第一部分第一章§22.1 第二课时 等差数列性质的应用

1、2.1等差数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章数列考点一考点三考点二第二课时等差数列性质的应用第一页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第二页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回21等差数列等差数列第三页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第二课时第二课时 等差数列性质的应用等差数列性质的应用第四页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第五页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 一个无穷等差数列一个无穷等差数列an的首项为的首项为a1,公差为公差为d. 问题问题1：将数列中的前：将数列中的前m项去掉项去掉,其余各项按原来的次序组成其余各项按原来的次序组成一个新的数列

2、一个新的数列,这个新数列是等差数列吗？如果是这个新数列是等差数列吗？如果是,它的首项与公它的首项与公差分别是多少？差分别是多少？ 提示：是首项为提示：是首项为am1,公差为公差为d.第六页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 问题问题2：取出数列中的所有奇数项：取出数列中的所有奇数项,按原来的次序组成一按原来的次序组成一个新的数列个新的数列,这个新数列是等差数列吗？如果是这个新数列是等差数列吗？如果是,它的首项与公它的首项与公差分别是多少？差分别是多少？ 提示：是首项是提示：是首项是a1,公差为公差为2d. 问题问题3：2a5a3a7是否成立？是否成立？2a5a1a9呢？呢？ 提示：两个等

3、式都成立提示：两个等式都成立第七页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 问题问题4：a3a10a2a11是否成立？假设是否成立？假设mnpq时时,amanapaq成立吗？成立吗？ 提示：都成立提示：都成立aman2a1(mn2)d,apaq2a1(pq2)d,mnpq,amanapaq.第八页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 问题问题5：anam(nm)d成立吗？数列成立吗？数列2an1是等差数列吗？是等差数列吗？ 提示：都成立提示：都成立ana1(n1)d,ama1(m1)d.两式相减两式相减,anam(nm)d. 又又(2an11)(2an1)2(an1an)2d. 2an1是

4、等差数列是等差数列第九页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 等差数列的常用性质等差数列的常用性质 (1)mnpqamanapaq；特别地假设；特别地假设mn2p,那么那么aman2ap； (2)假设假设m,p,n成等差数列成等差数列,那么那么am,ap,an也成等差数列；也成等差数列；第十页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 (3)假设数列假设数列an成等差数列成等差数列,那么那么anpnq(p、qR)； (4)假设数列假设数列an成等差数列成等差数列,那么数列那么数列anb(,b为为常数常数)仍为等差数列；仍为等差数列； (5)an和和bn均为等差数列均为等差数列,那么那么anb

5、n也是等差数列也是等差数列第十一页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 1等差数列的通项公式可以推广为等差数列的通项公式可以推广为anam(nm)d,它反映了它反映了等差数列中等差数列中,任意两项之间的关系任意两项之间的关系,当等差数列给出其中两项时当等差数列给出其中两项时,使用非使用非常方便常方便 2等差数列性质的应用非常灵活等差数列性质的应用非常灵活,在解题中常能起到事半功倍的在解题中常能起到事半功倍的效果效果第十二页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第十三页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第十四页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 例例1在公差为在公差为d的等差数

6、列的等差数列an中中, (1)a2a3a23a2448,求求a13； (2)a2a3a4a534,a2a552,求求d. 思路点拨思路点拨解答此题可以直接转化为根本量的运算解答此题可以直接转化为根本量的运算,求出求出a1和和d后再解决其他问题也可以利用等差数列的性后再解决其他问题也可以利用等差数列的性质来解决质来解决第十五页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回精解详析精解详析法一：法一：(1)化成化成a1和和d的方程如下：的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48,即即4(a112d)48.4a1348.a1312.第十六页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回

7、一点通一点通利用等差数列性质解题是处理等差数列问题的利用等差数列性质解题是处理等差数列问题的技巧方法技巧方法,利用好性质可以使计算过程大大简化利用好性质可以使计算过程大大简化 在等差数列中在等差数列中,一般存在两种运算方法：一是利用根本量运算一般存在两种运算方法：一是利用根本量运算,借助于借助于a1,d建立方程组进行运算；二是利用性质运算建立方程组进行运算；二是利用性质运算,运用等差数运用等差数列的性质列的性质,往往会有事半功倍的效果往往会有事半功倍的效果第十七页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第十八页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回答案：答案：A第十九页，编辑于星期一：二十一

8、点 二十八分。返回2(2011重庆高考重庆高考)在等差数列在等差数列an中中,a3a737, 那么那么a2a4a6a8_. 解析：依题意得解析：依题意得a2a4a6a8(a2a8)(a4a6) 2(a3a7)74. 答案：答案：74第二十页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回3数列数列an为等差数列为等差数列,a2a5a89,a3a5a7 21,求数列求数列an的通项公式的通项公式 解：解：a2a82a5, 3a59. a53. a2a8a3a76. 又又a3a5a721, a3a77. 第二十一页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回由解得由解得a31,a77或或a37,a71.a31

9、,d2,或或a37,d2.由通项公式的变形公式由通项公式的变形公式ana3(n3)d,得得an2n7或或an2n13.第二十二页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第二十三页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 例例2某公司经销一种数码产品某公司经销一种数码产品,第第1年可获利年可获利200万万元从第元从第2年起年起,由于市场竞争等方面的原因由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比其利润每年比上一年减少上一年减少20万元万元,按照这一规律按照这一规律,如果公司不开发新产品如果公司不开发新产品,也也不调整经营策略不调整经营策略,从哪一年起从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损？该公司经销这一

10、产品将亏损？ 思路点拨思路点拨根据题意根据题意,可以将该实际问题转化为一个可以将该实际问题转化为一个等差数列问题进行求解等差数列问题进行求解第二十四页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 精解详析精解详析设从第设从第1年起年起,第第n年的利润为年的利润为an,那么由题意那么由题意知知a1200,anan120,n2,nN.所以每年的利润所以每年的利润an可构成一个等差数列可构成一个等差数列an,且公差且公差d20.从而从而ana1(n1)d22020n.第二十五页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 假设假设an0,那么该公司经销这一产品将亏损那么该公司经销这一产品将亏损,由由an22

11、020n11, 即从第即从第12年起年起,该公司经销此产品将亏损该公司经销此产品将亏损第二十六页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 一点通一点通解决实际应用问题解决实际应用问题,首先要认真领会题意首先要认真领会题意,根据题目根据题目条件条件,寻找有用的信息假设一组数按次序寻找有用的信息假设一组数按次序“定量增加或减少时定量增加或减少时,那那么这组数成等差数列么这组数成等差数列 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解在解题过程中题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题一定要分清首项、项数等关键的问题第二十七页，编辑于星期一：二十一点 二

12、十八分。返回4梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽最低一级宽110 cm, 中间还有中间还有10级级,各级宽度依次成等差数列各级宽度依次成等差数列,计计 算中间各级的宽度算中间各级的宽度第二十八页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回解：设梯子的第解：设梯子的第n级的宽为级的宽为an cm,其中最高一级为其中最高一级为a1 cm,那么数列那么数列an是等差数列是等差数列由题意由题意,得得a133,a12110,n12,那么那么a12a111d.第二十九页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回所以有所以有1103311d.解得解得d7.所以所以a233740,a340747

13、,a11967103,即梯子中间各级的宽度从上到下依次是即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.第三十页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回5假设某市假设某市2011年新建住房年新建住房400万平方米万平方米,预计在今后预计在今后 的假设干年内的假设干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年该市每年新建住房面积平均比上一年 增加增加50万平方米那么从哪一年开始万平方米那么从哪一年开始,该市每年新该市每年新 建住房的面积大于建住房的面积大于820万平方米？万平方米？第三十一页，编

14、辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第三十二页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第三十三页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回第三十四页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 一点通一点通等差数列是一种特殊的数列等差数列是一种特殊的数列,要熟练掌握等差要熟练掌握等差数列的根本运算和性质并会判定或证明等差数列数列的根本运算和性质并会判定或证明等差数列 对于此题这种探索性问题对于此题这种探索性问题,一般先假设其成立一般先假设其成立,然后按常然后按常规来解规来解,如果得到的结果符合条件如果得到的结果符合条件,那么结论成立那么结论成立,否那么结论否那么结论不成立不成立第三十五页，编辑于星期

15、一：二十一点 二十八分。返回6成等差数列的四个数之和为成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个第二个数与第三个 数之积为数之积为40,求这四个数求这四个数第三十六页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回7两个等差数列两个等差数列5,8,11,和和3,7,11,都共有都共有100项项, 问它们有多少个共同的项？问它们有多少个共同的项？ 解：设两个数列分别为解：设两个数列分别为an与与bk(n100k100)那么那么a15,d1853,通项通项an5(n1)33n2.b13,d2734.通项通项bk3(k1)44k1.设数列设数列an的第的第n项与项与bk的第的第k项相同项相同,第三十七页，编辑于星期一：二十一点 二十八分。返回 1等差数列的等差数列的“子数列的性质：子数列的性质： 假设数列假设数列an是公差为是公差为d的等差数列的等差数列,那么那么 (1)an去掉前几项后余下的项仍组成公差为去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的的等差数列；等差数列； (2)奇数项数列奇数项数列a2n1是公差为是公差为2d的等差数列；的等差数列；偶数项数列偶数项数列a2n是公