工程力学-材料力学_第一章

1、第一章第一章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 1 11 1 工程实际中的轴向拉伸和压缩问题工程实际中的轴向拉伸和压缩问题在工程实际中，有很多轴向拉伸和压缩的构件。厂矿中常用的悬壁吊。用于连接的螺栓上图是杆件受轴向拉力的情况。这种杆件称为轴向拉伸构件轴向拉伸构件上图是杆件受轴向压力的情况。这种杆件称为轴向压缩构件轴向压缩构件汽车式起重机的支腿桁架中的压杆可以看出，工程实际中许多轴向拉伸或压缩的构件多为等截面直杆，它们有以下共同的特点：1、受力特点：作用在杆上外力合力的作用线与杆的轴线相重合。2、变形特点：杆产生沿轴线方向的伸长或缩短，这种变形形式，称为轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩。轴向拉伸轴向压缩

2、1-2 轴向拉伸和压缩时的内力轴向拉伸和压缩时的内力物体内部某一部分与另一部分间相互作用的力称为内力内力。一、内力的概念一、内力的概念物体是由无数颗粒组成的，在其未受外力作用时，各颗粒间就存在着相互作用的内力，以维持它们之间的联系及物体的原有形状。当物体受到外力作用而变形时，各颗粒间的相对位置将发生改变；与此同时，颗粒间的内力也发生变化。这个因外力作用而引起的内力改变量，就是材料力学中所要研究的内力。构件在受到外力作用的同时，其内部将产生相应的内力。注意：注意：材料力学中所指的内力与静力学曾经介绍的内力有所不同。材料力学的内力材料力学的内力是物体内部各部分之间的相互作用力。静力学的内力静力学的

3、内力是各个物体之间的相互作用力，它相对于物体系这个整体来说，是内力，但对于一个物体来说，是外力。二、截面法二、截面法 轴力轴力截开0 xF0 FFN0 xF0NFFFFNFFN假想用一个截面将构件截开，来确定内力的方法，称为截面法截面法。假想用一个截面将构件截开，取其一为研究对象，弃去另一部分，将弃去部分对研究对象的作用，以截面上的内力来代替。根据研究对象的平衡条件确定内力的方向和大小。这一方法分两步：注意：注意：在静力学中，力的正负号是根据力在坐标中的方向来规定的；在材料力学中，内力的正负号则是根据构件的变形来规定的。对于轴向拉伸和压缩的杆件，其横截面上内力的方向皆垂直于截面，且合力必通过截

4、面的形心，这样的内力称为轴力轴力。约定：拉伸引起指向背离横截面的轴力即为正值正值； 压缩引起指向向着横截面的轴力为负值负值。例1-1 设一杆沿轴线同时受力F1、F2、F3的作用，其作用点分别为A、C、B，如图所示。求杆的轴力。由于杆上有三个外力，在AC段和CB段的横截面上轴力不同。(1)在AC段内的任意处以横截面1-l将杆截为两段，取左段为研究对象，将右段对左段的作用以内力FN1代替。0 xF011 FFNkNFFN211这就是AC段内任一横截面上的内力。由平衡条件知FN1必与杆的轴线重合，方向与F1相反，为拉力。列平衡方程解： (2) 在CB段内的任意处以横截面2-2将杆截开，取左段为研究对

5、象。此时因截面2-2上内力FN2的方向一时不易确定，可将FN2先设为拉力，由平衡方程0 xF0312FFFNkNFFFN1312负号说明，该截面上内力的方向与原设的方向相反，即FN2为压力，其值为1 kN，此即BC段内任一横截面上的内力。选取右段为研究对象，仍可得到同样的结 果。同学们自己试试。例1-2 两钢丝绳吊运一个重10kN的重物，如图所示，试求钢丝绳的拉力解：同时用1-1和2-2两个截面将钢丝绳截开取上半部为研究对象。设两钢丝绳拉力分别为FN1和FN2,且由对称关系知 FN1=FN2，由平衡方程0yF030cos30cos1021NNFFkNkNkNFFNN78. 530cos2/10

6、21得030cos2101NFkN1-3 轴向拉伸和压缩时的应力一、应力的概念：一、应力的概念：如图所示材料相同，拉力相同，粗细不同的两杆。单位面积上的内力叫做应力。是反映内力在截面上的聚集程度应力的单位是Pa(帕斯卡)：1Pa=1 N/m若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布密集程度有关。1、引入应力的原因：、引入应力的原因：2、应力、应力二、等截面直杆横截面上的应力二、等截面直杆横截面上的应力构件在受力后引起内力的同时，还要发生变形，内力与变形之间存在着一定的物理关系。 取一个橡皮(或其他易于变形的材料)等直杆，在其侧面划两条垂直于杆轴的

7、横线ab、cd，并在两横线间划几条平行于杆轴的纵线(图a)。 变形实验：然后在杆两端加一对轴向拉力，使其产生拉伸变形(图b)。这一现象是杆的变形在其表面的反映。变形后横线ab、cd分别平移到了ab和cd，但仍然垂直于杆的轴线；各纵线的伸长皆相等。实验结果实验结果杆内部的变形也是如此，即杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平截面假设平截面假设。如设想杆由无数纵向纤维所组成，实验结果证明在任意两横截面间各条纤维的伸长量相同。在离外力作用点略远处,横截面上的应力是均匀分布的，这就是圣维南原理圣维南原理。由此可知每根纤维所受的内力相等，也就是说横截面上的内力是均匀分布的；因而横截面上的应力也必然

8、是均匀分布，如图c所示。它已被试验所证实。根据应力的定义和横截面上应力均匀分布的规律，可以得到AFN 横截面上的应力； FN：横截面上的轴力；A：横截面面积当杆两端只受一对拉(压)力F时，因FN=F，故上式又可表示为AF 以上即为轴向拉伸和压缩时横截面上应力的计算公式。内力垂直于截面，故应力也必然垂直于截面。这种垂直于截面的应力，称为正应力正应力。当横截面面积一定时，外力越大，正应力就越大；作用在杆件上的外力一定时，横截面面积越小，则应力越大。以正号表示拉应力；以负号表示压应力。AF 由可以看出：这说明了粗细二杆受相同的外力时为什么细杆先断的缘故。当轴力为拉力时，为拉应力拉应力；轴力为压力时，

9、为压应力压应力。三、等截面直杆斜截面上的应力三、等截面直杆斜截面上的应力取任一与横截面成角的斜截面k-k, 沿斜截面k-k将杆截开，取左段为研究对象(图e)，可得斜截面k-k上的内力F为FF 斜截面上的应力p也是均匀分布的，可得AFAFp cosAAcoscos AFp将pa沿斜截面法向与切向分解（图f），得斜截面的正应力和切应力为：2cos cos pin22sin sp斜截面上不仅有正应力(沿截面法线方向)，还有切应力(沿截面切线方向)，其大小随截面的方位而变化。当 = 0时， )(0max(横截面上正应力最大)当 = 90时，0)(min当 = 45时，2)(0max(45 斜截面上剪应

10、力最大)当 = 0,90时，0)( mincos pAF0假设例1-3 图a为轧钢机的压下螺旋，其尺寸如图所示。设压下螺旋所受的最大压力F=800 kN，试求其最大正应力。解：(1)计算轴力 因压下螺旋的最大应力将产生于截面最小的部位，所以用截面法在最小直径处将其截开，取下半部为研究对象(图b)，由平衡方程得kNFFN800(2)计算最小横截面面积 由图中所示尺寸知(3)计算最大正应力23222min10850. 338504)70(14. 34mmmmmdAMpaPamkNAFN2081020810850. 31000800623minmax 例1-4 地质岩芯钻杆如图所示。钻杆的外径D1=

11、42mm，螺纹的外径d1=36mm，接箍的孔径D2=12mm，螺纹的内径d=32mm；钻杆总长度l=1000m，单位长度重量为q=40N/m。试求提取钻杆时，钻杆和接箍的最大应力。岩层给钻杆的摩擦力暂不考虑。NmmNqlFFN400001000/400yF0qlFN解：(1)计算轴力提取钻杆时，钻杆受自重的作用，各横截面上的内力不同，而钻杆顶端处须承受钻杆的全部重量，故此处横截面上的轴力最大。由截面法，截取顶端截面以下的全部钻杆为研究对象(图b)，则由平衡方程 (2)计算横截面面积 由所给尺寸，钻杆在螺纹处的横截面面积为22221213684)36()42(14. 34)(1mmmmmmdDA

12、接箍螺纹处的横截面面积为22222226904)12()32(14. 34)(mmmmmmDdA (3)计算最大应力 在顶端的接头处，钻杆在截面1-1上的应力最大，其值为MpaPamNAFN109101091068. 3400006241MpaPamNAFN581058109 . 6400006242 接箍在截面2-2上的应力最大，其值为1-4 轴向拉伸和压缩时的变形杆件在轴向拉伸或压缩时，沿轴线方向的伸长或缩短；与此同时，杆的横向尺寸还会有缩小或增大，前者称为纵向变形纵向变形，后者称为横向变形横向变形。lll一、纵向变形一、纵向变形这个伸长量称为绝对伸长绝对伸长，设一等直杆受轴向拉力F作用，

13、如图所示，变形前杆的长度为l，受力后伸长至l，则其纵向伸长量为它与拉力F之间的关系，与材料的固有性能有关。如果引进一个比例系数，则其伸长量l与拉力F和杆件的原长l成正比，与杆件的横截面面积A成反比。即AFllEAFll 由于此时杆横截面上的轴力FN与拉力F相等，故又可表示为EAlFlNl为伸长时，以正号表示；l为缩短时，以负号表示。(也适用于轴向压缩)拉力不超过某一限度，杆件的变形是弹性的，即外力除去后，变形消失，杆件恢复原状；EAFll EAlFlN或这就是轴向拉伸和压缩时纵向变形的计算公式，称为胡克定律胡克定律。长度相等、受力相同的杆，EA愈大，杆的变形就愈小，EA代表了杆件抵抗拉伸(或压

14、缩)变形的能力，称为杆件的抗拉杆件的抗拉(压压)刚度刚度。式中的E值与材料的性能有关，称为材料的弹性模量材料的弹性模量。其值愈大，则杆件的变形愈小，故它是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。弹性模量的单位与应力的单位相同，在我国法定计量单位中为Pa。EAFll EAlFlN或E、A、FN相同，杆件的长度l愈大，则其绝对伸长量l也愈大，故绝对伸长量l还不能说明杆件的变形程度。因此，需要运用相对伸长的概念，以单位长度的伸长来衡量杆件的变形程度：式中的称为纵向线应变纵向线应变，是一个无量纲的量，伸长时以正号表示，缩短时以负号表示。llEAFNll把和代入上式，可得胡克定律的又一形式：EAlFlNAF

15、EllN1由得此式表明，当正应力不超过某一限度时，正应力与线应变成正比。二、横向变形二、横向变形设拉杆原有宽度为b，厚度为a，受轴向拉力后分别缩小至b和a。此时杆在宽度和厚度方向的横向变形分别为：bbbaaa且二横向相对变形相等，同为：aabb式中的称为横向线应变。轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小，轴向压缩时杆沿轴向缩短，其横向尺寸则增大，即横向正应变与轴向正应变恒为异号。对于同一种材料，在弹性范围内，其横向线应变与纵向线应变的绝对值之比为一常数，即 比值称为横向变形系数或称泊松比横向变形系数或称泊松比，它是一个随材料而异的常数，是一个无量纲的量。利用这一比例关系，可以通过杆的纵向线应

16、变来求横向线应变。 或E把代入得E利用此式，可由纵向正应力求横向线应变。1-5 拉伸和压缩时材料的力学性能材料力学性能是指材料受外力作用时在强度和变形方面表现的各种特性。如弹性模量E、泊松比以及极限应力等。材料力学性能要由试验来测定，拉伸试验是研究材料力学性能最基本、最常用的试验。材料许多重要的力学性能指标都是由它来测定。一、拉伸试验与应力一、拉伸试验与应力-应变图应变图常温（室温）、静载（平稳缓慢的加载）2、试验设备：、试验设备：1、试验条件：、试验条件：对试件施加载荷的万能材料试验机和测量试样变形的引伸仪3、试验对象：、试验对象：试验时将材料做成标准的试样。对于金属材料通常采用圆柱形试样，

17、其形状如图所示。在试样等直部分的中段划取一段l0作为标距，或称工作长度。长试样:短试样:式中d0为试样的直径0010dl 005dl 标距长度有两种:4、试验过程：、试验过程：试验时将试样两端装在试验机的夹头中，对试样缓缓地施加拉力；同时在试样上安装引伸仪测量试样在标距长度内的伸长。试验到试样断裂为止。取一个直角坐标系，横坐标表示变形l，纵坐标表示拉力F，则在试验机的自动绘图装置上可以画出l与F之间的关系曲线。这条曲线称为拉伸图。拉伸图。5、试验分析、试验分析随着拉力F的逐渐增加，标距长度的伸长l作有规律的变化。将拉伸图的纵坐标F除以试样的横截面的原面积A，将其横坐标l除以试样段的原长l（即标

18、距），由此得到应力与应变的关系曲线，称为应力应力-应变图应变图拉伸图不仅与试样的材料有关，而且与试样的横截面尺寸及标距的大小有关。例如：试验段的横截面面积愈大，将其拉断所需要的力就愈大；在同一拉力作用下，标距愈大，拉伸变形l也愈大.因此，不宜用试样的拉伸图表征材料的力学性能。二、低碳钢的拉伸力学性能二、低碳钢的拉伸力学性能低碳钢是工程中广泛应用的金属材料，其应力-应变图也非常具有典型意义.现以低碳钢Q235拉伸时的应力-应变图为基础，并结合试验过程中所观察到的现象，介绍低碳钢的力学性能。1、弹性阶段、弹性阶段当应力小于a点的应力时，如果卸去外力，使应力逐渐减少到零，此时相应的应变也随之完全消失

19、。在Oa阶段内，材料的变形是弹性的。Oa阶段称为弹性阶段弹性阶段，相应于a点的应力称为弹性极限弹性极限。材料受外力后变形，卸去外力后变形完全消失的性质称为弹性弹性。低碳钢Q235的比例极限p200MPa。由于比例极限与弹性极限非常靠近，试验中很难加以区别，所以实际应用中常将两者视为相等。在此阶段内，应变与应力成正比，即EE或满足胡克定律。由此，可测出材料的弹性模量E。弹性阶段最高点a所对应的正应力，称为材料的比例极限比例极限，用p表示。2、屈服阶段、屈服阶段 当应力到达b点的相应值时，应力不再增加，仅有些微小的波动；而应变却在应力几乎不变的情况下急剧地增长，材料暂时失去了抵抗变形的能力。这个现

20、象一直延续到c点。如试样经过抛光，可以看到试样表面有许多与试样轴线约成45角的条纹，称为滑移线滑移线。这是因为在杆件的45斜截面上，作用有最大切应力，因此上述线纹可能是材料沿该截面产生滑移所造成的。由于上屈服点之值受试验时一些因素的影响较大，不如下屈服点稳定，故规定下屈服点作为材料的屈服点屈服点(或称屈或称屈服极限服极限)，以s表示。这种应力几乎不变，应变却不断增加，从而产生明显的塑性变形的现象，称为屈服现象屈服现象，bc阶段称为屈服阶段屈服阶段。相应于b点的应力值称上屈服点上屈服点；在应力波动中，首次下降所到达的最低值(对应于曲线中的b点)称下屈服点下屈服点。低碳钢Q235的屈服点约s=24

21、0MPa3、硬化阶段、硬化阶段 经过屈服阶段以后，从c点开始曲线又逐渐上升。材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形，必须增加应力，这种现象称为材料的强化强化。从c点至d点称为强化阶段。在强化阶段内的任一点f处若慢慢卸去外力，此时应力将随应变沿O1f回到O1点。这说明材料的变形已不能全部消失，其中，能消失的变形称为弹性弹性变形变形（O1O2）；残留下来的变形称为残余变形残余变形或塑性变形塑性变形（OO1）。试样在强化阶段产生了很大的塑性变形。材料能产生塑性变形的这种性质，称为塑性塑性。若材料曾一度受力到达强化阶段，然后卸载，则再重新加载时，其比例极限 和屈服点s将提高，这种现象称为加工硬化加

22、工硬化或冷作硬化冷作硬化。有利的一面:用冷拉的方法可以提高钢筋的强度；加工硬化提高了材料在弹性阶段内的承载能力，但是降低了材料的塑性。不利的一面:冷轧钢板或冷拔钢丝时，由于加工硬化，降低了材料的塑性，使继续轧制和拉拔困难，为了恢复其塑性，则要进行退火处理。在应力到达d点的相应值之前，沿试样的长度，变形是均匀的。当应力到达d点的相应值后，试样的变形开始集中于某一小段的范围内，横截面面积出现局部迅速收缩，这种现象称为颈缩现象颈缩现象。4、局部变形阶段、局部变形阶段由于局部的截面收缩，使试样继续变形所需的拉力逐渐减小，所以，也渐渐下降，因而曲线过d点后向下弯曲，直到e点，试样断裂。由d点到e点这个阶

23、段，称为局部变形阶段局部变形阶段。相应于d点的应力称为抗拉强度抗拉强度(或强度极限或强度极限)，以b表示。Q235钢的抗拉强度为b =380470 MPa。材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力，称为材料的塑性或延性塑性或延性。材料的塑性用延伸率延伸率或断面收缩率断面收缩率度量。在应力-应变图中，横坐标值OO3，代表了材料拉断后的塑性变形程度，称为材料的伸长率或延伸率材料的伸长率或延伸率，以表示，即%100%1000010llllln式中：l1试样拉断后的标距 l0试样的原标距 n长试样和短试样的标志: 长试样（l0=10d0）n=10 短试样（l0=5d0） n=51)材料的延伸率材料的延伸率

24、%100010AAA2）材料的断面收缩率）材料的断面收缩率式中：A0试样原截面面积 A1试样断裂处的横截面面积常用断面收缩率来衡量材料的塑性，以表示，即5的材料称为塑性材料塑性材料，如低合金钢、碳素钢和青铜等1)，作为构件工作应力所不允许超过的数值。这个应力值称为材料的许用应许用应力力，以表示，n称为安全因数安全因数，它们之间的关系是: nu各种材料在不同工作条件下的安全因数或许用应力，可从有关规范或设计手册中查到。脆性材料 bbn塑性材料 ssn0 . 50 . 3bn2 . 25 . 1sn二、强度条件二、强度条件为保证构件安全可靠地工作，必须使构件的工作应力不超过材料的许用应力。应满足的

25、条件是 AFN对于等截面杆，如其上同时作用几个轴向外力，应选择最大轴力FN,max所在的横截面来计算,在轴力相同而横截面有变化时，则应计算截面面积最小处的强度。此式称为杆在轴向拉伸和压缩时的强度条件强度条件式中：杆件横截面上的工作应力 FN横截面上的轴力 A 横截面面积 材料的许用应力利用上述条件，可以解决以下几类强度问题1、校核强度、校核强度2、选择截面尺寸、选择截面尺寸 3、确定承载能力、确定承载能力说明杆件的强度足够，否则，说明杆件不安全。 AFN强度条件变换为： NFA即可根据计算得到的横截面面积，确定截面尺寸。强度条件变换为： AFN根据杆件所允许的最大轴力，确定结构物许用载荷。若杆

26、件满足强度条件 例1-5 上料小车如图a所示，已知每根钢丝绳的拉力FT=105kN，拉杆的横截面面积A=60100mm2，材料为Q235钢，考虑到设备的重要性，取安全因数n=4。试校核拉杆的强度。 解：(1)计算拉杆的轴力 kNFFTN1050yF设横梁刚性较大，而拉杆比较细长，可认为两拉杆为轴向拉伸构件。用截面法假想地将两杆截开，取上半部为研究对象，如图b所示。由对称关系，两杆轴力相等，设为FN，则由平衡方程得：(2)计算拉杆横截面面积 2322106000610060mmmmmAQ235钢的屈服点为s=240MPa，则其许用应力为 MPaMPanss604240 (4)校核强度 工作应力小

27、于许用应力，所以拉杆安全。 MpaPamkNAFN5 .17105 3)确定许用应力拉杆的工作应力为 例1-6 一悬臂吊车，其结构和尺寸如图a所示。已知电葫芦自重P=5 kN，起重量F=15kN，拉杆BC采用Q235圆钢，其许用应力=140MPa，横梁的自重不计，试选择拉杆的直径d。用截面法截取节点B为研究对象，并设二杆轴力分别为FNBC和FNAB如图b所示。0)(sinFPFNBC0yF352. 045 . 15 . 1sin22kNkNkNFPFNBC8 .56352. 0155sin又由三角关系知 解： (1)计算拉杆轴力由平衡方程A、B、C三处为铰链连接，当电

28、葫芦运行到B点时，杆BC所受的拉力最大，此时横梁AB也为二力杆。现求拉杆的轴力. (2)选择截面尺寸 拉杆横截面面积应为 26340610140108 .56mmPaNFANBC224064mmdAmmmmd8 .2214. 340642最后可选用d=25 mm的圆钢。又因故拉杆的直径 例1-7 图a所示为一起重用吊环，其侧臂AC和AB各由两个横截面为矩形的锻钢杆构成，截面尺寸为h=120mm，b=36mm，材料的许用应力为=80MPa。为了发挥设备的最大作用，试按侧臂的强度，求吊环的最大起重量。 解： (1)计算侧臂轴力0cos2NFF0yFPPFFN544. 0cos2cos292. 04

29、20960960cos22截取节点A为研究对象(图b)，因对称关系，可设两杆轴力皆为FN，再由平衡方程 (2)求许用载荷 AFNhbA2PFN544. 0 kNMPammmmhbP1270544. 080361202544. 02 因为 所以故按侧杆强度，吊环的许用载荷为1 270 kN1-7 拉伸和压缩静不定问题一、静定的问题一、静定的问题 构件的约束反力和杆件的内力都可以用静力学平衡方程求得。这种能用静力学平衡方程求解的问题，称为静定问题静定问题二、静不定的问题二、静不定的问题 在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度或刚度，或者由于构造上的需要，往往还给构件增加一些约束，或在结构物中

30、增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的内力，仅用静力学平衡方程就不能求解了。构件的约束反力或杆件的数目多于静力平衡方程的数目，因而仅用平衡方程不能求解，这类问题称为静不定问题静不定问题。 未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数静不定次数。未知力数比平衡方程数多一个时，为一次静不定一次静不定，多两个时为二次静不定二次静不定，其余类推。三、静不定问题的解法三、静不定问题的解法 对一个拉压静不定问题作强度计算，必须先求出各杆的内力。图a所示的横梁，其左端铰接于A，在B、C处与两铅垂杆CD和BE连接。设两杆的弹性模量和横截面面积分别为E1、E2和A1、A2，在B端作用一载荷F，横梁的自重不计

31、，求拉杆CD和BE的轴力。首先，取如图b所示的研究对象。设两杆的轴力为FN1、FN2。由受力图可见，这是一个平面一般力系，可列出三个平衡方程，而未知量却有四个，是一个一次静不定问题。根据平面一般力系的平衡条件，列平衡方程：0, 021FFFFFAyNNy00AxxF,F022022, 02121FFFaFaFaFMNNNNA现在的问题是，仅用式MA=0还不能解出FN1和FN2，应设法列出一个补充方程。因为Fx=0和Fy=0两个方程虽可以建立FN1和FN2之间的关系，但又出现两个未知量FAx和FAy，对求解FN1和FN2 没有作用，故可不再列出。在一个静不定结构系统中，各杆的变形是不能任意的，必

32、须与其所受的约束相适应，它们之间必须互相协调，保持一定的几何关系；找出各杆件变形间的关系，根据杆件变形与其内力关系，从而得到补充方程。212122llalal设两拉杆的伸长变形为l1和l2，由变形后的位置可见，它们之间应保持的关系是：上式是根据杆件变形后的相互关系建立的，称为变形几何条件（变形协调条件）变形几何条件（变形协调条件）当应力不超过比例极限时，两杆的伸长与轴力间的关系，可由胡克定律得到1111AElFlN2222AElFlN这个关系是由杆件受力后所产生的物理现象所决定的，所以称为物理条件物理条件。212ll由变形几何条件得2221112AEFAEFNN这样，又建立了一个各轴力间的关系

33、，得到了所需要的补充方程。02221FFFNN 最后，联立平衡方程和补充方程2221112AEFAEFNN可得： 11221412AEAEFFN2211144AEAEFFN当E1=E2，A1=A2时 521FFN541FFN在静不定问题中，杆件内力(或构件约束反力)不仅与载荷有关，还与杆件的抗拉(压)刚度EA有关；而在静定问题中，它们仅与外力有关。这是静不定问题与静定问题的一个区别。求解静不定问题须考虑三个方面的关系：1、静力学关系（平衡方程）、静力学关系（平衡方程）利用这三方面的关系列出有关方程，即可解出所求的内力或约束反力。这就是解静不定问题的一种方法。3、变形与力之间的物理关系（胡克定律

34、）、变形与力之间的物理关系（胡克定律）2、变形几何关系（变形协调条件、变形几何关系（变形协调条件 ）解出各杆件的内力后：即可进行强度计算。例1-8 一根两端支承的杆件AB，在C处受一轴向外力F，如图a所示。已知杆横截面面积A，材料的弹性模量E，试求在A，B两端的支座反力。解： (1)列静力学平衡方程0, 0FFFFBAy设杆受力F作用后，C点移至C，但在原有约束条件下，杆AB的长度应保持不变，故此时AC段的伸长lAC与CB段的缩短lCB应该相等。由此得变形几何条件lllCBAC解除两端约束，设其约束反力分别为FA、FB，如图b所示。由杆件的受力图可见，这是一个共线力系，可列出平衡方程：(2)列

35、变形几何条件(4)建立补充方程，解出约束反力 (3)列物理条件 由胡克定律：EAaFlAAC2EAaFlBCBlllCBACBABAFFEAaFEAaF22由得0FFFBA联立得：3FFA32FFB四、温度应力和残余应力概念四、温度应力和残余应力概念在工程实际中，许多构件或结构物往往会遇到温度变化的情况，这时杆件会产生伸长或缩短。在静定问题中，由于杆件因温度变化而引起的变形未受到什么限制，所以不会在杆内引起应力；但在静不定问题中，由于约束增加，因温度变化而引起的变形将会受到阻碍，相应的在杆中就会引起应力。这种由于温度变化而引起的应力，称为温温度应力度应力。静定结构静不定结构常温高温伸长阻碍伸长

36、 例1-9 设一根两端支承的杆AB，其长度为l，横截面面积为A。又已知材料的弹性模量E和线膨胀系数，求温度升高T后杆的温度应力解： (1)列平衡方程FFFFFFBABAy0, 0此式只能说明两支座反力相等，但不能解出其值。 (2)列变形几何条件FTll设A、B两端的支座反力为FA和FB，则由平衡方程设因温度而引起的伸长为lT，因轴向压力而引起的缩短为lF ，由于杆AB长度没有变化，故两者必然相等，得变形几何条件(3)列物理条件 由变形与力和温度间的物理关系，知TllTEAFllFFTll由(4)建立补充方程，解出温度应力知TlEAFl故TEAFTEAF杆横截面的温度应力为 在厂矿中输送高压蒸汽

37、时，如在蒸汽锅炉与使用车间之间用直线管道输送，则蒸汽管道就相当于两端固定的直杆。可见温度应力不可忽视。如温度应力过大，可能将管道顶弯或将两端的固定装置顶坏。因此工程实际中每隔一定距离常将管道弯成一个伸缩节，如图所示，让管道有可能自由伸缩，从而减小或避免温度应力。MPaGPaGpaTEAF1001 . 040200105 .126 设钢管的弹性模量E=200GPa，线膨胀系数=12.5 x10-6，则当温度升高T=40时，将引起的温度应力为:一个静不定构件，虽然未受外力作用，但在温度变化的情况下，也会引起应力。同样，一个构件即使没有约束，若局部区域温度发生变化，亦可能产生温度应力。如果温度应力不

38、超过材料的弹性极限，在温度因素消除后，温度应力也会随之消失；若温度应力超过弹性极限而使构件产生塑性变形，构件将产生残余应力。 现以钢板焊接时的情况为例，说明残余应力的产生过程。钢板焊接时的情况可知：在外界因素(如温度)消除后而长期保持下来的这种应力称为残余应力残余应力。在热加工过程中，也会不同程度地引起工件的残余应力。例如工件在骤冷的情况下，由于表层材料与心部材料的冷却速度不同，就会形成残余应力。残余应力过大会使工件产生严重的变形，甚至使工件断裂，因此需要设法加以控制，或进行退火、回火等热处理来消除残余应力。1-8 应力集中的概念 对于等截面直杆或截面变化缓和的杆件，拉(压)杆横截面上正应力是

39、均匀分布的结论。但对于截面尺寸有急剧变化的杆件，在截面突变处，横截面上的应力则不再均匀分布。一、应力集中的概念一、应力集中的概念例如：等截面平板中间开孔和圆杆切槽时，其应力分布情况如图所示。这种在局部区域应力突然增大的现象，称为应力集中应力集中。在离孔槽一定距离的2-2截面上，应力均匀分布；而在通过孔槽的l-1截面上，应力不再均匀分布，在孔槽附近的小范围内应力要比其他部位的应力大得多。 如果假设在削弱了的截面上应力均匀分布，并由此算出其平均应力m，则该截面上的最大应力max与平均应力m的比值称为应力集中因数，以k表示，即mkmax应力集中因数之值主要通过试验方法来测定，有的可由理论分析求得，在

40、工程设计手册等资料中有图表可查。截面变化愈急剧，应力集中因数愈大，对带圆孔的平板，拉伸时的k值最大可达3。利用应力集中因数，可以求出最大应力。二、应力集中对构件强度的影响二、应力集中对构件强度的影响对于塑性材料制成的构件，当最大应力超过屈服极限之后，应力集中的区域会出现塑性变形，如果继续增大载荷，则所增加的载荷将由同一截面上的未屈服的部分承担，以至屈服区域不断增大，应力分布趋于均匀，所以应力集中对静载荷作用下的塑性材料几乎无影响.1、对塑性材料的影响、对塑性材料的影响在研究中、低强度钢等塑性材料构件的静强度问题时，通常不考虑应力集中的影响。脆性材料因为没有屈服阶段，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达强度极限之前。因此，在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。对于有应力集中的构件，往往可以利用降低许用应力的办法来进行强度计算。2、对脆性材料的影响、对脆性材料的影响但是对于铸铁，由于其组织极不均匀，缺陷很多，在内部已存在许多引起严重应力集中的因素，在测定其抗拉强度时，已经反映了这些因素的影响，因此，由构件外形变化而引起的应力集中，就可以不再考虑了。三、应力的定义三、应力的定义当构件内的应力非均匀分布时，用