三、广告与利润问题 问题问题：某公司有一大批装饰涂料，根据某公司有一大批装饰涂料，根据以往统计资料，零售价增高，则销售量减少，以往统计资料，零售价增高，则销售量减少，具体数据如表具体数据如表2-5。若做广告，可使销售量。若做广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子增加，具体增加量以售量提高因子k表示，表示，k与广告费的关系如表与广告费的关系如表2-6，它也是以往的统，它也是以往的统计或经验结果。现在已知涂料的进价是每听计或经验结果。现在已知涂料的进价是每听2英镑，问如何确定涂料的价格和花多少广英镑，问如

32、何确定涂料的价格和花多少广告费，可使公司获利最大。告费，可使公司获利最大。 表表2-5：涂料预期销售量与价格的关系：涂料预期销售量与价格的关系单价（镑）单价（镑） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 售量（千听）售量（千听） 41 38 34 32 29 28 25 22 20 120表表2-6：售量提高因子与广告费的关系：售量提高因子与广告费的关系广告费（万镑）广告费（万镑） 0 1 2 3 4 5 6 7提高因子提高因子k 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80为了解决此问题，引入以下记号：为了解

33、决此问题，引入以下记号： x预期销售量；预期销售量； y销售单价；销售单价； z广告费；广告费； c成本单价；成本单价； 由表由表2-5可看出，售量与单价近似成线性可看出，售量与单价近似成线性关系，因此可设：关系，因此可设： xayb (5-11) 可用最小二乘法，根据表可用最小二乘法，根据表1中的数据定出中的数据定出(5-11)式中的系数式中的系数a和和b的具体数值，显然的具体数值，显然a0。121 由表由表2-6可看出，提高因子与广告费近似二可看出，提高因子与广告费近似二次关系，因此可设：次关系，因此可设： )125(2fezdzK 同样，可用曲线拟合法，由表同样，可用曲线拟合法，由表2的

34、数据定出的数据定出(5-12)式中的系数式中的系数d、e和和f，这里，这里d0，抛物线开，抛物线开口向下。口向下。 设实际销售量为设实际销售量为S，它等于预期销售量乘以销，它等于预期销售量乘以销售提高因子，即售提高因子，即Skx，于是利润，于是利润P可表示为：可表示为： P收入支出收入支出 销售收入成本支出广告费销售收入成本支出广告费 syscz kx(yc)z (5-13)122 将将( 5-11)和和(5-12)代入代入(5-13)，可见，可见P只是只是y和和z的函数，即的函数，即 zcybayfezdzP)()(2所以问题归结为当所以问题归结为当y、z为何值时为何值时P达到最大值。达到最

35、大值。由多元函数求极值的方法：由多元函数求极值的方法： P的极大值点为的极大值点为 dccybaydzabacy2)(2120000123为了得到具体的数值，需求出各系数的值。为了得到具体的数值，需求出各系数的值。下面给出计算的结果：下面给出计算的结果： a5133 b50420 c21010256. 4d510092. 4e019. 1f把以上数值代入，可得把以上数值代入，可得 x20084 y5.91 z33113 k1.91124 可以预言，按该方案销售，可得可以预言，按该方案销售，可得实际销售量实际销售量Skx1.912008438360（听）（听） 获利润获利润 P116875（英镑

36、）（英镑） 四、交通灯模型（留给同学自学）四、交通灯模型（留给同学自学） 125五、录像带的长度问题五、录像带的长度问题 问题：问题：在一台录像机上有一个四位数字的在一台录像机上有一个四位数字的记数器。在磁带开始运行时的设置为记数器。在磁带开始运行时的设置为“0000”。 185分分20秒结束时显示读数为秒结束时显示读数为“1849”。并注意。并注意到记数器从到记数器从“0084”转到转到“0147”时用了时用了3分分21秒。现在记数器上显示为秒。现在记数器上显示为“1428”，问余下的，问余下的磁带是否足够再记录磁带是否足够再记录60分钟长的节目？分钟长的节目？建模目的：建模目的：建立记数器

37、读数建立记数器读数n和所花时间和所花时间t的关系。的关系。 假设：假设： (1)录像磁带厚度是均匀的设为录像磁带厚度是均匀的设为w，磁，磁带绕半径为带绕半径为r的轴旋转；的轴旋转； 126(2)磁带绕磁头旋转的线速度为常数磁带绕磁头旋转的线速度为常数V； (3)记数器的读数与轴轮转数成正比；记数器的读数与轴轮转数成正比； (4)磁带卷各圈松紧均匀。磁带卷各圈松紧均匀。 录像机运行一段时间以后的磁带卷如图录像机运行一段时间以后的磁带卷如图2-18： 记记t时刻轴心到磁带卷外侧的距离为时刻轴心到磁带卷外侧的距离为R(t)， 已放过的磁带总长为已放过的磁带总长为L(t),记数器读数为记数器读数为n(

38、t)。 下面讨论下面讨论t和和n(t)的关系：的关系： 127因为在因为在t时刻磁带卷侧面的总面积为时刻磁带卷侧面的总面积为 rtRrtR)()(22所以用总面积除以厚度所以用总面积除以厚度W，有，有wrtRtL)()(22另一方面，由假设另一方面，由假设(2)知知 L(t)=Vt wrtRVt)(22 从从而而整理得整理得 )155()()(212rwVttR 128当磁带转轮转过一个很小的角度当磁带转轮转过一个很小的角度 时，时， 对应的磁带长对应的磁带长 ， )(tRL若转过若转过 角度所花时间为角度所花时间为 t， 又有又有 ，和，和 ， tVLtVtR)(取微分有取微分有 dtrwV

39、tVtRVdtd212)( 从而从而dtrwVtVdt21200 )(2212rrwVtw 129)(2)(212rrwVtwt 即即有有由假设由假设(3)有有 ，k是比例系数，是比例系数， ktn)()165()(2)(212rrwVtwktn 若从销售商或制造商处了解到若从销售商或制造商处了解到W、V和和r的值，并选择一个合适的的值，并选择一个合适的k值，就可得到值，就可得到n(t)和和t的具体关系，将的具体关系，将n(t)1428代入求得代入求得t值，再用值，再用185分分20秒去减，就可回答我们的秒去减，就可回答我们的问题。问题。130下面根据所给的条件来解决我们的问题：下面根据所给的

40、条件来解决我们的问题： 将将(5-16)式变形为式变形为)175(2)(22wVrwVrtwVktn wVk 2令令wVr2 所以所以(5-17)变为变为)185()()( ttn式式(5-18)中仅含两个参数中仅含两个参数和和。 131利用如下数据表利用如下数据表2-9： 时间时间t（分）（分） 0 + 3.35 185.33 1t1t 读数读数n(t) 0 0084 0147 1849 t0，n0是模型的初始条件，将后是模型的初始条件，将后3组组数据代入数据代入(5-18)式得到以下的三元方程组：式得到以下的三元方程组：)195(147)35. 3(84(1849)33.185(11 tt 这是关于这是关于 的三元方程组，含有三个方程，的三元方程组，含有三个方程，能够解出，从而得出能够解出，从而得出n(t)与与t的关系，解答我的关系，解答我们的问题。们的问题。 132求解此方程组很困难，下面再寻求更好的方