初二上册数学直升班培优讲义教师版补充资料分式(教师版)

1、分式专题15.1 分式 3知识框架 3一、基础知识点 3知识点 1 分式的概念 3知识点 2 分式的判定 4知识点 3 分式的基本性质 6知识点 4 分式的约分与通分 8二、典型题型 11题型 1 分式有意义的条件 11题型 2 分式值为 0 的条件 12题型 3 分式值取正或负的判定 12题型 4 利用分式的基本性质、改变分子、分母的系数 13三、培优题型 15题型 1 分式的条件求值 1515.2 分式的运算 18知识框架 18一、基础知识点 18知识点 1 分式的乘除法法则 18知识点 2 分式的加减法则 20知识点 3 两式大小比较 21知识点 4 幂的运算的扩大 23知识点 5 科学

2、记数法的扩大 25二、典型题型 27题型 1 分式的混合运算 27题型 2 分式的求值 29题型 3 分式运算的简单方法 31题型 4 根据幂的运算性质化简求值 33三、培优题型 35题型 1 分式的运算技巧 -裂项法 35题型 2 含有几个相等分式问题的解法 36题型 3 整式指数幂 3715.3 分式方程 40知识框架 40一、基础知识点 40知识点 1 分式方程 40知识点 2 解分式方程需验根 42知识点 3 换元法解分式方程 44知识点 4 十字相乘法 45二、典型题型 47题型 1 列分式方程解应用题 47题型 2 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围 50三、培优题型 52

3、题型 1 增根的讨论 52题型 2 列分式解应用题（复杂） 5215知识框架15.1 分式2，不是分式。一、基础知识点知识点 1 分式的概念分式： A、 B 表示两个整式，且分母 B 中含有字母， 叫作分式。注： 分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。整式 B 作为分母，则整式 B0只要最终能转化为 形式即可。如：2 B 中若无字母，则变成系数乘A，为整式例 1. 下列有理式是分数的有： ， ， ， x+ ， ， 【答案】 的形式，且分母中含有字母的式子叫作分式 中，分母无字母，不是分式 中，分母无字母，不是分式 中，分母中有字母，是分式 可转化为 ，分母中有

4、字母，是分式 中，分母中有字母，是分式 中，虽然分母中有字母，但是分母中的字母和分子中的字母约掉了，化简为例 2. 下列式子是分式的是（）A. B. C. +y D.【答案】分式是分母中有字母的式子答案为： B知识点 2 分式的判定1）分式 有意义的条件：分母不为 0，即 B 02）分式的值为 0 的条件：分子为 0，且分母不为 0，即 A=0 且 B 03）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>04）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0例 1. 如果分式有意义，求 x 的取值范围。【答案】要使分式有意义，则分母不为0，即：x+30解得： x 3例 2. 若分式的值

5、为 0，求 x 的值。答案】要使分式有值为 0，则分母不为 0，且分子为 0，即：解得：综上得： x=1例 3. 若分式，求 x 的取值范围。答案】分式 =0 或分式当分式 =0是，即 ，解得： x=0当分式 时，即 x（x+1）0，解得 :x1或 x0综上得： x 1 或 x 0例 4. 当 x 取何值时，分式取正值；何时取负值。【答案】（ 1）分式取正值，即分子分母乘积为正（2x1）（1x） 0解得：（ 2）分式取负值，即分子分母乘积为正（2x1）（1x） 0解得：或 x 1例 5. 若代数式 的值等于 0，求 x 的取值范围。【答案】代数式 的值等于 0分式分子为 0，分母不为你 0 ，

6、即解得：综上得： x=2例 6. 已知当 x=2 时，分式无意义，则 a 的值为：【答案】分式 无意义当 x=2 时，分式分母为 0即：将 x=2 代入得：解得： a=6例 7. 要使式子有意义，求 m 的取值范围。【答案】分式 有意义分母不为 0，即：m10，求得： m 1例 8. 当 x 为何值时，分式答案】分式分式分子与分母乘积小于0，即；（x2）（2x+3）0解得：a， b 的值。例 9.对于分式，已知当 x=1 时，分式的值为 0 ；当 x=-2 时，分式无意义，试求答案】当 x=1 时，分式的值为 0当 x=1 时，分式分子为 0，即：1+a+b=0当 x=2 时，分式无意义当 x

7、=2 是，分式分母为 0，即；a2b+3×（ 2） =0联立 2 个方程，可解得：知识点 3 分式的基本性质1）分数的性质（特点）如下： 分母不能为零 分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变 分数的通分与约分（短除法）2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点） 分式分母也不能为零 分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：，其中： A、B、C 为整式， B 0， C 0 分式的通分与约分在知识点 4 中详细讲解例 1. 下列各个等式变形正确的有： 【答案】中，隐含条件 C0，分式左右两边同时除 C，等式不变，正确 中，分式两边同乘 C，必须要求 C0

8、时，分式左右两边才不变，错误 中，隐含条件 C0，分式两边同乘 C，分式左右两边才不变，正确 中，分式两边同除 C，必须要求 C0 时，分式左右两边才不变，错误例 2.把分式中的 x，y都扩大 3 倍，那么分式的值是（）A扩大 3 倍B. 缩小 3倍 C. 不变D. 缩小到原来的答案】分式中的 x，y 都扩大 3倍原式变为：=所以分式值不变，选 C例 3.在; ;这几个等式中，从左到右变形正确的有哪些？ 【答案】中，分式两边同乘 a，只有当 a0 时，等式才成立，所以错误。 中，分式有隐含条件 b0（分母不为 0），分式两边同乘 b，等式成立，所以正确 中，分式两边同乘 c，只有当 c0 时，

9、等式才成立，所以错误。 中，分式两边同乘 ，而 ，等式成立，所以正确。 综上，正确的有：知识点 4 分式的约分与通分1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）注： 有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。2）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不 改变分式的值。步骤：通过短除法，求出分式分母的最小公倍数； 分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数 分子对应扩大相同倍数3）最大公约数与最小公倍数的求法（短除法）例：求 与 3 的最大公约数与最小公倍数。最大公约数 =3 3最小公倍数 =3例 1.

10、通分：答案】分式 的分母为： ，可因式分解为： 分式 的分母为： ，可因式分解为：分式 的分母为： ，可因式分解为：利用短除法，则三个分母的最小公倍数为：例 2. 约分：答案】原式=例 3. 通分：答案】 3 个分式的分母分别为：2b， 和 4ab最小公倍数为： 1 b例 4. 约分：（ 1）2）答案】1）原式 =2 ）原式 =、典型题型题型 1 分式有意义的条件B0 的不等解题技巧： 分式 有意义的条件：分母不为 0，即 B 0。因此，解此类题型，我们只需要列写 式，并求解出取值范围即可。例 1. 当 x 为何值时，下列分式有意义？1)2)；3)答案】分式要有意义，则分母不为 0 即可1)

11、3x+20解得： x 2 )0解得： x ± 63)解得： x 1 且 x 34)因为所以所有 x 都满足分式有意义条件例 2.已知 x=1, 时，分式无意义； x=4 时，分式的值为 0，求 a+b 的值。【答案】当 x=1 时，分式 无意义所以当 x=1 时，分式分母为 0，即：x a=0，代入 1得： 1a=0解得： a=1当 x=4 时，分式值为 0所以当 x=4 时，分子为 0，即：x+2b=0 ，代入 x=4 得： 4+2b=0解得： b= 2所以 a+b=1+ （ 2）= 1题型 2 分式值为 0 的条件 解题技巧： 分式 值为 0 的条件：分母不为 0，且分子为 0，

12、即 B 0，且 A=0 。因此，解此类题型，我们往 往先求解 A=0 的条件，在判断 A=0 的条件下，是否满足 B 0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个 解舍去。例 1.若分式 的值为 0 ，求 x 的值。【答案】分式值为 0，则分子为 0，且分母不为 0，即：解得： x=2例 2. 分式 的值为0 时，求 x 的值 .答案】分式值为0，则分子为 0 ，且分母不为 0 ，即：解得： x= 2例 3. 下列各式中，可能取值为零的是（）A. B.C.D.答案】要使分式值为零，则必须取值分子为0，且分母不为 0A、D 中分子始终大于 0，不成立B 中， ，解得： m=1.因此当 m=1 时，

13、分式值为 0，B 正确C 中，分子 m+1=0 ，则 m= 1.但是当 m= 1 时，分母为 0，不成立， D 错误 答案为 B题型 3 分式值取正或负的判定解题技巧： 分式 值为正（负）的条件：分母不为0，且分子与分母的乘积为正（因为 AB 大于或小于 0，则 AB 不可能为 0，则 B 不为 0）。因此，解此类题型， 况。然后在列写 AB>0（AB <0）的不等式并求解出取值范围即可。例 1. 要使分式的值为负，求 x 的取值范围。【答案】要使分式 的值为负则分子与分母的乘积为负，即；1解得： x> 3） ，即 AB >0（ AB<0）先求解出 B 不等于 0

14、 的情例 2.已知 y=，x 取哪些值时：（1）y的值是正数？（2）y 的值是负数？【答案】（1）分式值要想是正值则分子分母乘积为正，即：（x1）（23x）> 0解得：（2）分式值要想是负数 则分子分母乘积为负，即：（x1）（23x）<0解得： x< 或 x> 1（ 3）分式值要想是 0则分式分子为 0，分母不为 0，即；解得： x=1（4）分式值要想无意义则分母为 0，即23x=03） y 的值是 0？分式无意义？解得： x=题型 4 利用分式的基本性质、改变分子、分母的系数解题技巧：（1）此类题型，常要求讲分子和分母都变为整数。因此，解决这类问题，我们通常把分子、分

15、母各项系数同乘一个非零常数，使各项系数变为整数。2）还有些题型，要求处理分子分母之间正负号的关系，我们有：即：分式分子、分母、分式 3 个符号中，同时改变其中 2个符号，分式值不变。例 1. 把分式的分子与分母中最高次项系数化为正数，并按降幂排列。答案】原式例 2.若分式 中的 x，y 都扩大 2 倍，则分式如何变化？【答案】 x，y 都扩大 2倍，则分式变为：=所以，分式与原来相比，扩大 2 倍。三、难点题型题型 1 分式的条件求值 解题技巧： 分式的求值，一般有两种形式：（1）对于直接给出字母取值的，可先化简，再代入求值：将分式通过约分、通分等方式，化简为最简分 式，再代入字母的值计算。2

16、）对于未直接给出字母取值，而是告知某个算式的值时：我们往往用整体代入的思想，将分式边形成告知的条件形式或变形形式，整体代入求值。例 1.已知 a= +1， b= -1，求分式的值。将 a= +1 ，b= -1 代入得：例 2.已知 =4， = ，且 xy<0 ，求 的值。【答案】 xy < 0， =4 ， =情况一： x=4 ，y=情况二： x= 4，y=在情况一中，在情况二中，=8综上得：例 3. 已知 x = ，求分式 + 的值。【答案】 x = = = + = + =例 4. 已知，则代数式 的值。答案】 2b+a=2ab 3=6ab 原式 =将 2b+a=6ab 代入得：原

17、式 =例 5.已知三个数 x，y，z 满足 =-2， ，求 的值。答案】 =-2， x+y= ，y+z= ， z+x=将 x+y= ， y+z= ，z+x=代入上式得：17原式 =415.2 分式的运算知识框架、基础知识点知识点 1 分式的乘除法法则分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。=4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号 外的。注： 上述所有

18、计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式练：例 1. 计算：【答案】原式 =例 2. 化简：答案】原式例 3. 化简：答案】原式=例 4. 判断下列运算是否正确：（ 1） a b =a（2）ab a b=1（ 3） a=【答案】（1）错误，乘除运算，应该从左往右运算，正确结果如下：a b =a（2）错误，乘除运算应从左往右运算，正确结果如下：a b ab= ab ab=b b=（3）错误，乘除运算，应从左往右运算，正确结果如下：a知识点 2 分式的加减法则 同理，分式的加减与分数加减法的法则类似：191）同分母分式：分母不变，分子相加减2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再

19、加减注： 计算结果中，分子、分母若能约分，要约分 运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算 加减运算。例 1. 计算：1）答案】（1）原式 =2）=12）原式 =例 2. 计算：答案】原式知识点 3 两式大小比较比较两式的大小有三种常见的方法：（前提条件： A 、 B 为正）3）特值法：当题目为选择题或填空题时，因为两式的大小关系式确定的，可以用符合条件的特值代入，求 解出两式的值再进行比较。例 1.设 x>1 ，用两种方法比较与 的大小。【答案】方法一：作差法= x> 1 分母分子为 2< 0结果为负数方法二：作商法x>1

20、，= < 121例 2.设 a>1 比较 M=a ，N= ，P= 的大小关系。MN=a#>0M>NNP=N<PMP=aM>PN 的大小。：综上得： M> P> N例 3.已知 a，b 为实数，且 ab=1，设 M= + ，N= + ，比较 M ，MN+ab=1M=N知识点 4 幂的运算的扩大1）前面已学习： ，（m， n 是正整数） ，（m，n 是正整数） ，（ m 是正整数） ，（ a 0， m、 n 是正整数， m>n ） ，（ n 是正整数）若按照运算，当 m<n 时。如：根据指数幂的定义2）针对这种现象，我们规定，当 n 为正

21、整数时，（a 0）注： 无意义3）幂的运算性质扩大当 a 0 时，（ m，n 是整数）（公式 1、 4 的扩展），（ m， n 是整数）（公式 2 的扩展） ，（m是正整数）（公式 3 与公式 5的扩展）4）利用负指数化除为乘，设 m，n 为正整数， a 0， 根据定义还可转化为乘法：例 1. 若有意义，求 x 的取值范围。【答案】 是没有意义的要使原式有意义则：解得： x 3 且 x 2例 2.当常数 k 为何值时，函数 y=（ k+1）+x+1 为一次函数？【答案】情况一：当 k+1=0 ，即 k=1 时函数变为： y=x+1 ，是一次函数情况二：k+10，即 k1 时函数要想是一次函数，

22、则=1 ，即 k=± 2函数变为： y= （ k+1） x+x+1= （ k+2 ）x+1要使函数为一次函数，则 x 前面的系数不为 0，即： k+2 0，解得 k 2 即 k=2综上得：k= 1 或 k=223例 3. 计算：知识点 5 科学记数法的扩大1）前面学习科学记数法表示比 10 大的数。 a×，其中，引入（a 0）后，科学记数法也可表示较小的数：； 。因此，一个数乘 相当于把这个数缩小 10n 倍。故我们可以用 a×的形式表示比较小的数般，一个小于1 的数可以表示为a×的形式，其中3）步骤：确定 a 值的大小。 ；确定 n 的值。原数变为 a

23、 后，小数点向前移动 x 位，则原数相应扩大了 10x 倍。故 n=-x 例 1. 用科学记数法表示下列各数：（1）0.000203； （ 2）-0.00125 【答案】（1）0.000203=2.03×（2）-0.00125=1.25×例 2.0.00016489 用科学记数法表示为（保留两位有效数字）【答案】 0.00016489 1.6×25、典型题型294)题型 1 分式的混合运算解题技巧： 与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的， 并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1 的

24、分式，以免通分漏项。例 1. 化简：1)2)3)答案】1)原式 =12）原式 =3x+13)原式 =04) 原式 =例 2. 先化简，再求值：1）（，其中 m=9）÷ ，其中 a= 3.2）（3 ）（ ，其中 m= 答案】1）原式 = （将 m=9 代入得：2）原式 = （将 a= 3 代入得：3）原式 = （=2（3+m）将 m= 代入得： 2（ 3 ）=5题型 2 分式的求值常见的题型有两种：（1）先化简，再求值。先将分式化简为整式或最简分式，再代入字母的值计算；2）对于末给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值。例 1.先化简，再求值： ，其中

25、a=2016 。答案】原式 = +3将 a=2016 代入得：2016+3=2019=例 2. 先化简，再求值：其中 x= 。将 x= 代入得： =例 3. 已知 x-3y=0 ，求的值。答案】原式 = x 3y=0 x=3y代入得：=例 4. 已知：A=，B=，且 1<x<2 ，求 A1 的值。答案】 1<x<2A=，B= =A131=2例 5.已知 + = （a b），求的值。答案】 +题型 3 分式运算的简单方法解题技巧： 分式的计算与分数的计算类似，也存在一些简便算法。1）巧用运算律： （乘法的分配律）例：先化简，再求值： （1） ，其中 x=2.答案】原式 =

26、（ 1）=1=将 x=2 代入得： =22）活用提公因式： 适当提取公因式， 所提公因式待加减完成后再参与运算， 这样做改变了运算的先后顺序， 减小了低级运算（加减）量，增加了高级运算（乘除）量，提高了解题效率。例： 计算：答案】原式 =3）分组求和：多个分式求和时，若一次性通分较难，且有部分分式同分母或公分母形式简洁，则可先将这 些分式分组求和，再将各组之间和相加。例： 计算：例 1. 计算：例 2. 化简：33答案】原式 =#例 4. 计算： +答案】原式例 5.已知 a+b+c=0 ，求 a（）+ b（）+ c（ ）的值。答案】原式 = + a+b+c=0 b+c= a，a+c= b，

27、a+b= c代入得：= 3题型 4 根据幂的运算性质化简求值解题技巧： 若 ，且 a0，则 m=n；反之，若 a 0，且 m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。例 1.已知=2 ， =5 ，求答案】=400例 2.已知 a= ，b=， c=，比较 a，b，c 的大小【答案】 a=b=c 中， 3< 0 ， c< 0 综上得： b> a> c37三、难点题型题型 1 分式的运算技巧 -裂项法解题技巧： 裂项相消法：例 1： 化简：答案】原式=例 2： 已知，求 A.B 的值答案】由例 3： 化简： 答案】原式题型 2 含有几个相等分式问题的解法解题技巧： 有一类化简求

28、值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题。 解决此类问题常将这个相等的比用一个字母 k 表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决。在求出值后， 要注意验证，看是否与已知条件矛盾。例 1. 已知 ，且1，求 x+y+z 的值答案】化简 则： x+y=kz ； x+z=ky ； y+z=kx 三式相加得： 2（x+y+z ） =k（ x+y+z ）则 k=2 或 x+y+z=0情况一： x+y+z=0 ，情况二：当 k=2 时，成立，不成立综上得： x+y+z=0例 2. 已知 ，求值：答案】设 k，则 x=2k， y=7k，z=5k， 例 3. 已知 ，求 的值答案

29、】设 2）原式 = 1+×于是41例 4. 若 ，求 的值答案】设 k 则 d ak， c=dk=a ， b=ck=a ， a=a所以 1，得 k=± 1当 k=1 时， a=b=c=d ，原式 0；当 k=1 时， a=b=c=d，原式 2.题型 3 整式指数幂解题技巧： 一般，当 n 是正整数时，（a0），也就是说是 的倒数。引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。例 1计算下列各题：（1）（2）（3）【答案】（ 1）原式 =1+16103）原式 =÷400× 40000例 2.已知求（ 1） a（2） （ 3） 【答案】（ 1 ）因为，

30、且 a 0所以a 3（ 2） 27.（ 3） 2=47.知识框架15.3 分式方程、基础知识点知识点 1 分式方程 1）分式方程；分母中含有未知数的方程2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的 技巧求解方程。式两边同乘一个数，等式依然成立90（30-v） =60（30+v）转化为整式方程v=6例 1. 下列关于 x 的方程中，不是分式方程的是：A. +1=2a【答案】分式方程：分母中含有未知数的方程 A、B、C 正确，分母中有未知数 x D 中，分母没有未知数 x ，不是分式方程 答案为： D例 2. 解分式方程：4) 3)6)01答案】2

31、x=3 （x3）2x=3x 9x=92x+2=3xx=23） 002（ x+1） x=0x=24） x1=2x=3452x4（x1）=31x=6）11x（ x+2） 1=x=知识点 2 解分式方程需验根1）例：去分母3（x-1 ）+6x=x+5解整式方程 8x=8 x=1分式中，分母不能为 0.将 x=1 代入原方程中，的分母为 0. x=1 不是分式方程的解。此方程无解。这种情况，我们称 x=1 为增根 7将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根。最简公分母： 分子、分母约去公因式后的分母的最小公倍数如： ，因

32、 x 可约去，故若化为整式方程解得x=0 ，则为分式方程的解； 2）分式方程解方程的步骤： 利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 解整式方程 验根 -检验整式方程解得的根是否符合分式方程 作答例 1. 解方程：【答案】105=4x2x=验证：当 x= 时，分母不为 0方程的解为： x=答案】例 2. 解方程： 8x=16x=2验证：当 x= 2 时，分母 x+2=0, 因此 x=2 时分式方程的增根 综上得：该分式方程无解例 3. 解方程：答案】x（2x） x（ 3+x）=x=12验证：当 x=12 时，分式的分母不为 0分式方程的解为： x=12知识点 3 换元法解分式方程 1）换

33、元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程：另（ xy） =u，则原方程转换为：方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注： 当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为 某个字母，而是直接整体求解。例 1.答案】另则方程变形为：u+8=5u解得： u=2x=2x+2解得： x= 2验证：当 x=2 时，分式分母不为 0分式的解为： x= 2例 2. 已知，求 3 的值。【答案】另 =u则 u+u+u=1#知识点 4 十字相乘法511）例：去分母：化简得： 2（x2）=（x+2 ）发现：分

34、式可通过式子相乘法来化简为整式。2）十字相乘法：若 ，则 cb=ab等式两边为分式时，可用十字相乘法将分式转换为整式注： 等式两边都仅有一个分式，而非分式相加的形式整式 A 可转化为 的形式，方便使用十字相乘法例 1. 解方程：答案】2（x3） =3（2x+1）2x 6=6x+2x=2验证： x= 2 时，分式的分母不为 0x=2 时分式方程的解例 2. 解方程：+1=答案】（）（x+1 ）=（）（x1）x（x4）（x+1 ）=（x+1）（x1）（x1） 2x=1x=验证：当 x= ，分式方程的分母不为 0 x= 是分式方程的解二、典型题型题型 1 列分式方程解应用题解题技巧： 工程问题，常设

35、工程总量为单位“ 1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。一、工程问题例 1. 某工厂计划在规定时间内生产 24000 个零件，若每天比原计划多生产 30 个零件，则在规定时间内可多 生产 300 个零件。（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数。（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5 台机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每个机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个工人原计划每天生产的零件总 数还多 20%，按此推测，恰好提前两天完成24000 个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数。【答案】（1）设原计划

36、每天生产 x 个零件，则原计划用 天根据题意，等量关系式为：每天多生产的零件数×计划天数=多生产的零件数则方程为：解得： x=2400则原计划每天生产 2400 个零件，规定天数为：天答：原计划每天生产 2400 个零件，规定天数为 10 天。（ 2）设原计划安排的工人人数为 y 人，则一个工人一天生产的零件数为： ，机器人每天生产的零件数 为：根据题意， 等量关系式为： （工人每天生产的零件总数 +5 个机器人每天生产零件总数） ×生产天数 =24000则方程为： 2400+ 解得： y=480答：原计划安排 480 名工人。例 2. 甲、乙承包一项任务，若甲、乙合作 5

37、 天能完成，若单独做，甲比乙少用 4 天，设甲单独做 x 天能完 成此项任务，如何列写等式方程？答案】则甲的工作效率率为 ，乙单独做需要（ x+4 ）天，乙的工作效率为：根据题意，等量关系式为： （甲的工作效率 +乙的工作效率）× 5=1则方程为：（ ）× 5=1、行程问题解题技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题相遇问题：（甲速度 + 乙速度）×时间 =总路程追击问题：（快慢）×时间 =距离例 1.甲、乙两人骑自行车从相距 s千米的两地同时出发，若同向而行，经过a 小时甲追上乙；若相向而行，经过 b 小时两人相遇。设甲速为千米/小时，乙为 千米

38、/小时，求 。【答案】依据题意，同向而行，等量关系式为：路程S+乙行驶的路程 =甲行驶的路程相向而行，等量关系式为：路程 S=甲行驶的路程 +乙行驶的路程化简可求得：例 2. A 、B 两地相距 180km,新修的高速公路开通后，在 A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h，若设原来的平均车速为 xkm/h ，求原来的平均速度。【答案】则提速后的速度为（ 1+50% ）x依据题意，等量关系式为：提速前时间提速后时间 =1则方程为：解得： x=60答：原来的平均速度为 60km/h三、销售问题解题技巧：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润 =售

39、价进价利润率 =例 1.某商店销售一批服装，每件售价 150 元，可获利 25% ，求这种服装的成本价，设这种服装的成本为x元，求成本是多少？答案】依据题意，等量关系式为：解得： x=2053则等量关系式为：解得： x=120 答：成本为 120 元。例 2. 某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2 倍，购买 240 元甲商品的数量比购买 300元乙商品的数量多 15 件，求两种商品的单价分别是多少元？【答案】设甲产品的单价为 x 元，则乙产品的单价为 2x 元 依据题意，等量关系式为：购买甲商品的数量=购买乙商品的数量 +15则方程为：解得： x=6则甲的单价为： 6 元，乙

40、的单价为 6× 2=12 元答：甲的单价为 6 元，乙的单价为 12 元。四、方案问题解题技巧： 方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选 出最优方案。例 1.学校计划选购甲、乙两种图书作为奖品。已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10 本。（1）甲、乙两种图书的单价分别是多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共 40 本，且投入经费不超过 1050 元，要使购买甲种图书数量不少于乙种 图书数量，则共有几种购买方案？【答案】（1）设乙的单价为 x 元，则甲的单价为 1.5x 元依据题意，

41、等量关系式为：购买甲的数量+10=购买乙的数量则方程为：则乙的单价为： 20元，甲的单价为 1.5×20=30 元 答：甲的单价为 30 元，乙的单价为 20 元。（2）设甲购买数量为 y 本，则乙购买的数量为（ 40y）本依据题意，等量关系式为：甲的费用 +乙的费用 1050则方程为： 30y+20 （ 40y ） 1050 要使甲的数量不少于乙，则 y（ 40 y）解得： 20 y25所以甲、乙购买的方案有： （1） 20、20；（2）21、19；（3）22、18；（4）23、17；（ 5）24、16；（6）25、 15 共 6 种方案。例 2.为了创建全国卫生城市，某社区要清理

42、一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12 趟可完成，需支付运费 4800 元。已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的 2 倍，且乙车每趟 运费比甲车少 200 元。（1）求甲、乙两车单独运完此垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？【答案】（1）设甲单独需要 x 趟完成，则甲的效率为 ，乙需要 2x 趟完成，则乙的效率为依据题意，等量关系式为： （甲的效率 +乙的效率）×趟数 =1则方程为： （）解得： x=18则甲需要 18 趟，乙需要 18× 2=36 趟（2）设甲每趟的费用为 y 元，则乙每趟的费用为（ y200）元依据题

43、意，等量关系式为： （甲每趟的费用 +乙每趟的费用）× 12=总费用则方程为： y+ （y200）解得： y=300则甲每趟的费用为 300 元，乙每趟的费用为 300 200=100 元则甲单独做的费用为： 300× 18=5400 元乙单独做的费用为： 100× 36=3600 元 所以租乙车合算题型 2 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围 解题技巧： （1）方程无解，即方程的根为增根；0，求解出字母取值范围；0，求解出字母取值范围（ 2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根>（ 3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个