6.1向量及其线性运算ppt课件

1、*(共31张)1高等数学下册）高等数学下册）主讲：陈银辉 留意 ：l1. 课堂必须保持安静，有问题请 举手 。l2 .上课严禁玩手机，睡觉。l3.课堂练习必须认真对待 。l4.课后作业必须认真独立完成，严禁抄袭；l作业书写须工整，不得把作业本当草稿本。l5.上课有意见直接向老师提，不得私下发牢骚扰乱课堂。*(共31张)2考试 ：总成绩=平常 0.3+期末0.7 l平时满分30，根据作业完成情况和课堂表现给分。基点为20分，迟到5分钟以上一次 扣一分，点名一次不到扣2分，抄作业一次扣1分。作业得A一次加1分，课堂回答问题正确一次加1分，加到30分为止。*(共

2、31张)3第六章空间解析几何与向量代数 这一章，我们为学习多元函数微积分学作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的推广。向量代数则是研究空间解析几何的有力工具。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时也是一种很重要的数学工具。*(共31张)6数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面坐标坐标, , 方程组）方程组） 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 本章先引入空间直角坐

3、标系，把点和有序数组、空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间基本图类平面，直线，常用的曲面和曲线。重点向量及其坐标表示向量的数量积，向量积直线与平面方程难点空间图形的想象能力和描绘能力基本要求弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的 间隔掌握向量概念，会用坐标表示向量掌握向量代数的基本知识熟记两向量平行、垂直，三向量共面的条件 并能正确运用。掌握平面方程的各种形式，会求平面方程， 会判断两平面是否平行、垂直，会求两平 面的夹角及点到平面的距离掌握直线方程的各种形

4、式，会求直线方程， 掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面 平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和 平面的夹角掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面 和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法画出其简图*(共31张)10四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 *(共31张)11.a或表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,21MM记作向量向量:(又称矢量又称矢量)

5、. 1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量称为向量又有方向的量称为向量自由向量自由向量: 与起点无关的向量与起点无关的向量.单位向量单位向量: 模为模为 1 的向量的向量.零向量零向量: 模为模为 0 的向量的向量,0.0记作 ， 或有向线段有向线段 M1 M2 ,或或 a ,a或.a或一、向量的概念一、向量的概念*(共31张)12规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab ;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行

6、, ab ;与与 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的负向量的负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量共线两向量共线 .假设假设 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此则称此 k 个向量共面个向量共面 .记作记作a ;*(共31张)131. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律 : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .babbacba )()

7、(cbacbaacba cb)(cbacba )(aaba ba bb二、向量的线性运算二、向量的线性运算*(共31张)14s3a4a5a2a1a54321aaaaas*(共31张)152. 向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa)( aababaabababa0baba*(共31张)16aa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数 ,.a规定规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见可见;1aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, 记作记作，反向与aa总之总之:运算律运算律 : 结合律结合律)(a)(a

8、a分配律分配律a)(aa)(baba, 0a若ae 则有单位向量.1aa因此因此aaa e*(共31张)17定理定理1. 设设 a 为非零向量为非零向量 , 那那么么( 为唯一实为唯一实数数)证证: “ ”., 取取 且且再证数再证数 的唯一性的唯一性 .那那么么,0故.即abab设设 abba取正号取正号, 反向时取负号反向时取负号, a , b 同向时同向时那么那么 b 与与 a 同同向向,设又有设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而*(共31张)18“ ”那么,0 时当例例1. 设设 M 为为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB ,bD

9、AACMC2MA2BDMD2MB2知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD*(共31张)19xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点过空间一定点 o ,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系*(共31张)20

10、 xyzo向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , P, Q , R ;R ;坐标面上的点坐标面上的点 A , B , A , B , C C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的坐标的坐标)原点原点 O(0,0,0) ;O(0,0,0) ;rrM*(共31张)21坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo*(共31张)22

11、2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M , ),(zyxM那那么么沿三个坐标轴方向的分向量沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的坐标分解式的坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC*(共31张)23设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那那么么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,

12、0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:，为实数四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算*(共31张)24例例2. 已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M , 使使解解: 设设 M 的坐标的坐标为为, ),(zyx如下图如下图ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数及实数, 1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(*(共31张)25阐明阐明: 由由得定比分点公式得定比分点公式

13、:,121xx,121yy121zz,1时当点点 M 为为 AB 的中点的中点 , 于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:*(共31张)261. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点对两点与与, ),(222zyxB, rOM作O

14、Mr OROQOPBABAOAOBBA五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影*(共31张)27例例3. 求证以求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即即321MMM为等腰三角形为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 . 为顶点为顶点*(共31张)28例例4. 在在 z 轴上求与两轴上求与两点点)7, 1 ,4(A等距等距解解: 设该点为设该点为, ),

15、0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故所求点为故所求点为及及)2,5,3(B. ),0,0(914M思索思索: (1) 如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A , B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程 ?离的点离的点 . *(共31张)29提示提示:(1) 设动点为设动点为, )0,(yxM利用利用,BMAM得得,028814 yx(2) 设动点为设动点为, ),(zyxM利用利用,BMAM得得014947zyx且且0z*(共31张)30oyz

16、x2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 ,ba任取空间一点任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称称 =AOB (0 ) 为向量为向量 ba,的夹角的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向角的余弦称为其方向余弦. 记作记作),(ba*(共31张)31oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的

17、性质方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrer)cos,cos,(cos*(共31张)32例例5. 已知两点已知两点)2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM*(共31张)33例例6. 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 知知角依次为角依次为,43求点求点 A 的坐标的坐标 . ,43那么那么222coscos1cos41因点因点 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,cos2

18、1于是于是(6,21,22)21)3,23,3(故点故点 A 的坐标为的坐标为 . )3,23,3(向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 ,6AO且OAO AOAe *(共31张)34空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影*(共31张)35空间向量在轴上的投影空间向量在轴上的投影u MMOra aP Pr rj ja aa a, ,P Pr rj ja aa a, ,P Pr rj ja ay yz z中中的的坐坐标标满满足足向向量量a a在在直直角角坐坐标标O Ox xz zz zy yy yx xx x*(共31张)36空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB *(共31张)37ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的投影性质关于向量的投影性质1 1）ABjuPr cos| AB uABA B B u *(共31张)38关于向量的投影性质关于向量的投影性质2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该