zk2控制系统的数学模型

1、自动控制理论自动控制理论第第2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2022-3-231导导 读读为什么要介绍本章为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。本章主要讲什么内容本章主要讲什么内容? 首先介绍控制系统数学模型的概念，然后阐述分析、设计首先介绍控制系统数学模型的概念，然后阐述分析、设计控制系统常用的几种数学模型，包括微分方程、传递函数、状控制系统常用的几种数学模型，包括微分方程、传递函数、状态空间表达式、结构图等。使大家了解机理建模的基本方法，态空间表达式、结构图等。使大家了解机理建模的基本方法，着重了解这

2、些数学模型之间的相互关系。着重了解这些数学模型之间的相互关系。自动控制理论自动控制理论2022-3-232第第2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型v 2.1 引言引言v 2.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程v 拉普拉斯变换拉普拉斯变换v 2.3 控制系统的控制系统的传递函数传递函数v 状态空间表达式状态空间表达式v 2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图v 2.5 信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式v 2.6 应用应用Matlab进行模型处理进行模型处理主要内容：主要内容：自动控制理论自动控制理论2022-3-2332.1 引言引言1、数学模型的定义、数学模型的定义 根据系

3、统运动过程的物理、化学等规律，描述系统运动规根据系统运动过程的物理、化学等规律，描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。律、特性和输出与输入关系的数学表达式。 简言之，简言之，描述系统各变量之间关系的数学表达式。描述系统各变量之间关系的数学表达式。2、建立数学模型的目的、建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是控制理论分析与设计的建立系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。基础。 自控系统的组成是多种的，但却可能具有完全相同的数学自控系统的组成是多种的，但却可能具有完全相同的数学模型。可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的模型。可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研

4、究其内在的共性运动规律。共性运动规律。自动控制理论自动控制理论2022-3-2342.1 引言引言微分方程（或差分方程）微分方程（或差分方程）时域时域传递函数（或结构图）传递函数（或结构图） 复域复域频率特性频率特性 频域频域4、常用数学模型、常用数学模型3、建模方法、建模方法解析法（理论建模）解析法（理论建模） 本课研究本课研究实验法（系统辨识）实验法（系统辨识） 系统辨识课研究系统辨识课研究输入输出模型输入输出模型状态空间表达式状态空间表达式 时域时域状态空间模型状态空间模型自动控制理论自动控制理论2022-3-2355、由数学模型求取系统性能指标的主要途径、由数学模型求取系统性能指标的主

5、要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性2.1 引言引言自动控制理论自动控制理论2022-3-2362.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程v 对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来描述。描述。 y(n)(t) + an-1 y(n-1)(t) + + a0 y(t) = bm x(m)(t) + bm-1 x(m-1)(t) + + b0 x (t) 其中：其

6、中：y(t)为系统输出量，为系统输出量，y(I) 表示输出的表示输出的 I 阶导数阶导数x(t)为系统输入量，为系统输入量，x(I) 表示输入的表示输入的 I 阶导数阶导数1、微分方程的描述、微分方程的描述自动控制理论自动控制理论2022-3-237(1) 根据系统情况，确定系统的输入、输出变量；根据系统情况，确定系统的输入、输出变量；(2) 从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的循的物理定律物理定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；程组；(3) 消去中间变量，写出输入、输出变量的

7、微分方程；消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；(4) 将微分方程标准化。将微分方程标准化。2、建立微分方程的一般步骤、建立微分方程的一般步骤2.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程自动控制理论自动控制理论2022-3-2382.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程0i 0u uRiv 具有由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。具有由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。v 对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想 电阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。电阻、电感、电容两端电压、电流与元件

8、参数的关系。(1) 电气系统电气系统3、微分方程、微分方程diuLdtduiCdt自动控制理论自动控制理论2022-3-239例例2-1：写出：写出 RLC 串联电路的微分方程串联电路的微分方程rucuLRCicrdiLRiuudtcduiCdt解解：据基尔霍夫电压定理：据基尔霍夫电压定理：rcccuudtduRCdtudLC22将代入得：将代入得：这是一个线性定常二阶微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。2.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程自动控制理论自动控制理论2022-3-2310例例2-2：求理想运算放大器电路的微分方程：求理想运算放大器电路的微分方程RRui(t)Cuo(t

9、)+-解解：理想放大器正、反相输入：理想放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为端的电位相同，且输入电流为零。据基尔霍夫电流定理：零。据基尔霍夫电流定理：0( )( )0iu tdu tCRdt( )( )oidu tRCu tdt整理后得，整理后得，这是一阶系统。这是一阶系统。2.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程自动控制理论自动控制理论2022-3-23112.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程22dtxdmdtdvmmaF 存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。根据运动存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律。的方式，包

10、括牛顿第二定律和牛顿转动定律。牛顿第二定律：牛顿第二定律：牛顿转动定律：牛顿转动定律：22dtdJdtdJJT(2) 机械系统机械系统自动控制理论自动控制理论2022-3-2312例例2-3：求弹簧：求弹簧- -阻尼阻尼- -质量的机械位移系统的微分方程。输入量质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力为外力F，输出量为位移，输出量为位移y(t)。mfF图图1()ytkmFkFBF图图2mg解解：图：图 1 为系统原理结构图，图中为系统原理结构图，图中m 为为质量，质量，f 为粘性阻尼系数，为粘性阻尼系数，k 为弹性系数。为弹性系数。取向下为力和位移的正方向。取向下为力和位移的正方向。2.2

11、控制系统的微分方程控制系统的微分方程质量块受力分析如图质量块受力分析如图2所示。所示。根据牛顿第二定律，可列根据牛顿第二定律，可列质量块的力平衡方程：质量块的力平衡方程：22( )( )kBd y tF tFFmgmdt自动控制理论自动控制理论2022-3-2313这也是一个两阶定常微分方程。这也是一个两阶定常微分方程。y(t)为输出量，为输出量，F(t)为输入量。为输入量。2.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程22( )( )kBd y tF tFFmgmdt22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt其中：其中：( )Bdy tFfdt0 ( )kFk y

12、 ty0mgky故整理得标准方程：故整理得标准方程：自动控制理论自动控制理论2022-3-2314 同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。也可以有相同形式的数学模型。相似系统：相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1与例与例2-3为力电荷相似系统。为力电荷相似系统。思考题：给出双思考题：给出双 RC 电路的微分方程电路的微分方程uiuouC2C1ici1R1R2i22012121 11220220()id uCC RRRCRCdtd

13、uRCuudt2.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程自动控制理论自动控制理论2022-3-2315拉普拉斯变换拉普拉斯变换v 连续时间对应的复频域是用直角坐标连续时间对应的复频域是用直角坐标 表示的复表示的复数平面，简称为数平面，简称为 S 平面平面或连续时间或连续时间复频域（复频域（s 域）域）。sjv S 平面上的每一个点平面上的每一个点 s 都代表一个复指数信号都代表一个复指数信号 ，整个，整个 S 平平面上所有的点代表了整个复指数信号集。面上所有的点代表了整个复指数信号集。stej000sj00jS平面平面v S 平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信号集平面上虚轴上的所有点代

14、表整个周期复指数信号集 j te自动控制理论自动控制理论2022-3-23160)()(dtetfsFst)()(tfLsF 定义：定义：如果有一个以时间如果有一个以时间 t 为自变量的函数为自变量的函数 f (t)，它的，它的定义域定义域 t 0，那么下式即是拉氏变换式：，那么下式即是拉氏变换式：)()(1sFLtf将一个时间域的函数变换到将一个时间域的函数变换到 s 域的复变函数，式中域的复变函数，式中 s 为复数。为复数。记作记作F(s) 象函数，象函数，f(t) 原函数原函数为反拉氏变换为反拉氏变换记记拉普拉斯变换拉普拉斯变换自动控制理论自动控制理论2022-3-2317拉普拉斯变换拉

15、普拉斯变换v 只要只要 x(t) 是实指数或复指数信号的线性组合，是实指数或复指数信号的线性组合，X(s) 就一定就一定是有理的，具有如下形式：是有理的，具有如下形式：)()()(sDsNsX N(s) 和和 D(s) 分别为分子多项式和分母多项式。分别为分子多项式和分母多项式。 使使 N(s) = 0 的根为的根为 X(s) 的零点，在的零点，在 S 平面上用平面上用“O”表示。表示。 使使 D(s) = 0 的根为的根为 X(s) 的极点，在的极点，在 S 平面上用平面上用“”表示。表示。v 例例1( )(1)(2)sH sssReIm-1xx2s=j s-plane1多项式之比多项式之比

16、自动控制理论自动控制理论2022-3-2318)()()()(2121sFsFtftfL(1) 线性性质：线性性质：( )( )(0)df tLsF sfdt222( )( )(0)(0)d f tLs F ssffdt12(1)( )( )(0)(0) .(0)nnnnnnd f tLs F ssfsffdt (2) 微分定理：微分定理： 性质：性质：拉普拉斯变换拉普拉斯变换自动控制理论自动控制理论2022-3-23190 ()()( )stsTL f t Tef t T dteF s(4) 时滞定理：时滞定理：)(lim)(lim0ssFtfst(5) 初值定理：初值定理：)(lim)(l

17、im0ssFtfst(6) 终值定理：终值定理：)()()()(21021sFsFdftfLt(7) 卷积定理：卷积定理：拉普拉斯变换拉普拉斯变换ssFdttfL)()(3) 积分定理：积分定理：(设初值为零设初值为零)自动控制理论自动控制理论2022-3-2320 常用函数的拉氏变换：常用函数的拉氏变换： 单位阶跃函数：单位阶跃函数： 单位脉冲函数：单位脉冲函数： 单位斜坡函数：单位斜坡函数： 单位抛物线函数：单位抛物线函数： 正弦函数：正弦函数：更多拉普拉斯变换知识请查阅光盘（附录更多拉普拉斯变换知识请查阅光盘（附录I 拉普拉斯变换）。拉普拉斯变换）。1( ) 1( )( )f ttF s

18、s，1)()(tLsF21( )( )f ttF ss，2311( )( )2f ttF ss，22( )sin( )f ttF ss，拉普拉斯变换拉普拉斯变换自动控制理论自动控制理论2022-3-23212.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数( )( )( )Y sG sX s一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，就可以了解系统的重要特性。数，就可以了解系统的重要特性。( )( ) ( )Y sG s X s1、传

19、递函数的定义、传递函数的定义 在在初始条件为零时初始条件为零时，线性定常系统元件输出信号的拉氏变，线性定常系统元件输出信号的拉氏变换式换式 Y(s) 与输入信号的拉氏变换式与输入信号的拉氏变换式 X(s) 之比。之比。自动控制理论自动控制理论2022-3-2322例例2-4：求下图的传递函数。：求下图的传递函数。0( )1 1( )( )1iUsTsG sU sTs2121RRCRRT221RRR 0121111iRiRdtiCiuiRiRiR2211212 2oR iu0)()()1(2111sIRsIRCs)()()()(22111sUsIRRsIRi)()(22sUsIRO2.3 控制系

20、统的传递函数控制系统的传递函数R1CuiR2uoi2i1解解：其中：其中：自动控制理论自动控制理论2022-3-23232.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数v传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应，且与系统的动态特性一一对应。数微分方程一一对应，且与系统的动态特性一一对应。v传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于同的传递函

21、数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。具有这种传递函数的各种系统。v传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。变量的关系。2、传递函数的性质、传递函数的性质自动控制理论自动控制理论2022-3-23242.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数v传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关统有多个输入信号，在求传递函数时，

22、除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。的输入外，其它的输入量一概视为零。v传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数忽略了初始条件的影响。v传递函数是复变量传递函数是复变量 s 的有理分式，对实际系统而言，的有理分式，对实际系统而言，传递函数的分母阶次传递函数的分母阶次 n 总是大于或等于分子阶次总是大于或等于分子阶次 m ，此时称为此时称为 n 阶系统。阶系统。自动控制理论自动控制理论2022-3-23253、传递函数的几种表达形式、传递函数的几种表达形式 表示为有理分式形式：表示为有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm式中：式中： 为实常

23、数，为实常数，一般一般 n m上式称为上式称为 n 阶传递函数，相应的系统为阶传递函数，相应的系统为 n 阶系统。阶系统。jiba ,2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2326 表示成零点、极点形式：表示成零点、极点形式：121121()()().()( )()().()()mimiggnnjjszszszszG sKKspspspsp式中：式中： 称为传递函数的零点，称为传递函数的零点， 称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。零点、极点可为零点、极点可为实数实数，也可为，也可为共轭复数共轭复数。izjp2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递

24、函数 系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用上，用“”表示极点位置，用表示极点位置，用“O”表示零点。表示零点。自动控制理论自动控制理论2022-3-23272.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数22( )(3)(22)2(3)(1)(1)sG sssssssj sj 例例2-5：已知传递函数已知传递函数 ，试画出系统的，试画出系统的零、极点分布图。零、极点分布图。 22( )(3)(22)sG ssss其中，其中，零点零

25、点为为-2，极点极点为为-3，-1-j，-1+j。0 j -2-3-11-1S平面平面解解：自动控制理论自动控制理论2022-3-2328 一个复杂的控制系统可以由若干元部件构成，称为一个复杂的控制系统可以由若干元部件构成，称为环节环节。从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节称为环节称为基本环节或典型环节基本环节或典型环节。包括有比例、积分、惯性、振。包括有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。荡、微分和延迟环节等多种。 比例环节又称为放大环节。比例环节又称为放大环节。K为放大系数。实例：分压器，为放大系数。实例

26、：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。放大器，无间隙无变形齿轮传动等。(1) 比例环节（放大环节）比例环节（放大环节）( )( )0c tKr tt，( )( )( )C sG sKR s时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：KR(s)C(s)比例环节方框图4、典型环节及其传递函数、典型环节及其传递函数2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2329比例环节实例：比例环节实例：R0R1iuou2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数10)()(RsURsUoi10( )( )oiUsRU sR R1R2uiuo电位器电位器212( )( )o

27、iRU sU sRR自动控制理论自动控制理论2022-3-2330(2) 惯性环节惯性环节时域方程：时域方程：( )( )( )0dc tTc tr ttdt，传递函数：传递函数：( )1( )( )1C sG sR sTsR(s)C (s)惯性环节方框图11Ts T 为惯性环节的时间常数，若为惯性环节的时间常数，若T=0，该环节就变成了放大环，该环节就变成了放大环节。节。2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2331( )( )( )()fffffdiuti RLdtUsIs RLs两个实例：两个实例：Rfufi2.3 控制系统的传递函数控制系统的

28、传递函数( )1( )1ffIsKUsLsRTs1LTKRR，其中其中自动控制理论自动控制理论2022-3-2332RCiuou1( )1( )iou tiRidtCu tidtC2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数( )1( )1oiU sU sTsTRC1( )( )( )( )ioI sU sI s RU sCsCs其中其中自动控制理论自动控制理论2022-3-2333(3) 积分环节积分环节01( )( )0tc trdtT，时域方程：时域方程：( )1( )( )C sG sR sTs传递函数：传递函数： R(s)C(s)积分环节方框图Ts12.3 控制系统的传递函数控制系统

29、的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2334积分环节实例：积分环节实例：RCiuou( )( )1ioU sU sRCsRCssUsUio1)()(2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2335(4) 微分环节微分环节微分环节的时域形式有三种形式：微分环节的时域形式有三种形式：相应的传递函数为：ssG)(1)( ssG12)(22sssG 分别称为：纯微分、一阶微分和二阶微分环节。分别称为：纯微分、一阶微分和二阶微分环节。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微

30、分环节加惯性环节。一般都是微分环节加惯性环节。2( )( )2( )( )c tr tr tr t( )( )( )c tr tr t( )( )c tr t2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2336( )( )(1)1( )11Y sRRCsTsG sTsTX sRCsTsRCsTRC当其中 实例：实例：y(t)x(t)RC 纯微分环节纯微分环节 一阶微分环节一阶微分环节uiRCio)1 (1)()()(RCsRsUsIsGio 一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微分环节。分环节。

31、2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2337(5) 延迟环节延迟环节又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号，如图所示。完全复现输入信号，如图所示。( )()c tr tsesG)(r(t)tc(t)t动态方程：动态方程：其传递函数为其传递函数为：2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2338(6) 振荡环节振荡环节) 10()()()(2)( 2txtytTytyT传递函数：传递函数：222222121)()()(nnnssTs

32、sTsXsYsG时域方程：时域方程： T 为该环节的时间常数，为该环节的时间常数， 称为称为无阻尼自振角频率无阻尼自振角频率，而且，而且 ， 称为称为阻尼比阻尼比。只有当。只有当 时，该环节才能时，该环节才能称为振荡环节，因为这时它的输出信号具有振荡的形式。称为振荡环节，因为这时它的输出信号具有振荡的形式。n1nT10振荡环节方框图RC12122TssT2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2339 如果如果 时，可分为两个惯性环节相乘，两个惯性环节时，可分为两个惯性环节相乘，两个惯性环节串联。串联。11,221(1)pT传递函数有两个实数极点：传递

33、函数有两个实数极点：2 21221,221 21211( )21(1)(1)1(1)()1G sT sTsTsTsTTTTsTT s可得可得2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2340(7) 其他环节其他环节还有一些环节如还有一些环节如 等，它们的极点等，它们的极点在在 s 平面的右半平面，这种环节是不稳定的，称为不稳定环节。平面的右半平面，这种环节是不稳定的，称为不稳定环节。2211121TsT sT s，2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-23412.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数自动控制

34、理论自动控制理论2022-3-2342 例例2-6：已知传递函数已知传递函数 ，分析其分析其组成环节。组成环节。242( )(3)(22)sG ssss) 12(12111311232)(2sssssG 因此，可知由因此，可知由 4 个环节：比例，惯性，振荡和一阶微分环个环节：比例，惯性，振荡和一阶微分环节构成。节构成。2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数解解：自动控制理论自动控制理论2022-3-2343求传递函数一般要先列写微分方程式，然后进行拉氏变求传递函数一般要先列写微分方程式，然后进行拉氏变换后可得。对于电气网络，可采用电路理论中的换后可得。对于电气网络，可采用电路理论中的运

35、算阻抗运算阻抗的的方法，不列写微分方程式，而直接求出相应的传递函数。方法，不列写微分方程式，而直接求出相应的传递函数。电阻的运算阻抗：电阻的运算阻抗：2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数R1Cs电容的运算阻抗：电容的运算阻抗：电感的运算阻抗电感的运算阻抗：Ls各个元件的运算阻抗，可以当作普通电阻来运算。各个元件的运算阻抗，可以当作普通电阻来运算。5、电气网络的运算阻抗与传递函数、电气网络的运算阻抗与传递函数自动控制理论自动控制理论2022-3-2344例例2-7：求求 RC 及及 CR 电路的传递函数。电路的传递函数。RCiuouCRiuou ( )( )( )11oiUsRRCsG

36、sUsRCsRCs( )11( )( )11oiU sCsG sU sRCsRCs2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数解解：自动控制理论自动控制理论2022-3-2345例例2-8：求如图所示无源网络的传递函数。求如图所示无源网络的传递函数。R1CuiR2uoR 与与 C 并联后的阻抗为并联后的阻抗为1111111CsRRCsRCsRZ)(12121221211222RRCsRRRCsRRRCsRRRRZRUUio则则2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数解：解：自动控制理论自动控制理论2022-3-2346思考题思考题：用运算阻抗的方法求出下面双用运算阻抗的方法求出下面双 RC

37、 网络的传递函数网络的传递函数。uiuouC2C1ici1R1R2i22.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数11121222222221)(1)(1111RUUIsCIIUUsCRsCUsCRIIsCUio21 2121 11222( )( )( )1() 1oiU sG sU sRRCCsRCs RCs RCs解：解：自动控制理论自动控制理论2022-3-2347状态空间表达式状态空间表达式1、状态和状态空间、状态和状态空间上例上例2-1：写出：写出 RLC 串联电路的数学模型。串联电路的数学模型。rucuLRCi解解：据基尔霍夫电压定理：据基尔霍夫电压定理：( )( )( )( )c

38、rdi tLRi tu tu tdt( )( )cdu ti tCdt)(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc即即自动控制理论自动控制理论2022-3-2348状态空间表达式状态空间表达式 在已知在已知ur(t)的情况下，只要知道的情况下，只要知道uc(t)和和i(t)的变化特性，则的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故其他变量的变化均可知道。故uc(t)和和i(t)称为称为“状态变量状态变量”。记。记 )()()()()(21 、ixdttdxtitxtutxiic)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxr则有自动控制理论自动

39、控制理论2022-3-2349状态空间表达式状态空间表达式 控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。该组中的每个变量称为状态变量。 如上例中如上例中, 为系统的状态，为系统的状态， 即即uc(t)、i(t)为状态变量。为状态变量。 txtxtx21 )2 , 1( ,itxi(1) 状态与状态变量的定义状态与状态变量的定义自动控制理论自动控制理论2022-3-2350状态空间表达式状态空间表达式 如果如果n个状态变量用个状态变量用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示，并把表示，并把这些状态变量看作是向量这些状态

40、变量看作是向量X(t)的分量，则向量的分量，则向量X(t)称为状称为状态向量。态向量。 记为记为或或(2) 状态向量状态向量12( )( )( )( )nx tx tX tx t12( )( ),( ),( )TnXtx t x tx t自动控制理论自动控制理论2022-3-2351状态空间表达式状态空间表达式(3) 状态空间状态空间 以状态变量以状态变量x1(t)、x2(t)、xn(t)为坐标轴构成的为坐标轴构成的n维维空间。空间。 (4) 状态方程状态方程 描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。的一

41、阶微分方程组，称为系统的状态方程。 自动控制理论自动控制理论2022-3-2352状态空间表达式状态空间表达式)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxr上例中上例中X AXB这样，就可把一般物理系统的状态方程写成标准形式这样，就可把一般物理系统的状态方程写成标准形式XAXBu 若改选若改选uc和和 作为系统的状态变量，即令作为系统的状态变量，即令 ， ，则状态方程变为，则状态方程变为cu cux 1cux2)(10110tuLCXLRLCXr自动控制理论自动控制理论2022-3-2353状态空间表达式状态空间表达式(5) 输出方程输出方程 描述系统输出量与状态变量间

42、的函数关系式，称为系描述系统输出量与状态变量间的函数关系式，称为系统的方程。统的方程。 可以看出，同一系统状态变量选取的不同，状态方程可以看出，同一系统状态变量选取的不同，状态方程也不同。也不同。 上例中，选取上例中，选取 作为输出，通常输出信号用作为输出，通常输出信号用 y 表表示，则有示，则有cux 1cuy1xy或或写成向量矩阵形式写成向量矩阵形式CXxxy2101自动控制理论自动控制理论2022-3-2354状态空间表达式状态空间表达式(1) 状态变量的选取是非唯一的。状态变量的选取是非唯一的。(2) 选取方法选取方法 可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的可选取初始条件对

43、应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。状态变量。 可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。如电感电流的变量作为控制系统的状态变量。如电感电流i、电容电压、电容电压uc、质量质量m 、速度、速度v 等。等。 2、状态变量的选取、状态变量的选取自动控制理论自动控制理论2022-3-2355状态空间表达式状态空间表达式例例2-9：已知系统微分方程组为已知系统微分方程组为 dtiiCiRur)(121111dtiCiRdtiiC22222111)(1rcudtiCu221 其中，其中，ur 为输入，为输入，

44、uc 为输出，为输出，R1、C1、 R2、C2为常数。试为常数。试列写系统状态方程和输出方程。列写系统状态方程和输出方程。 自动控制理论自动控制理论2022-3-2356状态空间表达式状态空间表达式解：解：选选dtixdtix2211,rcuxCu221ruRxxCRCRCRCRCRxx0/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1121221212111121rutxtxCy212/ 1022222111)(1xCxRxxC)(121111xxCxRur写成向量写成向量矩阵形式：矩阵形式：dtiiCiRur)(121111dtiCiRdtiiC22222111)(1rcudtiCu221自动控制理论

45、自动控制理论2022-3-2357状态空间表达式状态空间表达式CXyBuAXX3、状态空间表达式、状态空间表达式 状态方程与输出方程总合起来，构成对一个系统动态状态方程与输出方程总合起来，构成对一个系统动态的完整描述，称为状态空间表达式。即的完整描述，称为状态空间表达式。即自动控制理论自动控制理论2022-3-2358状态空间表达式状态空间表达式ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111(1) 单输入单输出线性定常连续系统单输入单输出线性定常连续系统 nnxcxcxcy2211状态方程状态方程输出方程输出方程CXyB

46、uAXX写成向量矩阵形式写成向量矩阵形式自动控制理论自动控制理论2022-3-2359状态空间表达式状态空间表达式(2) 线性定常系统状态空间表达式线性定常系统状态空间表达式（p输入输入q输出）输出） DUCXyBUAXX自动控制理论自动控制理论2022-3-23602.4 控制系统的结构图控制系统的结构图1、方块图的概念和绘制、方块图的概念和绘制 信号线：信号线：表示信号传递通路与方向。表示信号传递通路与方向。 函数方块函数方块( (方框方框) )：表示对信号进行的数学变换。方框中写表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。入元件或系统的传递函数。 相加点相加点( (比较点比

47、较点)：对两个以上的信号进行加减运算。对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，表示相加，“”表示相减。表示相减。 分支点分支点( (引出点引出点) )：表示信号引出或测量的位置。同一位置表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。引出的信号数值和性质完全相同。 方框图是用元件方框图是用元件( (或子系统或子系统) )传递函数的组合来表示系统的传递函数的组合来表示系统的一种图形。一种图形。方块图由方块图由函数方块函数方块、信号流线信号流线、相加点相加点、分支点分支点等构成。等构成。自动控制理论自动控制理论2022-3-2361例例2-10：某系统的各传递函数如下：某系统

48、的各传递函数如下：C(s) = G(s)E(s) F(s) = H(s)C(s) E(s) = R(s) F(s)绘制方块图是绘制方块图是根据系统各环节的动态微分方程式根据系统各环节的动态微分方程式( (它们组它们组成系统的动态微分方程组成系统的动态微分方程组) )，及其拉氏变换。，及其拉氏变换。2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论2022-3-23621 1( )( )( )rcUsUsR I s11( )( )cI sUsC s例例2-11：绘出绘出 RC 电路的结构图电路的结构图。 R1 C1i1(t)ur(t)uc(t) Uc(s)Ur(s) I1(s) 1

49、/R1 1/C1s(-)2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图解解：自动控制理论自动控制理论2022-3-23632.4 控制系统的结构图控制系统的结构图 为了方便绘制方块图，对于复杂系统，列写系统方程组时为了方便绘制方块图，对于复杂系统，列写系统方程组时可按下述顺序整理方程组：可按下述顺序整理方程组： (1) 从输出量开始写，以系统输出量作为第一个方程左边从输出量开始写，以系统输出量作为第一个方程左边的量；的量； (2) 每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始，每个每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始，每个方程左边的量是前面方程右边的中间变量；方程左边的量是前面方程右边的中间变量；

50、(3) 列写方程时尽量用已出现过的量；列写方程时尽量用已出现过的量； (4) 输入量至少要在一个方程的右边出现；除输入量外，输入量至少要在一个方程的右边出现；除输入量外，在方程右边出现过的中间变量一定要在某个方程的左边出现。在方程右边出现过的中间变量一定要在某个方程的左边出现。 按列写的方程，从输出量开始绘制系统的方框图。按列写的方程，从输出量开始绘制系统的方框图。自动控制理论自动控制理论2022-3-2364)()(1)(11sUsURsIi )()()(21sIsIsIc sCsIsUc1)()( )()(1)(22sUsURsIo sCsIsUo22)()( 2.4 控制系统的结构图控制

51、系统的结构图uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s) Uo(s)(b)21R (- -)IC(s)U(s)(c)sC11 IC(s)I1(s)I2(s) (- -)(d)Ui(s)I1(s) U(s) (- -)(e)11RsC21I2(s) Uo(s)(a)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s) (- -) (- -) (- -)(f)11RsC11sC2121R解解：例例2-12：绘出图示双绘出图示双 RC 网络的结构图。网络的结构图。自动控制理论自动控制理论2022-3-23652.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论20

52、22-3-23662、结构图的等效变换、结构图的等效变换定义：定义：在结构图上进行数学方程的运算在结构图上进行数学方程的运算类型：类型： 环节的合并；环节的合并； -串联串联 -并联并联 -反馈连接反馈连接 信号分支点或相加点的移动。信号分支点或相加点的移动。原则：原则：变换前后环节的输入、输出量及其数学关系都保持不变变换前后环节的输入、输出量及其数学关系都保持不变2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论2022-3-2367(1) 环节的合并：环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。有串联、并联和反馈三种形式。 串联环节的简化：串联环节的简化：)(1sG)(sGn)(

53、sX)(sY)()()()(1sGsXsYsGiniC(s) G2(s) G1(s)V(s)R(s) (a)2( )( ) ( )C sG sV s1( )( ) ( )V sG s R s)()()()(12sRsGsGsC C(s) G2(s)G1(s)R(s)(b)2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论2022-3-2368 并联环节的简化：并联环节的简化：)(sGn)(1sG)(sX)(sY2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图)()()()(1sGsXsYsGini123( )( )( )( )C sC sC sC s123 ( )( )( ) ( )G

54、sG sG s R s G1(s)+G2(s)- -G3(s)(b) 变换后变换后 R(s) C(s)(a) 变换前变换前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s) (- -) G1(s) G2(s) G3(s) C(s)自动控制理论自动控制理论2022-3-2369 反馈回路的简化：反馈回路的简化：2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图前向通道传递函数与反馈通道传递函数的概念前向通道传递函数与反馈通道传递函数的概念正反馈与负反馈的概念正反馈与负反馈的概念闭环传递函数与开环传递函数的概念闭环传递函数与开环传递函数的概念)(sH)(sG)(sX)(sY)(sE+( )( ) ( )Y sE

55、s G s( )( )( ) ( )E sX sH s Y s( )( )( )( )1( ) ( )Y sG sG sX sG s H s)(sY( )X s( )1( ) ( )G sG s H s自动控制理论自动控制理论2022-3-2370)(1sG)(2sG)(sH)(sR-)(sC)(sE)(sBHGGGGsRsCs21211)()()( 式中式中 称为称为前向通道传递函数前向通道传递函数，前向通道指从输，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为乘积称为开环传递函数开环传递函数 。含义是主反馈

56、通道断。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号开时从输入信号到反馈信号 之间的传递函数。之间的传递函数。 为为输出输出对参考输入的闭环传递函数对参考输入的闭环传递函数。)()(21sGsG)()()(21sHsGsG)(sB)(s2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论2022-3-23713223GGGG4(s)(- -)G2(s)G6(s)(- -)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)G2(s) +G3(s)G4(s)(- -)G6(s)(- -)C(s)R(s)G5(s)G1(s)例例2-13：求如下图所示的系统的传递函数。：求如下图所示的系统的传递

57、函数。2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图解：解：自动控制理论自动控制理论2022-3-2372632236)(GGGG4554GGG2361236541GGGG GG4(s)(-)(-)C(s)R(s)(G2(s) +G3(s)G6(s)G5(s)G1(s)(- -)C(s)R(s)(G2(s) +G3(s)G6(s)G5(s)-G4(s)G1(s)2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论2022-3-2373(2) 信号相加点和分支点的移动和互换信号相加点和分支点的移动和互换 如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动如果上述三种连接交叉在一起而无法化简

58、，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。某些信号的相加点和分支点。1212( )?( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )N sY sX sXs G sY sX s G sXs N sN sG s，又 信号相加点的移动信号相加点的移动 把相加点从环节的输入端移到输出端把相加点从环节的输入端移到输出端( (相加点的后移相加点的后移) )(1sX)(sG)(2sX)(sY)(1sX)(sN)(sG)(2sX)(sY2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论2022-3-2374 把相加点从环节的输出端移到输入端把相加点从环节的输出端移到输入端( (

59、相加点的前移相加点的前移) )(sG)(2sX)(sY)(1)(),()()()()()(),()()()(?)(2121sGsNsGsNsXsGsXsYsXsGsXsYsN)(sG)(sN)(sY)(1sX)(2sX2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图)(1sX自动控制理论自动控制理论2022-3-2375 相临的信号相加点位置可以互换，或者是进行合并；相临的信号相加点位置可以互换，或者是进行合并；)(1sX)(2sX)(3sX)(sY)(1sX)(3sX)(2sX)(sY)(1sX)(sY)(2sX)(3sX2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图自动控制理论自动控制理论2022-3-

60、2376 信号分支点的移动信号分支点的移动 分支点从环节的输入端移到输出端分支点从环节的输入端移到输出端( (分支点的后移分支点的后移) )(sG)(1sX)(1sX)(sY)(1)(),()()()(?)(11sGsNsXsNsGsXsN2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图)(sG)(1sX)(sY)(sN)(1sX自动控制理论自动控制理论2022-3-2377 分支点从环节的输出端移到输入端分支点从环节的输出端移到输入端( (分支点的前移分支点的前移) )(sG)(1sX)(sY)(sY)(1sX)(sG)(sN)(sY)(sY)()(),()()(),()()(?)(11sGsNsY