有效性、情景与数学化（新）2

1、从从“后劲儿后劲儿”谈起谈起 足球缺少后劲足球缺少后劲 后劲不仅靠练，更要靠问题驱动、靠喜后劲不仅靠练，更要靠问题驱动、靠喜爱、想象力和创造性爱、想象力和创造性 数学的情景和足球差不多数学的情景和足球差不多 “后劲后劲”与学生学习和训练的有效性有与学生学习和训练的有效性有关关何谓何谓”有效有效”？1. “效效”是效率、效能、效益，是效率、效能、效益，的简称的简称2. “有效有效”直接用于对数学教学水平的考量不直接用于对数学教学水平的考量不妥。妥。 一般地，一般地，“有效有效”指投入的时间、物力与收获指投入的时间、物力与收获之间的正相关关系。通常用之间的正相关关系。通常用“立竿见影立竿见影”、“

2、多快好省多快好省”“”“突飞猛进突飞猛进”等形容词，或等形容词，或“投入产出比投入产出比”等量化指标来刻划，主要等量化指标来刻划，主要针对物质实体而非精神实体。针对物质实体而非精神实体。3. 数学教学的有效性有数学教学的有效性有“长长”和和“短短”之分。之分。 数学教学的有效性要通过学生的成长速度和质数学教学的有效性要通过学生的成长速度和质量衡量，需兼顾量衡量，需兼顾“当下当下”和和“今后今后”两个方两个方面，因此有面，因此有“长长”和和“短短”之分。之分。3. 何为何为“长长”、“短短”：（1）短效，多与考试有关。）短效，多与考试有关。密集型、机械性、重复性、速率式的手段一般收密集型、机械性

3、、重复性、速率式的手段一般收获短效，多与考试有关。获短效，多与考试有关。（2） “长效长效”即后劲儿。即后劲儿。过程、活动、经验、交流一般收获长效，过程、活动、经验、交流一般收获长效，“长效长效”即后劲儿，是判断数学学习有效与否的一个即后劲儿，是判断数学学习有效与否的一个基本指标。基本指标。（3）有效性是指）有效性是指“长、短长、短”合成的整体教学效合成的整体教学效果果需要解决的问题需要解决的问题 长、短如何结合？长、短如何结合？ 长、短孰轻孰重？长、短孰轻孰重？ 长、短与改革目标的关系？长、短与改革目标的关系？ 有效性的重心放在哪儿？有效性的重心放在哪儿？ 长效机制如何建立？长效机制如何建立

4、？要在弥补弱项上下大功夫要在弥补弱项上下大功夫 对传统的基础观和训练观要反思对传统的基础观和训练观要反思 “算算”、“证证”和和“快快”是我们的强项是我们的强项 直观、想象、运用经验、抽象较弱直观、想象、运用经验、抽象较弱 提问题、想办法、主动探究更弱提问题、想办法、主动探究更弱 而直观、想象、经验、抽象、计算、演而直观、想象、经验、抽象、计算、演绎对数学学习缺一不可绎对数学学习缺一不可 继承优秀传统、与时俱进继承优秀传统、与时俱进把握收获长效的支撑点把握收获长效的支撑点 喜欢和好奇喜欢和好奇 数学与现实之间的联系数学与现实之间的联系 发现和提出问题发现和提出问题 解决实际问题解决实际问题 思

5、路和方法思路和方法 具体怎么办？具体怎么办？陈建功先生语：陈建功先生语： 教材的内容，对于学生教材的内容，对于学生宜富于兴趣宜富于兴趣；枯燥无味；枯燥无味的东西，决不能充作教材；的东西，决不能充作教材； 成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的青年所满足。吾人应该站在学生的立场；青年所满足。吾人应该站在学生的立场；顺应顺应学生的心理发展学生的心理发展去教育学生，才能满足他们的去教育学生，才能满足他们的真实感。真实感。 某些教材某些教材,虽然具有高度的实用性价值或高度的虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值论理性价值,假使学生假使学生不发生任何真实感不

6、发生任何真实感,就心就心理的原则而言理的原则而言,这些教材这些教材,简直是没有教育的价简直是没有教育的价值值。 在科学的研究当中，用数学做武器的时候，在科学的研究当中，用数学做武器的时候，往往需要各科全般的知识，假如预先有了往往需要各科全般的知识，假如预先有了有机的统一有机的统一，那就方便多了。综合的数学，那就方便多了。综合的数学，不但可以避免重复，学习既省时间；并且不但可以避免重复，学习既省时间；并且可以可以使学生明白生动的数学体系使学生明白生动的数学体系。 （引自（引自 “二十世纪的数学教育二十世纪的数学教育” 1956 ）几个主要关注点：几个主要关注点： 关注学生的成长水平与内在的学习需

7、求关注学生的成长水平与内在的学习需求 关注数学的现实性、真实感关注数学的现实性、真实感 关注数学的本质关注数学的本质 关注学以致用关注学以致用关注情景问题和数学化关注情景问题和数学化情景问题的特点情景问题的特点 与学生周围的生活有关与学生周围的生活有关 背景丰富且简洁、易懂、不那么直白背景丰富且简洁、易懂、不那么直白 与学生已经具备的常识性、非严格的数与学生已经具备的常识性、非严格的数学见解有关联学见解有关联 学生已经习得的正规知识能派上用场学生已经习得的正规知识能派上用场 能引起思考、提出问题、容易导向一段能引起思考、提出问题、容易导向一段发现和活动的过程发现和活动的过程 情景问题的类型情景

8、问题的类型 1 现实生活中学生熟悉的真情实景现实生活中学生熟悉的真情实景 2 现实生活中学生不熟悉但能引起他们现实生活中学生不熟悉但能引起他们探求欲望的情景探求欲望的情景 3 学生熟知和喜爱的超现实和虚拟的情学生熟知和喜爱的超现实和虚拟的情景（如科学幻想、神话传说等等）景（如科学幻想、神话传说等等） 4 学生已经掌握的学科知识积累（如学生已经掌握的学科知识积累（如“加法加法”就是发现就是发现“乘法乘法”的情景问题）的情景问题）数学化：数学化： 从情景问题中发现数学问题从情景问题中发现数学问题 利用生活中积累的常识和已习得的知识利用生活中积累的常识和已习得的知识与方法，去寻求解决问题与方法，去寻

9、求解决问题 在解决问题的过程中探索新的概念和方在解决问题的过程中探索新的概念和方法，进入未知的数学领域法，进入未知的数学领域 一步步地实现数学的抽象化及形式化。一步步地实现数学的抽象化及形式化。 使学生能使学生能通过自己的发现习得新的数学知通过自己的发现习得新的数学知识内容识内容 有助于发现数学的概念和方法是从哪里来有助于发现数学的概念和方法是从哪里来的？它们有什么用？可以怎么用？的？它们有什么用？可以怎么用？意义意义大体是两步走大体是两步走1.把现实问题转化为数学问题把现实问题转化为数学问题（水平数学化）（水平数学化） 确定情景问题中包含的数学成分确定情景问题中包含的数学成分建立数学成分与已

10、知的数学模型之间的建立数学成分与已知的数学模型之间的联系联系通过不同方法使这些数学成分形象化和通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化公式化找出蕴含其中的关系和规则找出蕴含其中的关系和规则考虑相同数学成分在不同情景问题中的考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现表现作出形式化的表述作出形式化的表述2.把数学问题转化为抽象的数学形把数学问题转化为抽象的数学形式（垂直数学化）式（垂直数学化） 用数学公式表示关系用数学公式表示关系; 对有关规则作出必要证明对有关规则作出必要证明; 尝试不同数学模型的建立和使用尝试不同数学模型的建立和使用; 对得出的数学模型进行调整和加工对得出的数学模型进行调整和加工;

11、 综合不同数学模型的共性综合不同数学模型的共性,形成功能更强形成功能更强的新模型的新模型; 用数学公式和语言精确表述得到的新概用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法念和新方法;情景问题与数学化关系图情景问题与数学化关系图数数 学学 系系 统统数学问题数学问题概念、方法概念、方法解解 决决 问问 题题描描 述述情景问题情景问题实例实例13个小朋友分个小朋友分36块糖果，每人能分到几块？块糖果，每人能分到几块？ 学生探索出来的几个结果学生探索出来的几个结果学生的尝试可以概括为两个主学生的尝试可以概括为两个主要方法：要方法： 这两种方法之间是紧密相关联的：这两种方法之间是紧密相关联的：分成了分

12、成了3个相等的部分相当于每分一个相等的部分相当于每分一次，糖的总数以次，糖的总数以3的倍数的形式减少的倍数的形式减少 发现发现“分分”与已知的与已知的“减减”之间的之间的关系关系 水平数学化水平数学化实例实例2 1128名球迷要随主队参加客场比赛。每名球迷要随主队参加客场比赛。每辆大客车可以乘坐辆大客车可以乘坐36人，并且每人，并且每10辆交辆交通公司给予优惠。通公司给予优惠。学生的探索学生的探索除减法外，每除减法外，每10辆可以优惠这个信息很重要，辆可以优惠这个信息很重要，“乘乘10”自然派上用场自然派上用场36 1128 36010 768 360 10 408 360 10 48 36

13、1 12 更进一步更进一步36 1128 36010 768 720 20 48 36 1 12 稍微调整一下就是严格的除法稍微调整一下就是严格的除法算式了算式了36 1128 108030 48 36 1 12 学生自己得出的算法已经来到抽象的竖学生自己得出的算法已经来到抽象的竖式除法门口式除法门口 垂直数学化垂直数学化 启示启示 学生在解决学生在解决“分分”的问题时，倾向于重的问题时，倾向于重复做减法的方式复做减法的方式 在分的过程中自觉建立起除法与乘法、在分的过程中自觉建立起除法与乘法、减法、位值制之间的联系减法、位值制之间的联系 虽然还需要一些提炼和转换工作，但核虽然还需要一些提炼和转

14、换工作，但核心的思想和方法已经被发现了心的思想和方法已经被发现了与百分比有关的情景问题串与百分比有关的情景问题串 实例实例3以百分比为例以百分比为例 学生或多或少已经在日常生活中积累了学生或多或少已经在日常生活中积累了与百分比相关的经验，情景问题串能引与百分比相关的经验，情景问题串能引导学生从生活逐步进入数学的百分比概导学生从生活逐步进入数学的百分比概念念足球还是乐队足球还是乐队 小明通常在周三下午练足球，但这周串到周小明通常在周三下午练足球，但这周串到周四了。妈妈问：你周四不是歌队有活动么？小四了。妈妈问：你周四不是歌队有活动么？小明回答说：妈妈不必担心，有百分之九十五的明回答说：妈妈不必担

15、心，有百分之九十五的可能，足球训练还得在周三进行。可能，足球训练还得在周三进行。1你认为小明的回答会让妈妈放心吗？你认为小明的回答会让妈妈放心吗？越野赛越野赛 张丽和美华议论周六举行的越野赛。天张丽和美华议论周六举行的越野赛。天气预报说比赛期间有大雨。张丽认为有气预报说比赛期间有大雨。张丽认为有多一半参赛选手会在中途退出比赛。美多一半参赛选手会在中途退出比赛。美华同意她的看法，认为退出的人应在百华同意她的看法，认为退出的人应在百分之六十左右分之六十左右。2为什么美华同意张丽的看法？而张丽和为什么美华同意张丽的看法？而张丽和美华的说法听起来并不一样美华的说法听起来并不一样?议打折议打折双胞胎德瑞

16、和德鲁在一间音像店里购物，双胞胎德瑞和德鲁在一间音像店里购物，德瑞说，我们都是百分之十的折扣，但德瑞说，我们都是百分之十的折扣，但我们怎么没有拿到同样多的折扣款哪。我们怎么没有拿到同样多的折扣款哪。我省了四块，你才省了一块。德鲁说，我省了四块，你才省了一块。德鲁说，虽然比你省的少可我很满意。虽然比你省的少可我很满意。3同样的折扣率会拿到不一样的折扣款吗？同样的折扣率会拿到不一样的折扣款吗？说明你的理由。说明你的理由。最优价格最优价格某商店打出广告：所有商品降价百分之某商店打出广告：所有商品降价百分之四十！这会是最优价格么四十！这会是最优价格么?商店老板说：商店老板说：当然！但消费者们说：不对！

17、当然！但消费者们说：不对！4你同意谁的说法？老板还是消费者？你同意谁的说法？老板还是消费者？说明你的理由。说明你的理由。班费预算班费预算班长正在说明她的预算计划：百分之五十的资班长正在说明她的预算计划：百分之五十的资金用来买书，百分之二十五的资金用来增加体金用来买书，百分之二十五的资金用来增加体育设备，其余百分之三十五归班长支配。生活育设备，其余百分之三十五归班长支配。生活委员说：等一等，这加在一起都百分之一百一委员说：等一等，这加在一起都百分之一百一十啦！十啦！5班长的这个预算说明什么？请解释班长的这个预算说明什么？请解释。攒钱攒钱去年秋天魏平开始攒钱想买一辆新自行去年秋天魏平开始攒钱想买一

18、辆新自行车。今天他数完攒下的钱之后长出一口车。今天他数完攒下的钱之后长出一口气说道：我已经攒了百分之二百的钱了！气说道：我已经攒了百分之二百的钱了！弟弟在一旁听了说：百分之二百？什么弟弟在一旁听了说：百分之二百？什么意思意思？6魏平的话是什么意思？魏平的话是什么意思？打打 折折利华说，快来看呀，原来卖四百元的利华说，快来看呀，原来卖四百元的MP3有百分之二十五的折扣，这个正是有百分之二十五的折扣，这个正是我想买的那种，现在三百就可以买下啦！我想买的那种，现在三百就可以买下啦！汤力在一边说：这个价钱对我来说还是汤力在一边说：这个价钱对我来说还是不合适不合适。7如果你是利华，你会如何向汤力解释？如

19、果你是利华，你会如何向汤力解释？考试考试为通过考试，小南需要答对为通过考试，小南需要答对50%以上的以上的题目，但他错了题目，但他错了14道题。道题。8我们是否应该祝贺他？我们是否应该祝贺他？房租上涨房租上涨亲爱的妈妈，亲爱的妈妈， 学校很好，我也很好，但有一个消息很不学校很好，我也很好，但有一个消息很不好！虽然我不愿意听到，但房租下月要提好！虽然我不愿意听到，但房租下月要提百分之二十五，二百块钱租金一个月的日百分之二十五，二百块钱租金一个月的日子过到头了。子过到头了。 学校尚未告诉我准确的租金数目，我想学校尚未告诉我准确的租金数目，我想是在是在200到到300块钱之间。保险起见请寄给块钱之间

20、。保险起见请寄给我我300元（比本月多元（比本月多100）。）。 你的你的 儿子儿子9.他的妈妈会作何反应？他的妈妈会作何反应？价格之争价格之争两家商店卖同一种手表，甲商店每只卖两家商店卖同一种手表，甲商店每只卖100块钱，乙商店每只卖块钱，乙商店每只卖200块钱。乙说：块钱。乙说：好啊！你卖的比我贵了百分之百。甲说：好啊！你卖的比我贵了百分之百。甲说：不、不、不，我卖的仅比你便宜百分之不、不、不，我卖的仅比你便宜百分之五十五十。10他们谁说的对？他们谁说的对？思考思考 从有趣的背景出发从有趣的背景出发, ,经过一连串问题经过一连串问题, ,不知不觉不知不觉已经来到抽象的百分比概念门口已经来到抽象的百分比概念门口. . 是从现成的结果出发是从现成的结果出发, ,还是从丰富的情景出发，还是从丰富的情景出发，切入点不同切入点不同, ,面貌徊异面貌徊异. . 后者做起来有点难后者做起来有点难, ,但是学生感兴趣，能接触活但是学生感兴趣，能接触活生生的数学生生的数学, ,有意义有意义. . 实例实例4 国外教材片段：国外教材片段：数学、测量和我数学、测量和我 测量长度（运用正规和非正规的单