等差数列求和公式课件(演示)

1、泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有宝石镶饰而成，共有100100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共耗层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你知

2、道这个图案一共耗费了多少宝石吗？费了多少宝石吗？高斯答：1+2+3+4+97+98+99+100= 1+100=101 10150=5050 2+ 99=101 3+ 97=101 50+ 51=10150501+2+3+4+97+98+99+100=？ 情景情景 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德国数学家、物理学家和天德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大德，被誉为有史以来的三大数学家。有数学家。有“数学王子数学王子”之之称。称。 实际上高斯解决了求实际上高斯解决了求等差数列等差数列 1,2,3,41,2,3

3、,4，n,n,前前100100项的和的问题项的和的问题 定义定义 一般的，我们称一般的，我们称 a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n为数列为数列anan的前的前n n项和，用项和，用SnSn 表示，即表示，即 SnSn =a =a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n如何求等差数列如何求等差数列 1,2,3,41,2,3,4，n,n,前前n n项的和？项的和？ sn = 1 + 2 + 3 + +(n-1 )+ n sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+ + 2 + 1 2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +（n+ 1） =n(n+1)2) 1() 1(

4、321nnnn思考：思考：这种方法能否推广到求一般等这种方法能否推广到求一般等差数列前差数列前n n项求和呢？项求和呢？+) 倒序相加法倒序相加法求等差数列求等差数列 1,2,3,n, 1,2,3,n,前前n n项的和？项的和？由由 S n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n 1 + a n S n = a n + a n 1 + a n 2 + + a 2 + a 1 +)2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n 1 ) + ( a n + a 1 ) =n ( a 1 + a n )2)(1nnaanS 倒序相加法倒序相加法故等差数列的前故等差数

5、列的前 n n 项求和公式：项求和公式：探究发现探究发现 ?nnan如何求等差数列的前 项和Sdnaan) 1(1dnnnaSn2) 1(1方法方法2：等差数列：等差数列 an a1， a2 ， a3 ， an ，的公差为的公差为d.) 1()(111dnadaaSn) 1()(dnadaaSnnnn)(21nnaanS2)(1nnaanSdnaan) 1(1dnnnaSn2) 1(1观察公式的形式，回忆我们所学过的知识，你观察公式的形式，回忆我们所学过的知识，你是否发现了什么？它的形式是不是跟我们学过是否发现了什么？它的形式是不是跟我们学过的梯形面积公式相同？的梯形面积公式相同？例例1 1：

6、 2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了关于小学关于小学“校校通校校通”工程的通知工程的通知.某市据此提出了实施某市据此提出了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从2001年起用年起用10年的年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，据测算，2001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费工程的经费为为500万元万元. 为了保证工程的顺利实施，计划为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加每年投入的资金都比上一年增加50万元万元. 那么那么从从2001年起的未来年起的未来10年内，该市在年内，该市在

7、“校校通校校通”工工程的总投入是多少？程的总投入是多少？ 学以致用学以致用总结：总结：实际问题，建立数学模型，利用数学的观点实际问题，建立数学模型，利用数学的观点解决问题，然后再回归问题实际解决问题，然后再回归问题实际解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，可以建立一个等差数列 a an n ，表示从2001年起各年投入的资金，其中， a a1 1 =500，d=50那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为)万元(7250502)110(105001010S答：从2001-2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万

8、元. nanS答案 ：888S184,18,8aan 例例2 公式应用公式应用 已知等差数列已知等差数列an前前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220.由这些条件能确由这些条件能确定这个等差数列的前定这个等差数列的前n项和的公式吗？项和的公式吗？列方程组，解方程列方程组，解方程解：由题意知 将它们代入公式 得到方程组， 解这个方程组，得到： 所以 1020310,1220SS1(1)2nn nSnad111045310201901220adad14,6adnnnnnSn362)1(42 2练习：已知一个等差数列前练习：已知一个等差数列前5 5项和是项和是2525，第六项是，第六项是1111，求此等差数列前，求此等差数列前n n项和公式项和公式答案 ：nSn2 2等差数列前等差数列前n项和公式的推导：项和公式的推导：”“,:1知三求二五个元素nnSdnaa倒序相加法倒序相加法类比思想、方程思想、类比思想、方程思想、数学建模思想，整体思想数学建模思想，整体思想数学思想数学思想: :等差数列前等差数列前n项和公式的应用：项和公式的应用