高一数学用样本估计总体3

1、5.2估计总体的数字特征问题问题引航引航1.1.怎样估计总体的平均数和标准差怎样估计总体的平均数和标准差? ?统计的基本思想统计的基本思想是什么是什么? ?2.2.如何计算样本平均数和样本方差、标准差如何计算样本平均数和样本方差、标准差? ?样本平均数样本平均数 和标准差和标准差s s通过随机抽样得到的样本为通过随机抽样得到的样本为x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,则则: : =_, =_,s=_=_,s=_=_,分别称为样本平均数和样本标准差分别称为样本平均数和样本标准差. .x12n1(xxx )n2s 22212n1xxxxxxnx1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“

2、”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)一组数据的平均数与每个数据的大小有关一组数据的平均数与每个数据的大小有关. .( () )(2)(2)一组数据的众数与中位数都是唯一的一组数据的众数与中位数都是唯一的. .( () )(3)(3)一组数据中有极端值时一组数据中有极端值时, ,平均数不能代表平均水平平均数不能代表平均水平.(.() )【解析】【解析】 (1)(1)正确正确, ,由平均数的计算公式知由平均数的计算公式知, ,平均数与每个数据平均数与每个数据的大小有关的大小有关. .(2)(2)错误错误, ,一组数的中位数唯一一组数的中位数唯一, ,但众数不一定唯一但众数不一定唯一. .

3、(3)(3)正确正确, ,当一组数据中有极端值时当一组数据中有极端值时, ,平均数会向极端值的方向平均数会向极端值的方向偏离偏离, ,从而使平均数不能很好地代表该组数据的平均水平从而使平均数不能很好地代表该组数据的平均水平. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)一组观察值一组观察值4,3,5,64,3,5,6出现的次数分别为出现的次数分别为3,2,3,2,3,2,3,2,则样本平均则样本平均数为数为_._.(2)(2)已知某一组数据已知某一组数据8,9,11,12,x,8,9,11,12

4、,x,若这组数据的平均数为若这组数据的平均数为10,10,则则其方差为其方差为_._.【解析】【解析】(1)(1)观察值的平均数为观察值的平均数为 答案答案: :4.54.5(2)(2)依题意得依题意得:x=10:x=105-8-9-11-12=10.5-8-9-11-12=10.方差为方差为: (8-10): (8-10)2 2+(9-10)+(9-10)2 2+(11-10)+(11-10)2 2+(12-10)+(12-10)2 2+(10-10)+(10-10)2 2=2.=2.答案答案: :2 2154 3 3 2 5 3 6 245x4.5.3 2 3 210 【要点探究】【要点探

5、究】知识点知识点 总体的数字特征的估计总体的数字特征的估计对总体数字特征估计的三点说明对总体数字特征估计的三点说明(1)(1)平均数对数据有平均数对数据有“取齐取齐”的作用的作用, ,它描述了一组数据的平均它描述了一组数据的平均水平水平, ,但由于样本的随机性但由于样本的随机性, ,有时用平均数衡量总体会有较大误有时用平均数衡量总体会有较大误差差. .(2)(2)在频率分布直方图中在频率分布直方图中, ,平均数是直方图的平衡点平均数是直方图的平衡点. .(3)(3)标准差为标准差为0,0,表明数据没有波动表明数据没有波动, ,数据没有离散性数据没有离散性; ;标准差越标准差越大大, ,表明数据

6、的波动幅度较大表明数据的波动幅度较大, ,数据离散程度较高数据离散程度较高, ,因此因此, ,标准差标准差描述了数据对平均数的离散程度描述了数据对平均数的离散程度. .【知识拓展】【知识拓展】样本的平均数、标准差二者在估计总体中的作用样本的平均数、标准差二者在估计总体中的作用(1)(1)样本的标准差描述了总体数据围绕平均数波动的大小程度样本的标准差描述了总体数据围绕平均数波动的大小程度, ,样本的标准差越大样本的标准差越大, ,总体数据估计越分散总体数据估计越分散; ;样本的标准差越小样本的标准差越小, ,总体估计越集中总体估计越集中. .特别地特别地, ,当样本的标准差为当样本的标准差为0

7、0时时, ,则表明总体数则表明总体数据估计没有波动据估计没有波动, ,估计数据全相等估计数据全相等. .(2)(2)样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征, ,在应用平均在应用平均数和标准差解决问题时数和标准差解决问题时, ,若平均数不同若平均数不同, ,则直接应用平均数比较则直接应用平均数比较优劣优劣, ,若平均数相同若平均数相同, ,则要由标准差研究其与平均数的偏离程度则要由标准差研究其与平均数的偏离程度. .【微思考】【微思考】(1)(1)样本平均数和方差、标准差描述了样本数据的什么特征样本平均数和方差、标准差描述了样本数据的什么特征? ?提示提

8、示: :样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量, ,描描述了样本数据的平均水平述了样本数据的平均水平. .样本方差与标准差是刻画数据的离样本方差与标准差是刻画数据的离散程度的量散程度的量, ,方差越大方差越大, ,离散程度越大离散程度越大. .(2)(2)标准差与方差哪一个更能准确刻画样本数据的特征标准差与方差哪一个更能准确刻画样本数据的特征? ?提示提示: :标准差标准差. .因为它与样本数据单位相同因为它与样本数据单位相同. .【即时练】【即时练】1.1.在一组数据在一组数据:7,8,2,9,13,6,11:7,8,2,9,13,6,1

9、1中抽去一个中抽去一个, ,新的一组数据的新的一组数据的平均数与原数据的平均数相同平均数与原数据的平均数相同, ,则被抽去的数是则被抽去的数是( () )A.7A.7B.2B.2C.8C.8D.11D.11【解析】【解析】选选C.C.抽去一个数后平均数没有变抽去一个数后平均数没有变, ,说明被抽去的数应说明被抽去的数应与平均数相等与平均数相等, ,从而有从而有 所以所以, ,被抽去的数是被抽去的数是8.8.7 8 2 9 13 6 118.7 2.2.用分层抽样抽取了容量为用分层抽样抽取了容量为1010的样本的样本, ,其平均数为其平均数为5.1,5.1,方差为方差为0.2,0.2,则总体的平

10、均数与方差分别估计是则总体的平均数与方差分别估计是( () )【解析】【解析】选选A.A.由统计的基本思想知由统计的基本思想知, ,样本的平均数为样本的平均数为5.1,5.1,方差方差为为0.2,0.2,从而总体的平均数也为从而总体的平均数也为5.1,5.1,方差为方差为0.2.0.2.【题型示范】【题型示范】类型一类型一 样本平均数与标准差的计算及应用样本平均数与标准差的计算及应用【典例【典例1 1】(1)(1)在发生某公共卫生事件期间在发生某公共卫生事件期间, ,有专业机构认为该有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续连

11、续1010天天, ,每天新增疑似病例不超过每天新增疑似病例不超过7 7人人”. .根据过去根据过去1010天甲、乙、丙、丁天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据四地新增疑似病例数据, ,一定符合该标志的是一定符合该标志的是( () )A.A.甲地甲地: :总体平均值为总体平均值为3,3,中位数为中位数为4 4B.B.乙地乙地: :总体平均值为总体平均值为1,1,总体方差大于总体方差大于0 0C.C.丙地丙地: :中位数为中位数为2,2,众数为众数为3 3D.D.丁地丁地: :总体平均值为总体平均值为2,2,总体方差为总体方差为3 3(2)(2)甲、乙两种冬小麦试验品种连续甲、乙两种冬小麦试验品种

12、连续5 5年的平均单位面积产量如年的平均单位面积产量如下下( (单位单位:t/hm:t/hm2 2):):根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广. .品种品种第一年第一年第二年第二年第三年第三年第四年第四年第五年第五年甲甲9.89.89.99.910.110.1101010.210.2乙乙9.49.410.310.310.810.89.79.79.89.8【解题探究】【解题探究】1.1.平均数、众数、中位数中哪些受个别极端数据平均数、众数、中位数中哪些受个别极端数据的影响大的影响大? ?2.2.解答题解答题(2)(2)采用哪个特征数较好采用哪个特征

13、数较好? ?【探究提示】【探究提示】1.1.平均数受个别极端数据平均数受个别极端数据( (比其他数据大很多或比其他数据大很多或小很多的数据小很多的数据) )影响大影响大, ,因此若在数据中存在少量极端数据时因此若在数据中存在少量极端数据时, ,往往用众数或中位数去估计总体往往用众数或中位数去估计总体. .2.2.采用求标准差或方差的方法采用求标准差或方差的方法, ,在平均值相等的情况下在平均值相等的情况下, ,比较方比较方差或标准差较好差或标准差较好. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选D.D.根据信息可知根据信息可知, ,连续连续1010天内天内, ,每天的新增每天的新增疑似病例不能

14、有超过疑似病例不能有超过7 7的数的数, ,选项选项A A中中, ,中位数为中位数为4,4,可能存在大于可能存在大于7 7的数的数; ;同理同理, ,在选项在选项C C中也有可能中也有可能; ;选项选项B B中的总体方差大于中的总体方差大于0,0,叙叙述不明确述不明确, ,如果数目太大如果数目太大, ,也有可能存在大于也有可能存在大于7 7的数的数; ;选项选项D D中中, ,根根据方差公式据方差公式, ,如果有大于如果有大于7 7的数存在的数存在, ,那么方差不会为那么方差不会为3,3,故答案故答案选选D.D.(2)(2)甲种冬小麦的平均单位面积产量甲种冬小麦的平均单位面积产量 乙种冬小麦的

15、平均单位面积产量乙种冬小麦的平均单位面积产量 则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同. .9.8 9.9 10.1 10 10.2x105甲 ，9.4 10.3 10.8 9.7 9.8x105乙 ，甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为 (9.8-10)(9.8-10)2 2+(9.9-10)+(9.9-10)2 2+(10.1-10)+(10.1-10)2 2+(10-10)+(10-10)2 2+(10.2-+(10.2-10)10)2 2=0.02,=0.02,乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为乙种冬小麦平均单位面积产

16、量的方差为 (9.4-10)(9.4-10)2 2+(10.3-10)+(10.3-10)2 2+(10.8-10)+(10.8-10)2 2+(9.7-10)+(9.7-10)2 2+(9.8-+(9.8-10)10)2 2=0.244,=0.244,21s5甲21s5乙则则 =0.02 =0.244,=0.02ssB B, ,故选故选B.B.A2.5 10 5 7.5 2.5 10 x6.256 ，B15 10 12.5 10 12.5 10 x11.67.6ABxx ,(2)(2)填表如下填表如下: :分组分组频数频数频率频率120.5120.5122.5122.52 20.10.112

17、2.5122.5124.5124.53 30.150.15124.5124.5126.5126.58 80.40.4126.5126.5128.5128.54 40.20.2128.5128.5130.5130.53 30.150.15合计合计20201 1频率分布直方图如图所示频率分布直方图如图所示: :在在124.5124.5126.5126.5中的数据最多中的数据最多, ,取这个区间的中点值作为众取这个区间的中点值作为众数的近似值数的近似值, ,得众数为得众数为125.5.125.5.【延伸探究】【延伸探究】题题(2)(2)条件不变条件不变, ,根据频率分布直方图估计平均数根据频率分布直

18、方图估计平均数. .【解析】【解析】利用利用“每组的中间值每组的中间值”求平均数求平均数: : =121.5 =121.50.1+123.50.1+123.50.15+125.50.15+125.50.4+127.50.4+127.50.2+129.50.2+129.50.15=125.8.0.15=125.8.x【方法技巧】【方法技巧】1.1.根据频率分布直方图求统计量的方法技巧根据频率分布直方图求统计量的方法技巧(1)(1)众数众数在样本频率分布直方图中在样本频率分布直方图中, ,众数就是最高矩形的中点众数就是最高矩形的中点的横坐标的横坐标. .(2)(2)中位数中位数在样本中在样本中,

19、,有有50%50%的个体大于或等于中位数的个体大于或等于中位数, ,因此因此, ,在在频率分布直方图中频率分布直方图中, ,中位数左边和右边的直方图的面中位数左边和右边的直方图的面积应该相等积应该相等, ,由此可以估计中位数的值由此可以估计中位数的值. .(3)(3)平均数平均数平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标的和点的横坐标的和. .2.2.统计量与频率分布直方图的关系统计量与频率分布直方图的关系由于样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的状况由于样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的状况, ,从直方图本身得不出原始数据内

20、容从直方图本身得不出原始数据内容, ,所以由频率分布直方图得所以由频率分布直方图得到的中位数估计值、众数、平均数的估计值与实际的数值不一到的中位数估计值、众数、平均数的估计值与实际的数值不一致致. .【变式训练】【变式训练】为全面推进素质教育为全面推进素质教育, ,山东省对全省高中教师进山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训行了全员网络远程培训. .培训结束后培训结束后, ,某市为了解参训教师的成某市为了解参训教师的成绩情况绩情况, ,从本市参加培训的从本市参加培训的50005000名教师中随机抽取了名教师中随机抽取了100100名名, ,对对他们的成绩他们的成绩( (单位单位: :分分)

21、 )进行统计分析进行统计分析, ,并画出了成绩的频率分布并画出了成绩的频率分布直方图如图直方图如图, ,根据频率分布直方图根据频率分布直方图, ,完成下面问题完成下面问题: :(1)(1)这这100100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组名教师培训成绩的中位数应在哪个小组? ?请说明理由请说明理由. .(2)(2)如果成绩在如果成绩在300300分以上分以上( (含含300300分分) )者为优秀学员者为优秀学员, ,求该市优秀求该市优秀学员的人数学员的人数. .【解析】【解析】(1)100(1)100个数据的中位数是第个数据的中位数是第5050和第和第5151两个数据的平均两个数据的平均数数

22、, ,第一小组的频率为第一小组的频率为0.0040.004100=0.4,100=0.4,其频数为其频数为0.40.4100 100 =4050,=4050,100=6050,故中位故中位数应在第二小组数应在第二小组. .(2)(2)由频率分布直方图可知由频率分布直方图可知, ,优秀学员的频率为优秀学员的频率为(0.001+0.001)(0.001+0.001)100=0.2,100=0.2,故该市优秀学员的人数为故该市优秀学员的人数为500050000.2=1000.0.2=1000.【补偿训练】【补偿训练】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出

23、8080名学生名学生, ,其数学成绩其数学成绩( (均为整数均为整数) )的频率分布直方图如图所示的频率分布直方图如图所示. .(1)(1)求这次测试数学成绩的众数求这次测试数学成绩的众数. .(2)(2)求这次测试数学成绩的中位数求这次测试数学成绩的中位数. .(3)(3)求这次测试数学成绩的平均分求这次测试数学成绩的平均分. .【解析】【解析】(1)(1)由众数的概念可知由众数的概念可知, ,众数是出现次数最多的数众数是出现次数最多的数, ,在在直方图中直方图中, ,高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为所求高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为所求, ,所以所以成绩的众数为成绩的众数为75.

24、75.(2)(2)由于中位数是所有数据中的中间值由于中位数是所有数据中的中间值, ,故在直方图中体现的是故在直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等中位数的左右两边频数应相等, ,即频率也相等即频率也相等, ,从而就是小矩形从而就是小矩形的面积和相等的面积和相等. .因此在频率分布直方图中因此在频率分布直方图中, ,将频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线与所有小矩形的面积一分为二的直线与x x轴交点的横坐标所对应轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求的成绩即为所求. .因为前三个小矩形的面积和为因为前三个小矩形的面积和为(0.005+0.015+0.020)(0.00

25、5+0.015+0.020)10=0.4,10=0.4,第四个小矩形的面积为第四个小矩形的面积为0.0300.03010=0.3,0.4+0.3=0.70.5,10=0.3,0.4+0.3=0.70.5,所以中位数应位于第四个小矩形内所以中位数应位于第四个小矩形内. .设其底边为设其底边为x,x,高为高为0.03,0.03,所以令所以令0.03x=0.1,0.03x=0.1,解得解得 故成绩的中位数为故成绩的中位数为73 .73 .101x3 ,3313(3)(3)平均数是频率分布直方图的平均数是频率分布直方图的“重心重心”, ,等于频率分布直方图等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形

26、底边中点的横坐标之和中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. .所以平均成绩为所以平均成绩为4545(0.005(0.00510)+5510)+55(0.015(0.01510)+6510)+65 (0.020(0.02010)+7510)+75(0.030(0.03010)+8510)+85(0.025(0.02510)+9510)+95(0.005(0.00510)=72.10)=72.所以成绩的平均分为所以成绩的平均分为7272分分. .【规范解答】【规范解答】平均数和标准差的应用平均数和标准差的应用【典例】【典例】(12(12分分) )某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如

27、某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下下: :等待时间等待时间(min)(min)0 05 55 51010101015151515202020202525频数频数4 48 85 52 21 1(1)(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值及平均试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值及平均等待时间标准差的估计值等待时间标准差的估计值s.s.(2)(2)为更好地服务病人为更好地服务病人, ,提高效率提高效率, ,医院应如何规定病人等待的医院应如何规定病人等待的时间范围时间范围? ?【审题】【审题】抓信息抓信息, ,找思路找思路【解题】【解题】明步骤明步骤, ,得高分得高分【点

28、题】【点题】警误区警误区, ,促提升促提升失分点失分点1:1:忽视忽视处的处的x xi i是各段等待时间的平均值是各段等待时间的平均值, ,在解答本题在解答本题的开始的开始, ,需要把各个值正确计算才能保证后面的解答正确需要把各个值正确计算才能保证后面的解答正确. .失分点失分点2:2:处的数据直接关系计算处的数据直接关系计算s s2 2的正误的正误, ,因此需要细心、因此需要细心、认真计算认真计算, ,确保此处计算的正确性确保此处计算的正确性, ,否则本例会失掉否则本例会失掉7 7分分. .失分点失分点3:3:在解答过程中在解答过程中, ,处的结果需要理解平均数和标准差处的结果需要理解平均数

29、和标准差的意义的意义, ,然后直接写出结果然后直接写出结果, ,正确地理解概念是解答的关键正确地理解概念是解答的关键. .【悟题】【悟题】提措施提措施, ,导方向导方向1.1.读图识图读图识图在解题时在解题时, ,读懂图表可以获得充足的已知条件读懂图表可以获得充足的已知条件, ,如本例需要从记如本例需要从记录表中获取信息录表中获取信息. .2.2.理解样本平均数和标准差的意义理解样本平均数和标准差的意义在实际问题中仅靠平均数不能完全反映问题的实质在实际问题中仅靠平均数不能完全反映问题的实质, ,还要研究还要研究其与平均数的离散程度其与平均数的离散程度( (即方差或标准差即方差或标准差),),如本例求出平均数如本例求出平均数后后, ,还需要计算标准差还需要计算标准差. .【类题试解】【类题试解】某校某校100100名学生期中考试语文成绩的频率分布直