二项式定理公开课(普通班比赛课)

1、24C！m-nmnmnC42 2！4 3 2 162 1 2 1 今天要讲的二项式定理是什么今天要讲的二项式定理是什么? ?( a + b ) 2 ( a + b ) 3 =a3 + 3 a2 b+ 3a b2 + b3 a2 + 2a b + b2babaabababbabab2a22223abba2a322bab2ba大家说说看，等式的右边有什么共同规律？大家说说看，等式的右边有什么共同规律？( a + b ) 2 ( a + b ) 3 ( a + b ) 4 =a4 + 4 a3 b+ 6 a2 b2 +4 a b3+ b4= a2 + 2a b + b2=a3 + 3 a2 b+ 3

2、a b2 + b3( a + b ) n =？=( a + b ) 3 ( a + b )2211baba332211bababa3321212121babbabbaaa123123123123a a aa b ab a ab b a321321321321bbbbabbbabaa每项的组成都由各括号每项的组成都由各括号a a、b b中出一个，再相乘中出一个，再相乘21212121bbabbaaa看看因式相乘有什么特点？看看因式相乘有什么特点？(a+b)2 (a+b) (a+b)展开后其项的形式为展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系

3、数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种种，则则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20 ,则则a2前的系数为前的系数为C20(a+b)2C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= a2 +2ab+b2 恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C31种，则种，则 a2b 前的系数为前的系数为C31恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C32 种，则种，则 ab2 前的系数为前的系数为C32恰有恰有3个取个取b的情况有的情况

4、有C33 种，则种，则 b3 前的系数为前的系数为C33(a+b)3 = C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3 a3 + 3 a2 b+ 3a b2 + b3a3 a2b ab2 b3恰有恰有0个取个取b的情况有的情况有C30种，则种，则 a3 前的系数为前的系数为C30(a+b)3 (a+b) (a+b) (a+b) ？(a+b)2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3 C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3(a+b)4 C40 a4 C41a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44b4.( a + b )

5、 n=？若从若从a考虑考虑(a+b)3 C33 a3 + C32 a2b+C31 ab2 + C30 b3=a4 + 4 a3 b+ 6 a2 b2 +4 a b3+ b4nnbabababa)()()( 项：系数：kknba 分析分析相乘相乘个个)(ba naba中选中选个个)( kn bba中选中选个个)( kknC0nC1nCnnCknC请分析请分析 的展开过程的展开过程. .nba)( naban 1 kknba nbn=1时候也满足？时候也满足？恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C11种，则种，则 b 前的系数为前的系数为C11(a+b)1 = C10 a + C11 b a +

6、b恰有恰有0个取个取b的情况有的情况有C10种，则种，则 a 前的系数为前的系数为C10(a+b)1 a+b一般地，对于一般地，对于n N*有有二项式定理二项式定理 1 1、定理中的、定理中的a,ba,b仅仅是一种符号，它可以是任仅仅是一种符号，它可以是任意的意的数或式子数或式子，只要是两项相加的，只要是两项相加的n n次幂，就能运次幂，就能运用二项式定理展开。用二项式定理展开。（减法可以转换成加法，多（减法可以转换成加法，多项相加可以转换成项相加可以转换成2 2部分相加）部分相加）nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110)(2、若、若a=b=1nnknnnnCCCC102(

7、a + b ) 7 = a7 + a6b+ a5 b2 + a4b3+ a3b4+ a2b5+ ab6+ b7 C70 C71 C72 C73 C74 C75 C76 C77 例例1.写出写出( a + b ) 7 的展开式的展开式 例例 2：写出：写出 的展开式和通项的展开式和通项4(2 x)4(2 x)解解: :C44C43 C40 C41C42 1640312213042 x2 x2 x2 x2 x2ab xn432x224x38x4x例例 2：写出：写出 的展开式和通项的展开式和通项4(2 x )4(2x)a2bxn4中，解解: :kn-kkk4-kkk 1n4ab2xTCC4n(2x)(ab)abn分析：从对应中找出 、 、练习：写出练习：写出 的展开式和通项的展开式和通项4(2-x)解解: :2ab -xn4 0120413224443434442 -x2 -x2 -x2 -x-xCCCCC23416-32x 24x -8xx44x-2x- 2）（练习：写出练习：写出 的展开式和通项的展开式和通项4(2-x)44(2-x)2-x)a2b-xn4（中，解解: :kkn-kk