中学数学概念的教学

1、数学概念的教学数学概念的教学第七组第七组 2014.3.21 目录：目录： 数学概念是一类特殊的概念，是其所反映的事物在现实世数学概念是一类特殊的概念，是其所反映的事物在现实世界中的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映界中的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。数学概念是数学科学知识体系的基础，同时，数学概念又数学概念是数学科学知识体系的基础，同时，数学概念又表现为数学思维的一种形式。数学概念的学习与学生对数学知表现为数学思维的一种形式。数学概念的学习与学生对数学知识的掌握、合理的数学认知结构的形成以及数学能力的提高都识的掌握、合理的数学认知结构的形成以及数学能力的提高都密切相

2、关。因此，数学概念的教学对于提高数学教学质量，实密切相关。因此，数学概念的教学对于提高数学教学质量，实现教学目标，都起着十分关键的作用。现教学目标，都起着十分关键的作用。 （1 1）有的数学概念是从它的现实模型中直接反映得来；有的数学概念是从它的现实模型中直接反映得来； （2 2）大多数概念是在一些相对具体的概念的基础上，进一大多数概念是在一些相对具体的概念的基础上，进一步经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的；步经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的； （3 3）有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得来的；属性理

3、想化、纯粹化才得来的； （4 4）有的数学概念是从数学内部的需要产生出来的；有的数学概念是从数学内部的需要产生出来的； （5 5）有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的；的； （6 6）一些数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来。一些数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来。 数学中许多概念，随着数学的发展而发展成为新的概念。数学中许多概念，随着数学的发展而发展成为新的概念。 概念的概念的 基本特征基本特征内涵内涵外延外延 例：例：偶数这个概念的内涵是偶数这个概念的内涵是“能被能被2整除整除”这个性质，这个性质，其外延是所有偶数的全

4、体。其外延是所有偶数的全体。 “一元二次方程一元二次方程”这个概念的内涵是这个概念的内涵是“只含有一个未知只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的整式方程数且未知数的最高次数是二次的整式方程”这个性质，其外这个性质，其外延是一切形如延是一切形如 的方程的全体。的方程的全体。0)0(acbxax2 概念的内涵与外延的区别：概念的内涵与外延的区别： 内涵：事物的质的规定内涵：事物的质的规定 外延：事物的量的规定外延：事物的量的规定 概念的内涵和外延的联系：概念的内涵和外延的联系： 互相联系、互相制约的。当概念的内涵扩大时，则概念的外互相联系、互相制约的。当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小了；

5、当概念的内涵缩小时，概念的外延就扩大。内涵与延就缩小了；当概念的内涵缩小时，概念的外延就扩大。内涵与外延之间的这种关系，称为外延之间的这种关系，称为反变关系反变关系。 例例：“方程方程”比比“整式方程整式方程”的内涵少（少了两边都是关于的内涵少（少了两边都是关于未知数的整式）；而前者比后者的人外延大（多了那些两边不都未知数的整式）；而前者比后者的人外延大（多了那些两边不都是整式的方程）。是整式的方程）。 概念的限制与概括是明确概念的逻辑方法。概念的限制与概念的限制与概括是明确概念的逻辑方法。概念的限制与概括是以概括的内涵和外延的反变关系为依据的。概括是以概括的内涵和外延的反变关系为依据的。 概

6、念的限制是增加概念的内涵，从而缩小概念外延的逻辑概念的限制是增加概念的内涵，从而缩小概念外延的逻辑方法。它是由外延较大的概念过度到外延较小的概念的思维过方法。它是由外延较大的概念过度到外延较小的概念的思维过程。程。 例：桥例：桥拱桥拱桥石拱桥石拱桥中国石拱桥中国石拱桥赵州桥赵州桥 思维重点由一般转向特殊，由概括走向具体的过程。思维重点由一般转向特殊，由概括走向具体的过程。 使用限制方法时，必须遵守两个规则：一是正确的限制必使用限制方法时，必须遵守两个规则：一是正确的限制必须按照概念的种类关系逐级进行。二是限制必须适度。须按照概念的种类关系逐级进行。二是限制必须适度。 概念的限制与概括概念的限制

7、与概括 概念的概括是通过减少概念的内涵，以扩大概念的外延的概念的概括是通过减少概念的内涵，以扩大概念的外延的逻辑方法，它是由外延较小的概念过渡到外延较大的概念的思逻辑方法，它是由外延较小的概念过渡到外延较大的概念的思维过程。维过程。 例：小说例：小说文学文学艺术艺术社会意识形态社会意识形态社会上层建筑社会上层建筑 思维重点由特殊向一般，由具体转向概括的过程思维重点由特殊向一般，由具体转向概括的过程 使用概念的概括也必须遵守两个规则：一要反映概念的种使用概念的概括也必须遵守两个规则：一要反映概念的种类关系；二要适度。类关系；二要适度。 从某种意义上说，数学概念的逻辑系统，就是概念的限制从某种意义

8、上说，数学概念的逻辑系统，就是概念的限制和概括的反映。把握住概念的限制和概括，有利于认识各类数和概括的反映。把握住概念的限制和概括，有利于认识各类数学概念的体系，有助于掌握概念之间的内在联系，便于更好地学概念的体系，有助于掌握概念之间的内在联系，便于更好地使概念系统化。使概念系统化。 二、概念间的关系二、概念间的关系 定义：逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延定义：逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。间的同异关系。 而概念之间在外延上又有相容关系和不相容关系之分，而概念之间在外延上又有相容关系和不相容关系之分，这是根据两个概念是否有重合部分来分的。这是根据两个概念是否

9、有重合部分来分的。 1. 1.相容关系相容关系 如果两个概念的外延有重合部分，则称二者具有相容如果两个概念的外延有重合部分，则称二者具有相容关系。关系。 例：例：“等边三角形等边三角形”和和“等腰三角形等腰三角形” 一般来说，相容关系有三种：全同关系，交叉关系，从一般来说，相容关系有三种：全同关系，交叉关系，从属关系。属关系。 （1 1）全同关系（同一关系或重合关系）全同关系（同一关系或重合关系） 如果两个概念如果两个概念A A和和B B的外延完全重合，那么就说两个概的外延完全重合，那么就说两个概念具有全同关系。念具有全同关系。 例：例：“偶数偶数”和和“整数中，整数中， 能被能被2整除的数整

10、除的数” 用数学符号表示即：用数学符号表示即：A=B ， B=A。 A B用欧拉图表示为：用欧拉图表示为： （2 2）交叉关系）交叉关系 如果两个概念如果两个概念A和和B的外延只有一部分重合，那么就的外延只有一部分重合，那么就说这两个概念具有交叉关系。说这两个概念具有交叉关系。 例：例：“等腰三角形等腰三角形”和和 “直角三角形直角三角形” 用数学符号表示即：用数学符号表示即：A B , A B 且且 B A 。 用欧拉图表示为：用欧拉图表示为：AB （3 3）从属关系（包含关系）从属关系（包含关系） 如果概念如果概念A A的外延包含概念的外延包含概念B B的外延，那么就说这两个的外延，那么就

11、说这两个概念具有从属（包含）关系。概念具有从属（包含）关系。 其中概念其中概念A叫做概念叫做概念B的属概念，的属概念， 概念概念B叫做叫做概念叫做叫做概念A的种概念。的种概念。 提问：提问：“有理数有理数”和和“实数实数” 用数学符号表示即：用数学符号表示即：B A， A B = B。 AB 用欧拉图表示为：用欧拉图表示为： 2. 2.不相容关系不相容关系 如果两个概念是属于如果两个概念是属于同一属概念同一属概念下的种概念，并且它下的种概念，并且它们的外延集合的交集为空集，则称二者具有不相容关系。们的外延集合的交集为空集，则称二者具有不相容关系。 例：例：“空集合空集合”和和“非空集合非空集合

12、” 一般来说，不相容关系有二种：对立关系，矛盾关系。一般来说，不相容关系有二种：对立关系，矛盾关系。 （1 1）对立关系）对立关系 在在同一属概念同一属概念下的下的A、B两个种概念，如果它们的外延两个种概念，如果它们的外延之和之和小于小于属概念的外延，而且二者具有全异关系，那么就属概念的外延，而且二者具有全异关系，那么就说这两个概念具有对立关系。说这两个概念具有对立关系。 例：例：“锐角三角形锐角三角形”和和 “钝角三角形钝角三角形 ” 用数学符号表示即：用数学符号表示即： A C ，B C , A B = ，A B C。 CAB用欧拉图表示为：用欧拉图表示为： （2 2）矛盾关系）矛盾关系

13、在在同一属概念同一属概念下的下的A A、B B两个种概念，如果它们的外延两个种概念，如果它们的外延之和之和等于等于属概念的外延，而且二者具有全异关系，那么就属概念的外延，而且二者具有全异关系，那么就说这两个概念具有矛盾关系。说这两个概念具有矛盾关系。 例：例：“有理数有理数”和和“无理数无理数” 用数学符号表示即：用数学符号表示即： A C ， B C , A B = ，A U B = C。 用欧拉图表示为：用欧拉图表示为：ABC三、三、概念的定义概念的定义 1. 1.定义的结构定义的结构 任何定义都是由任何定义都是由被定义项被定义项 、定义项、定义项 和和 定义联项定义联项三部三部分组成的。

14、被定义项就是其内涵被揭示的概念，定义项是用来分组成的。被定义项就是其内涵被揭示的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来连接被定义项和定义明确被定义项的概念，定义联项则是用来连接被定义项和定义项的。常用的定义联项：项的。常用的定义联项：“是是” ” “叫做叫做”等。等。 例：例：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。 2. 2.定义的方法定义的方法 种差：在同一个属概念里，一个种概念与其他种种差：在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别就是这个种概念的种差。概念之间本质属性的差别就是这个种概念的种差。 公式：被定义的概念

15、公式：被定义的概念= =最邻近的属概念最邻近的属概念+ +种差。种差。 是以被定义概念所反映对象发生过程或是以被定义概念所反映对象发生过程或形成的特征描述来揭示被定义概念的本形成的特征描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法。质属性的定义方法。 （2 2）揭示外延的定义方法）揭示外延的定义方法 外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义。例外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义。例如：有理数的定义：正整数、负整数、正分数、负分数和如：有理数的定义：正整数、负整数、正分数、负分数和零统称有理数。零统称有理数。 约定式定义：约定式定义是依据数学上的某种特殊需约定式定义：约定式定义是依据数学上的

16、某种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。要，通过约定的方式来下的定义。 例如：例如：“零指数零指数”的概念规定为的概念规定为 )0( 10aa 3. 3.定义的基本要求定义的基本要求 （1 1）定义应当相称）定义应当相称 所谓定义相称就是由定义所确定的外延与被定义概念的所谓定义相称就是由定义所确定的外延与被定义概念的外延必须是相等的，不能扩大，也不能缩小。外延必须是相等的，不能扩大，也不能缩小。 大家来找茬：大家来找茬： （2 2）定义不能循环）定义不能循环 例如：用两条直线垂直来定义直角，又反过来用两直线例如：用两条直线垂直来定义直角，又反过来用两直线交成直角来定义垂直，这就是定义循环，不能

17、揭示本质属性。交成直角来定义垂直，这就是定义循环，不能揭示本质属性。 有一组对边平行的四边形叫梯形；有一组对边平行的四边形叫梯形； 有理数开不尽的方根叫做无理数。有理数开不尽的方根叫做无理数。 （3 3）定义应当简明）定义应当简明 两组对边平行的平面四边形是两组对边平行的平面四边形是平行四边形平行四边形。 （4）定义）定义一般一般不用否定形式不用否定形式 思考：思考：为什么一般不用否定形式？请列举几个用否定形为什么一般不用否定形式？请列举几个用否定形式来定义的概念。式来定义的概念。 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；不能被不能被2整除的整数叫做奇数。整

18、除的整数叫做奇数。 4. 4.原始概念原始概念 按定义规则的基本要求，给某概念下定义时，定义项按定义规则的基本要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定会模糊不清。这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。明确的。 那么同学们思考一下，既然原始概念不通过引入

19、其他那么同学们思考一下，既然原始概念不通过引入其他概念来定义，那么它可以通过哪些方法表示呢？概念来定义，那么它可以通过哪些方法表示呢？ （1）描述法：由事物组成的集体称为集合；）描述法：由事物组成的集体称为集合； （2）直观说明法：用拉紧的细绳和由小孔中射入的光）直观说明法：用拉紧的细绳和由小孔中射入的光线来抽象出直线的概念；线来抽象出直线的概念； （3）指明对象法：）指明对象法：1，2，3叫做自然数。叫做自然数。 四、概念的划分四、概念的划分 概念的划分就是把一个概念的划分就是把一个属概念属概念划分为若干个全异划分为若干个全异种概念种概念，是从是从概念的外延概念的外延方面明确概念的逻辑方法。

20、方面明确概念的逻辑方法。 1.划分的要素划分的要素 一个正确的划分，通常由三个要素构成，即母项、子项、一个正确的划分，通常由三个要素构成，即母项、子项、划分的依据。划分的依据。 母项：被划分的属概念母项：被划分的属概念 子项：划分所得的种概念子项：划分所得的种概念 划分的依据：划分时所依据的标准划分的依据：划分时所依据的标准 想一想：将下面这些三角形分分类，可以怎样分呢？想一想：将下面这些三角形分分类，可以怎样分呢？143625按边分类按边分类不等边不等边三角形三角形等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形锐角三角形锐角三角形直角直角三角形三角形钝角钝角三角形三角形三角形三角形 按角分类按角分

21、类 2. 2. 划分的基本方法划分的基本方法 划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。 （1 1）一次划分一次划分 只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。 适用场合：适用场合： 在划分一次以后已达到划分的目的，不需要在划分一次以后已达到划分的目的，不需要再继续划再继续划 分，这时就用一次划分。分，这时就用一次划分。 （2 2）连续划分连续划分 包括母项和子项三个层次以上的划分，即把一次划分得出包括母项和子项三个层次以上的划分，即把一次划分得出的子项作为母项，继续划分子项，直到满足需要为止的子项作为

22、母项，继续划分子项，直到满足需要为止。 （3 3）二分法）二分法 二分法是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为二分法是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把不具有这个属性的对象作为另一类。一类，把不具有这个属性的对象作为另一类。 换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念。换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念。 例如例如：用二分法对复数划分。用二分法对复数划分。 复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数非纯虚数非纯虚数有理数有理数无理数无理数负无理数负无理数正无理数正无理数非正有理数非正有理数正有理数正有理数正整数正整数正分数正分数零零负有理数负有理数负整数负整数负分数负分数 二分法的

23、适用场合：二分法的适用场合： 不需要了解被划分概念的全部外延性质时不需要了解被划分概念的全部外延性质时;被划分的概念的外延尚未弄清楚时。被划分的概念的外延尚未弄清楚时。 二分法的优缺点：二分法的优缺点： 优点优点： 第一：便于把注意力集中到应该注意的那部分上去；第一：便于把注意力集中到应该注意的那部分上去； 第二：二分法是一种简便易行，不易发生错误的划分方法。第二：二分法是一种简便易行，不易发生错误的划分方法。 缺点缺点： 这种划分方法总有一部分外延不能明确地显示出来。这种划分方法总有一部分外延不能明确地显示出来。 3. 3.划分的基本要求：划分的基本要求： （1 1）划分是相称的）划分是相称

24、的 要求划分所得的，全异的种概念的外延的总和等于被划分要求划分所得的，全异的种概念的外延的总和等于被划分概念的外延；概念的外延； （2 2）每一次划分只能用一个根据）每一次划分只能用一个根据 每次划分不能交叉地使用几个不同的根据，只能用同一个每次划分不能交叉地使用几个不同的根据，只能用同一个根据划分；根据划分； （3 3）划分不能越级）划分不能越级 在每次划分中，被划分的概念与划分出来的概念必须具有在每次划分中，被划分的概念与划分出来的概念必须具有 最邻近的属种关系，不能越级或跳跃式的划分。最邻近的属种关系，不能越级或跳跃式的划分。 五、概念的教学五、概念的教学 1. 1.注重从多角度揭示概念

25、的内涵注重从多角度揭示概念的内涵 在数学教学中，教师应当从多种背景、多重层次、在数学教学中，教师应当从多种背景、多重层次、多个多个侧面、侧面、多维多维结构去揭示概念的内涵，使学生明确概念的本质结构去揭示概念的内涵，使学生明确概念的本质属性。属性。 （1 1）在在多种背景多种背景下揭示概念的内涵下揭示概念的内涵； （2 2）在在多重层次多重层次中揭示概念的内涵中揭示概念的内涵； （3 3）从从不同侧面不同侧面揭示概念的内涵揭示概念的内涵； （4 4）在在不同结构不同结构中揭示概念的内涵中揭示概念的内涵。 （1 1）在多种背景下揭示概念的内涵）在多种背景下揭示概念的内涵 概念的背景：概念的现实背景

26、或现实模型概念的背景：概念的现实背景或现实模型 例：例：“函数函数”概念的认识。概念的认识。 A A、以每小时、以每小时8080千米的速度匀速行驶的汽车，所行驶的路千米的速度匀速行驶的汽车，所行驶的路程和时间之间存在什么关系？程和时间之间存在什么关系？ B B、长方体形状的游泳池，其水的深度与水的容积之间存、长方体形状的游泳池，其水的深度与水的容积之间存在什么关系？在什么关系？ C C、在一天的、在一天的2424小时中，气温与时间之间存在什么关系？小时中，气温与时间之间存在什么关系？ D D、在整数的平方运算中，底数与它的二次幂之间有什么、在整数的平方运算中，底数与它的二次幂之间有什么关系？关

27、系？ 例：例：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东站牌往东3 3和和7.5m7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西牌往西3m3m和和4.8m4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境表示这一情境 （1 1）马路可以用什么几何图形代表？）马路可以用什么几何图形代表？ （2 2）你认为站牌起什么作用？）你认为站牌起什么作用？ （3 3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（直线）（直线）（基准点）（基准点）（方向，与

28、站牌的距离）（方向，与站牌的距离） 图示：图示：“数轴数轴”中的三个图中的三个图三次抽象的过程。三次抽象的过程。 （2 2）在多重层次中揭示概念的内涵）在多重层次中揭示概念的内涵 数学概念具有发展性，这主要由于在不同的结构中对概数学概念具有发展性，这主要由于在不同的结构中对概念的认识是有差异的。念的认识是有差异的。 例：例：在在平面上平面上，平行线平行线是两条不相交的直线；在是两条不相交的直线；在三维空三维空间中间中，异面直线异面直线是两条不相交的直线。是两条不相交的直线。 例：例：“绝对值绝对值”概念。概念。 层次层次1：数的绝对值：数的绝对值|a|指数轴上表示数的点与原点的距离。指数轴上表

29、示数的点与原点的距离。 a，a0； 层次层次2 ：|a| |a| = a，a0。 层次层次3：数的绝对值：数的绝对值|ab|指数轴上表示数的点与数的点的距离。指数轴上表示数的点与数的点的距离。 ab ，ab； 层次层次4： |ab| = b a ， a b 。 层次层次5： aa 2 层次层次6 6：向量的模：向量的模 （即有向线段（即有向线段OZOZ的长度）的长度）r r叫做复数叫做复数z=a+biz=a+bi的模（或绝对值），记作的模（或绝对值），记作|Z|Z|或或|a+bi|a+bi|。 |Z| |Z| = = |a+bi| |a+bi| = = r r = = 。 显然，如果显然，如果

30、b=0b=0，那么，那么z=a+bi=az=a+bi=a，|Z|=|a|Z|=|a|，即，即a a是在是在实数意义上的绝对值。实数意义上的绝对值。oz22ba （3 3）从不同侧面揭示概念的内涵）从不同侧面揭示概念的内涵 例：例：正方形概念正方形概念 A A、对角线、对角线相等相等的的菱形菱形是正方形；是正方形； B B、对角线、对角线互相垂直互相垂直的的矩形矩形是正方形；是正方形； C C、四边相等四边相等，有一个角是直角有一个角是直角的的四边形四边形是正方形；是正方形； D D、一组邻边相等，对角线、一组邻边相等，对角线互相平分互相平分的四边形是正方形；的四边形是正方形； E E、一组邻边相等，对角线、一组邻边相等，对角线互相垂直互相垂直的的平行四边形是正方形；平行四边形是正方形； F F、一组邻边相等且、一组邻边相等且有一个角是直角有一个角是直角的平行四边形是正方形。的平行四边形是正方形。（4 4）在不同结构中揭示概念的内涵）在不同结构中揭示概念的内涵角角距离距离直线方程直线方程点集点集有序