高中数学 第一章 计数原理本章整合优质课件 北师大版选修2-3

1、1本章整合23专题1专题2专题3专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法“两个原理”是两种重要的计数方法,它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据,在排列、组合应用题中,正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.4专题1专题2专题31.树形图法应用1将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,试写出他们四个人所有不同的排法.5专题1专题2专题3由此可写出所有的排法为BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.所以他们四个人共有9种不同的排法.6专题1专题2专题3应用

2、2三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过5次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有()A.6种 B.8种C.10种D.16种提示:充分利用树形图来解决问题.解析:如图,若甲先传给乙,则共有5种方式;同理,甲先传给丙也有5种方式.综上有10种传法.答案:C7专题1专题2专题32.依次排序法利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时,可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后,首先排前面的数字或字母,再依次排后面的数字或字母,将最后的数字或字母排完,则排列结束,这种方法多用于数字问题.8专题1专题2专题3应用3用1,2,3,4四个数字可重复地任意排成三位

3、数,并把这些数由小到大排成一个数列an.(1)写出这个数列的前11项;(2)求这个数列共有多少项;(3)若an=341,求n.解:(1)这个数列的前11项为111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数,每一个位置都有4种排法,根据分步乘法计数原理共有444=64项.(3)比an=341小的数有两类,分别是:9专题1专题2专题3根据两个计数原理,得数列an中比341小的项有N=244+34=44项,所以n=44+1=45.10专题1专题2专题33.转化法一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题

4、,但是在实际生活中常会遇到这样的问题:车辆牌照的号码、电话号码、电报号码等,都是一些重复排列.事实上,解决这些问题借助于“两个原理”非常容易办到.11专题1专题2专题3应用4设集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=a1,a2,a3是S的子集,且a1,a2,a3满足a1a26包含的情况较少,只有a3=9时,a2只能取2,a1只能取1一种情况,应用正难则反思想进行解决.答案:C12专题1专题2专题3应用5用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.(1)如果组成的四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个?(2)如果组成的四位数必须大于6 500,那么这样的四位数

5、有多少个?提示:本题的限制条件是:(1)个位数字必须是偶数.(2)千、百这两个数位上的数受限制,因此,可以采用分步排位来求解.13专题1专题2专题314专题1专题2专题34.穷举法穷举法主要是适用于用排列组合解决时需分类较多的情况,或用排列组合无从下手解决,或选择支中数目较小,或计数方法有规律可遵循的题目.针对上述题目,与其花大量时间去思考怎么用排列组合知识进行解决,不如用“最笨”的方法一一列举法进行解决.此法看似笨拙,有时则省时、省力.15专题1专题2专题3应用6如图所示,将16这六个数字分别填到图中字母的位置,使三角形每条边上的三个数之和相等,则共有()种填写方法.A.24 B.21 C.

6、18D.12解析:由题意可得位置A,B,C,D,E,F上的数字满足A+B+D=A+C+F=D+E+F,由题意得(A+B+D)+(A+C+F)+(D+E+F)=A+B+C+D+E+F+(A+D+F)一定能被3整除,而A+B+C+D+E+F的值为1+2+3+4+5+6=21,能被3整除,故A+D+F也一定能被3整除.由此可得A,D,F的值可能分别为1,2,3,或1,2,6,或1,3,5,或1,5,6,或2,3,4,或2,4,6,或3,4,5,或4,5,6.16专题1专题2专题317专题1专题2专题3专题二排列组合的解题方法1.直接法(元素、位置优先考虑法)(1)特殊元素分析法:即以元素为主考虑,先

7、满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)特殊位置分析法:即以位置为主考虑,先安排有特殊要求的位置,再考虑其他位置.应用150件产品中有3件是次品,从中任意取4件.(1)至少有1件次品的抽法有多少种?(2)至多有两件次品的抽法有多少种?18专题1专题2专题319专题1专题2专题32.插空法不相邻问题常用插空法:我们可以根据题目的具体特点,先排某些元素,再将余下的元素进行插空,这样处理有关的排列组合问题,往往能收到良好的解题效果.应用2马路上有9盏路灯,为了节约用电,可以关掉其中的三盏路灯,要求关掉的路灯不能相邻,且不在马路的两头,那么不同的关灯方案共有多少种?解:本题可以看成被关掉的路灯夹在6

8、盏亮着的灯的空当里.6盏亮着的灯排在一起,中间有5个空当,从5个空当中选出某3个,插进去三盏关掉的路灯,因此,不同的关灯方案20专题1专题2专题33.捆绑法对于几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个元素,与其他元素排列,然后再考虑它们“内部”的排列,这种解决排列问题的方法称为“捆绑法”.应用3用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个?提示:本题中一个奇数夹在两个偶数之间可以捆绑在一起看作一个元素,体现了捆绑法的应用.21专题1专题2专题322专题1专题2专题34.间接法间接法是求解排列组合问题的常用方法

9、.带有限制条件的排列组合问题,常用“元素分析法”和“位置分析法”,当直接考虑对象较为复杂时,可用逆向思维,使用间接法(排除法),即先不考虑约束条件,求出所有排列、组合总数,然后减去不符合条件的排列、组合种数.应用4从12人中选出5人去参加一项活动,按下列要求,有多少种不同选法?(1)A,B,C三人至少一人入选;(2)A,B,C三人至多二人入选.提示:解决排列组合题目时,从正面入手,情况较复杂,不易解决时,可以从问题的反面入手,往往能收到意想不到的效果.23专题1专题2专题324专题1专题2专题325专题1专题2专题35.隔板法这类问题的特征是:(1)被分的元素没有区别;(2)被分的元素的个数不

10、少于分得的组数;(3)每个小组至少分得一个元素.具备这些条26专题1专题2专题3应用5某地区有9所学校,现有先进教师名额11个,要求每所学校至少有一个名额,共有多少种不同的分配方法?提示:本题符合隔板法的特点.解:因为名额没有区别,因此,可以在11个名额所产生的10个空隙27专题1专题2专题328专题1专题2专题329专题1专题2专题32.赋值法应用2已知(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a11x11,则a1+a2+a11=.提示:求展开式中各项系数的和的一个有效办法就是赋值法.赋予变量的值往往是0,1,-1等.解析:欲求a1+a2+a11,需先求a0,再求a0+a1+a11,应用赋值法求解.令x=0,得a0=(1+0)6(1-0)5=1,再令x=1,得a0+a1+a11=(1+1)6(1-2)5=-26,所以a1+a2+a11=-26-1=-65.答案:-6530专题1专题2专题3311234567891(2016全国甲高考)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12 D.9解析：由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B.答案：B32123