数学建模教学 18.微分方程

1、-数学建模基地系列课件数学建模基地系列课件-数学建模数学建模 微分方程模型微分方程模型编辑编辑ppt微分方程模型微分方程模型微分方程模型微分方程模型稳定性微分方程模型稳定性编辑编辑ppt微分方程模型微分方程模型微分方程模型编辑编辑ppt 在研究实际问题时，常常会联系到某些在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变量的变化率变化率或或导数导数，这样所得到变量之间，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。的关系式就是微分方程模型。 模型的使用背景模型的使用背景 微分方程模型反映的是变量之间的微分方程模型反映的是变量之间的间接间接关系关系，因此，要得到直接关系，就需要求解，因此，要得到直接关系，

2、就需要求解微分方程。微分方程。 微分方程建模是数学建模的重要方法，微分方程建模是数学建模的重要方法，在科技工程，经济管理，生态环境，人口，在科技工程，经济管理，生态环境，人口，交通等领域中有着广泛的应用。交通等领域中有着广泛的应用。编辑编辑ppt微分方程模型的建立方法微分方程模型的建立方法 v根据规律列方程根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。方程模型。v微元分析法微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方

3、法不同的是对微元而不系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。是直接对函数及其导数应用规律。 编辑编辑ppt微分方程模型的建立方法微分方程模型的建立方法v模拟近似法模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在是极其复杂的，建模时在不同的假设不同的假设下去下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，方

4、程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。编辑编辑ppt案例分析案例分析 缉私问题缉私问题 一艘缉私舰雷达发现距一艘缉私舰雷达发现距c kmkm处有一艘走私船正以处有一艘走私船正以匀速匀速 a kmkm/ /minmin沿直线行驶。缉私舰立即以最大沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度的速度 b kmkm/ /minmin追赶，若用雷达进行跟踪，保追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。私舰追逐路线和追上的时间。编辑编辑ppt缉私问题缉私

5、问题模型建立模型建立建立如右坐标系，缉私建立如右坐标系，缉私船在船在(c,0)处发现走私船处发现走私船在在(0,0)处，走私船逃跑处，走私船逃跑方向为方向为y轴方向。轴方向。在在t时刻，走私船到达时刻，走私船到达R(0,at)，缉私舰到达，缉私舰到达D(x,y)编辑编辑ppt缉私问题缉私问题根据题意有如下关系式根据题意有如下关系式 0dyyattgdxx22d ydtxadxdx 化简得：化简得：又因又因 dsbdt ，s为弧长为弧长 211dtdt dsdydxds dxbdx （1）（2）编辑编辑ppt2221/( )0,( )0d ydyxrra bdxdxy cy c其中将（将（2）代

6、入（）代入（1）得：）得：模型求解模型求解 ：1) 求解析解求解析解 1arb（1）当）当 ， 缉私问题缉私问题编辑编辑ppt112112 111rrcxxcryrcrcr当x=0时， 21cryr222(1)()ycrbctaarba缉私问题缉私问题编辑编辑pptc=3km，a=0.4(km/min)，分别取，分别取b=0.6,0.8,1.2 (km/min)，缉私艇追赶路线图形如下：，缉私艇追赶路线图形如下：00.511.522.533.500.511.522.533.54缉私问题缉私问题编辑编辑ppt1arb（2）当）当，缉私艇不可能追赶上走私船，缉私艇不可能追赶上走私船 2）求数值解）

7、求数值解假设假设a = 60公里公里/小时，小时，b = 80公里公里/小时，小时，c = 500公里公里 用用MATLAB软件编程求数值解软件编程求数值解 1.zhuiji.mfunction f=zhuiji(x,y) %建立微分方程组函数，函数建立微分方程组函数，函数 名为名为zhuijif=y(2);0.75*sqrt(1-y(2)2)/x;缉私问题缉私问题编辑编辑pptx,y=ode23(zhuiji,500,1,0,0); %调调用用ode23求解器求解方程组求解器求解方程组plot(x, y(:,1) %画出图形画出图形运行结果如右图：运行结果如右图：05010015020025

8、0300350400450500050100150200250300缉私问题缉私问题编辑编辑ppt人口增长模型人口增长模型 据考古学家论证，地球上出现生命距今已有据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足亿年，而人类的出现距今却不足200万年万年.纵观纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前年前人口总数为人口总数为2.75亿亿.经过漫长的过程到经过漫长的过程到1830年，人年，人口总数达口总数达10亿，又经过亿，又经过100年，在年，在1930年，人口年，人口总数达总数达20亿；亿；30年之后，在年之后，在1960年，人口

9、总数为年，人口总数为30亿；又经过亿；又经过15年，年，1975年的人口总数是年的人口总数是40亿，亿，12年之后即年之后即1987年，人口已达年，人口已达50亿亿. 我们自然会产生这样一个问题：人类人口增我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律编辑编辑ppt英国人口学家英国人口学家Malthus0)0(xxrxdtdx模型假设模型假设 人口自然增长率人口自然增长率 r 为常数为常数即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。模型建立模型建立人口以几何级数增加！人口以几何级

10、数增加！人口增长模型人口增长模型编辑编辑ppt模型分析模型分析0r( )x t 人口将人口将按指数规律无限增长按指数规律无限增长！ 0r 0( )x tx人口将人口将始终保持不变始终保持不变！ 0r ( )0 x t 人口将人口将按指数规律减少直至绝灭按指数规律减少直至绝灭！ 模型求解模型求解rtextx0)(人口增长模型人口增长模型编辑编辑编辑编辑编辑编辑ppt短期预报比较准确短期预报比较准确不适合中长期预报不适合中长期预报预报时假设人口增长率预报时假设人口增长率 r 为常数。为常数。没有考虑环境对人口增长的制约没有考虑环境对人口增长的制约作用。作用。编辑编辑ppt假设人口增长率假设人口增长

11、率 r(t) 是是 t 时刻人口时刻人口 x(t) 的减函数的减函数 ：( )1mxr xrx其中，其中，xm 为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的最大人口数量最大人口数量（称（称） 模型假设模型假设模型建立模型建立01(0)mdxxrxdtxxx人口增长模型人口增长模型编辑编辑ppt模型分析（定性分析）模型分析（定性分析）0mxx( )mx tx人口将人口将递减并趋向于递减并趋向于xm！ 0mxx( )mx tx人口将人口将始终保持始终保持xm不变不变！ 00mxx( )mx tx人口将人口将递增并趋向于递增并趋向于xm！ 无论在哪种情况下，人

12、口最终将趋向于最大人口容量！无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！模型求解模型求解0( )11mrtmxx txex人口增长模型人口增长模型编辑编辑ppt xm/2 Xm x dtdx t xm /2 x m x 2mxx人口增长率达到最大值人口增长率达到最大值maxdd4mrxxt人口增长模型人口增长模型编辑编辑ppt阻滞增长模型预测美国人口阻滞增长模型预测美国人口编辑编辑ppt阻滞增长模型预测美国人口阻滞增长模型预测美国人口编辑编辑ppt阻滞增长模型预测的优缺点阻滞增长模型预测的优缺点优点优点中期预报比较准确中期预报比较准确缺点缺点理论上很好，实用性不强理论上很好，实用性不强原因

13、原因预报时假设固有人口增长率预报时假设固有人口增长率 r 以及以及最大人口容量最大人口容量 xm 为定值。为定值。实际上这两个参数（特别是实际上这两个参数（特别是 xm ）很难确定，而且会随着社会发展很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化情况变化而变化。前面图中曲线末端分叉就是由前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。于这个原因。编辑编辑ppt利用利用MATLAB求解求解Malthus模型和模型和Logistic模型，模型，预测美国人口数量，程序如下所示：预测美国人口数量，程序如下所示：k=197.273; %xmr=0.03134; % rt=0:10:160; %时间间隔为时间间隔为10

14、年年n0=3.929;n1=3.929 5.308 7.240 7.638 12.866 17.069 23.192 31.443 38.558 50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697;% 实际统计资料实际统计资料n2=n0*exp(r*t); % Malthus模型模型n3=k./(1+(k/n0)-1).*exp(-r.*t); %Logistic模型模型t=t+1790;plot(t,n1,k*-,t,n2,go-,t,n3)编辑编辑ppt运行结果运行结果黑色星黑色星号号-Logistic模型预模型预测值，测

15、值，绿色圆绿色圆圈圈-Malthus模型预模型预测值，测值，蓝色曲蓝色曲线为实线为实际统计际统计值。值。 编辑编辑ppt传染病模型传染病模型 随着卫生设施的改善，医疗水平的提高及人类文随着卫生设施的改善，医疗水平的提高及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制。但是一些新的、不染性疾病已经得到了有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来，断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来，20世纪世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；延

16、；2003年春来历不明的年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害。长期以来，建立传染的生命财产带来了极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等，一人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等，一直是有关专家关注的一个热点问题。直是有关专家关注的一个热点问题。编辑编辑ppt 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1ttititti

17、)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)0)0(iiidtdiitteiti0)(?传染病模型传染病模型编辑编辑pptsidtdi1)()(tits模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病ttNitstittiN)()

18、()()(0)0()1(iiiidtdiSI 模型模型传染病模型传染病模型编辑编辑pptteiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型2Logistic 模型00.09,0.1i当当 时，用时，用Matlab程序为程序为: y=dsolve(Dy=0.1*y*(1-y),y(0)=0.09,x) %求解此微分方程求解此微分方程ezplot(y,0,60) %画出微分方程的图像画出微分方程的图像ezplot(0.1*y*(1-y),0,1) %画出画出y的导数的图像的导数的图像传染病模型传染病模型编辑编辑ppt11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率

19、日接触率) tm t=tm, di/dt 最大最大传染病模型传染病模型编辑编辑ppt传染病模型传染病模型II的函数图像的函数图像 1it?编辑编辑ppt模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(/ 日接触率日接触率1/ 感染期感染期0)0()1(iiiiidtdi传染病模型传染病模型编辑编辑ppt编写编写MATLAB程序如下：程序如下：y=dsolve(Dy=0.01*y*(1-y)-0.05

20、*y,y(0)=0.7,x); %ezplot(y,0,120)y2=dsolve(Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y,y(0)=0.7,x); y3=dsolve(Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y,y(0)=0.3,x);figure,ezplot(y2,0,25);figure,ezplot(y3,0,25)传染病模型传染病模型编辑编辑ppt00.3,0.3,2i传染病模型传染病模型00.7,0.01,0.2i不难看出，接触数不难看出，接触数 =1 阈值阈值1)(编辑编辑ppt模型模型4传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移

21、出者移出者SIR模型模型1）总人数）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别为出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率）病人的日接触率 , 日日治愈率治愈率 , 接触数接触数 = / 1)()()(trtits需建立需建立 的两个方程的两个方程)(),(),(trtsti传染病模型传染病模型编辑编辑pptttNittitNstittiN)()()()()(模型模型4很小）通常000)0(1rrsi无法求出无法求出 的解析解的解析解)(),(tstittitNststtsN)()()()(00)0(,)0(编辑编辑pptMATLAB程序如下：程序如

22、下：ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0) %调用调用ode45求解求解ill方程组方程组plot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid, %画出健康者和病人的变化曲线画出健康者和病人的变化曲线figure,plot(x(:,2),x(:,1),grid %画出相图画出相图function y=ill(t,x) %函数函数ill，表示模型，表示模型IVa=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2);传染病模型传染病模型编辑编辑ppt画出健康者和病人的变化曲线画出健康者和病人的变化曲线 编辑编辑ppt结论

23、：结论：在初始时刻健康者和病人百分比的总和为在初始时刻健康者和病人百分比的总和为1；病；病人的数量先增加然后下降，说明在某时刻传染人的数量先增加然后下降，说明在某时刻传染病得到抑制；而治愈的人群退出此系统，所以病得到抑制；而治愈的人群退出此系统，所以最后系统的人群数量为最后系统的人群数量为0；这时所有的人群均是；这时所有的人群均是免疫者。免疫者。传染病模型传染病模型编辑编辑ppt 意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战

24、争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题编辑编辑ppt3模型建立与求解模型建立与求解 模型（一） 不考虑人工捕获)(21111xrxdtdx)(12222xrxdtdx地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题编辑编辑ppt 针对一组具体的数据

25、用 Matlab 软件进行计算. 设食饵和捕食者的初始数量分别为101)0(xx，202)0(xx对于数据2,25,02. 0, 5 . 0, 1 . 0, 120102211xxrr，t的终值经试验后确定为 15，即模型为： 2)0(,25)0()02. 05 . 0()1 . 01 (21122211xxxxxxxx地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题0510150102030405060708090100数值解如下图：)(1tx为实线，)(2tx为“*”线编辑编辑ppt模型（二） 考虑人工捕获 设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2

26、+e)()(1222221111xerxdtdxxerxdtdx20,250,02. 0, 5 . 0, 1 . 0, 1212211）（）（仍取xxrr设战前捕获能力系数e=0.3, 战争中降为e=0.1, 则战前与战争中的模型分别为:2)0(,25)0()02. 08 . 0()1 . 07 . 0(21122211xxxxdtdxxxdtdx2)0(,25)0()02. 06 . 0()1 . 09 . 0(21122211xxxxdtdxxxdtdx地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题编辑编辑ppt05101500.10.20.30.40.50.60.70.8 实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为

27、战争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题编辑编辑ppt微分方程模型稳定性微分方程模型稳定性微分方程模型稳定性微分方程模型稳定性编辑编辑ppt常微分方程模型平衡点的稳定性常微分方程模型平衡点的稳定性如果如果0)(limxtxt则称平衡点则称平衡点x0是是稳定稳定的的.) 14()(ddxftx称代数方程称代数方程 f (x)=0 的实根的实根x = x0为方程为方程(4-1)的的平平衡点衡点(或奇点或奇点). 它也是方程它也是方程(4-1)的解的解.设设编辑编辑ppt由于由于),)()(00 xxxfxf在讨论方程在讨论方程(4

28、-1)的的)24()(dd00 xxxftx来代替来代替.稳定性时，可用稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性一阶微分方程模型平衡点的稳定性编辑编辑ppt一阶微分方程模型平衡点的稳定性一阶微分方程模型平衡点的稳定性 易知易知 x0也是方程也是方程(4-2)的平衡点的平衡点. (4-2)的通解为的通解为,e)(0)(0 xCtxtxf关于关于x0是否稳定有以下结论：是否稳定有以下结论： 若若, 0)(0 xf则则x0是稳定的；是稳定的； 若若则则x0是不稳定的是不稳定的. ., 0)(0 xf这个结论对这个结论对于于(4-1)也是也是成立的成立的编辑编辑ppt)34().,(dd),(dd

29、yxgtyyxftx代数方程组代数方程组. 0),(, 0),(yxgyxf的实根的实根x = x0, y = y0称为方程称为方程(4-3)的的平衡点平衡点, 记作记作P0 (x0, y0). 它也是方程它也是方程(4-3)的解的解.微分方程组的平衡点的稳定性微分方程组的平衡点的稳定性编辑编辑ppt如果如果,)(lim,)(lim00ytyxtxtt则称平衡点则称平衡点P0是是稳定稳定的的.微分方程组的平衡点的稳定性微分方程组的平衡点的稳定性编辑编辑ppt判别平衡点判别平衡点P0是否稳定的是否稳定的判别准则判别准则. ,)()(00yPgxPfpyPgxPgyPfxPfq)()()()(00

30、00 则当则当p0且且q0时，平衡点时，平衡点P0是稳定的；是稳定的； 当当p0或或q0时，平衡点时，平衡点P0是不稳定的是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性微分方程组的平衡点的稳定性编辑编辑ppt稳定性模型稳定性模型建模目的是研究时间充分长以后过程的变建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势化趋势 平衡状态是否稳定。平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。理论研究平衡状态的稳定性。编辑编辑ppt 再生资源（渔业、林业等）与非再生再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）资源（矿业等） 再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。前提下