第二章--静电场1

1、2.1 2.1 电荷与电荷密度电荷与电荷密度 一、电荷一、电荷1. 带电体与电荷 带电体的特性：能够吸引轻小物体 2. 电荷分类 正电荷、负电荷 3. 电量 带电体所带电荷的多少叫电量，在国际单位制（SI单位制）中，电量的单位是库仑（C） 4. 电荷的基本性质 1）分布的离散性 2）量子性 e1.60210-19C 3）守恒性 电荷守恒定律电荷守恒定律 4）相对论不变性 M(x,y,z) M(x,y,z) M(x,y,z) S S l l q q q 图21 体电荷、面电荷、线电荷的概念 (a) (b) (c) 1. 体密度2. 面密度3. 线密度0,limssqx y zs 0,limllq

2、x y zl 0,limqx y z 4. 点电荷)()(rrQrQdrrQdr)()(二、电荷密度二、电荷密度2.2 2.2 库仑定律库仑定律 文字表述文字表述在真空中，两个静止点电荷之间的作用力，与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力。 数学表达式数学表达式 1）来自实验定律的表达式 x y z 真空中的两个点电荷 1r2rO12F21F1Q2QRRRQQkRRQQkF22312121/CNm10910988. 82299kRR/RR R一、库仑定律一、库仑定律2 2）电磁学通用表达式）电磁学通用表达式通常将系

3、数 记为其中称为真空电容率或真空介电常数 于是120918.8538 10/3610F mk014k1121232200Q QRQ QRF4R4R3 3）库仑定律符合牛顿第三定律）库仑定律符合牛顿第三定律 二、静电力的叠加原理二、静电力的叠加原理 311NNijijiijjj0ijj ij iQ QRFF4R数学表达式例题例题2.12.1解：利用叠加原理 三个点电荷的力 x y z 3(1,0,1)P6110Q1(1,1,0)P634 10Q 628 10Q 2(0,1,1)P1F12F13F1212Rrrxz12121230122143.6 10()2QQFRRxzN 1313Rrryz21

4、31312301311.8 10()42QQFRyzNR 211213103.61.81.82FFFxyzN y2.3 2.3 电场和电场强度电场和电场强度 2. 2. 电场力的本质电场力的本质一个电荷的电场作用在另一个电荷上的力。一、电场一、电场1. 1. 法拉第的场的观点法拉第的场的观点 3. 3. 电场的物质性电场的物质性1）电场是伴随着电荷而生的一种特殊物质。 2）电场没有可见的形态，但其具有可以被检测的运动速度、能量和动量，占有空间。 3）场和实物是物质存在的两种不同形式。 电荷在其周围空间产生电场这种物质，当其它带电体的电荷处于这个电场之中时，就会与该电场作用而受力。Q2 Q 3

5、Q 4 Q n Q F2F3F4FnF二、电场强度二、电场强度1. 1. 电场强度的引入电场强度的引入Q2 Q3 Q4 Qn QF2F3F4FnFA点：(/)AFQ表明：表明： 是一个大小和方向都确定的值，与试验电荷本身电量的大小和符号无关。B点： 比值 是另外的一个确定值(/)BFQ 可见， 是一个反映电场空间各点性质的物理量，我们将其记作 ，称为电场强度电场强度。/FQE0limQFEQ 单位：牛顿/库仑(N/C) 伏特/米(V/m) 物理意义： 电场强度是一个矢量函数，它逐点描述了电场空间的性质。FQE用电场强度表示电场力：定义式2. 2. 点电荷的电场点电荷的电场320044QRQRE

6、RR304Q QRFR试验电荷 在场源点电荷Q的电场中所受的库仑力为Q于是，点电荷电场强度表示为3101( , , )4NiiiiRE x y zQR3. 3. 电场的叠加原理电场的叠加原理iR其中 代表自Qi 到P (x, y, z)点的相对位置矢量 1）离散电荷系统 如果真空中有N个点电荷Q1、Q2、QN，则任意场点P (x, y, z) 处的总电场强度等于各个点电荷单独产生的电场强度的矢量和2）连续电荷系统体电荷体电荷的电场 , ,P x y zq,M x y z330011( )( ) 44RRdE rqrdRR 微元电荷总场强301( )( )( )4RE rdE rr dR SSq

7、q, ,P x y z, ,P x y z,M x y z,M x y zll面电荷、线电荷的电场面电荷301( )( )4sSRE rr dSR( )sdqr dS线电荷301( )( )4llRE rr dlR( )ldqr dl22 1/2Rrx求：圆面电荷轴线上的电场r x x P a dr RdEdrdEdE204sdrrdrddERRdrExdE2200cos4srdrdxR22 3/202sxrdrxrx22 1/2012()sxxax22 3/2002asxrdrExrx4. 4. 例题例题2.32.3面积微元的电场其中圆环的电场圆面的电场解：22 1/2/0 lim12()s

8、a xxExax221/2/001lim12(1)2ssaa xxx x02sEn 讨论：1） x a 的情况 这与点电荷场强公式一致。可见，只要a / x足够小，就可以把带电圆面视为点电荷。 这个结论表明，带电体能否被看作点电荷，不在于其本身绝对尺寸的大小，而在于其线度与它到场点的距离相比是否足够小。22011122 ()saxx2.4 2.4 电力线与电通量电力线与电通量 一一. .电力线电力线 1定义：定义： 电力线是充满电场空间的一个假想曲线族，曲线上每一点的切线方向与该点电场强度的方向平行，曲线的疏密与场强的大小成正比。 333222111EduhEduhEduh3性质：性质： 电力

9、线发自正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远），不形成闭合回线，在无电荷处不中断。 任何两条电力线不会相交。这说明静电场中每一点的场强只有一个方向。2.微分方程微分方程 电力线实质上就是矢量分析中所介绍的矢量线，其微分方程为 a. 正点电荷 图29 几种常见电场系统的电力线图 b. 负点电荷 d. 异号面电荷 c. 两个正电荷 4几种常见电荷系统的电力线几种常见电荷系统的电力线 二二. 电通量电通量 1电通量密度电通量密度单位：库仑/米2(C/m2)，与电荷面密度的单位相同。0DE方向：在真空中， 与 方向处处相同，模值相差0。DE定义： 称为（真空）电通量密度(也称作电位移矢量)D2电通量

10、电通量定义：电场中任意点处矢量面元与该点电通量密度矢量的点积，叫作此面元所通过的电通量，记作其中为面元法线与矢量的夹角单位：电通量是标量，单位是库仑（C），与电荷单位相同。cosdD dSDdS 如果S为一闭合曲面，则S上通过的电通量可以写成cosssD dSDdS 讨论：/2（即 与 指向曲面的两侧）时， 为负， ddDDn n D n D s ds 图210 通量的符号 M n s ds M (a) (b) 由于闭合曲面一般都规定其面元法线指向外，因此，若 0 称有电通量“流出”闭合面； a的区域内在r a 时取“”，r a 时 r a 时 利用电位定义式求U讨论：讨论：当电荷以面密度分布

11、时，电荷面两侧的电场强度是不相等的，而两侧的电位却是连续的，这一结论对于面电荷两侧的电场和电位具有普遍意义。24aQs 21rE rU1 r a o o EU, a R zd ),(zrP 2L 2L z r z o (a) 求: (a) 此线电荷产生的任意点电位。 (b) 当L时，任意点的电位和电场强度。例例2.10 真空中长度为L的线电荷与z 轴重合且电荷沿线均匀分布，电荷密度为 l解: (a) 设线电荷L的中点为原点，L 所在直线为z轴建立柱坐标系 利用叠加原理2/2/2202/2/2/2/2200| ) () (ln4) ( 4 4LLlLLLLllzzrzzzzrzdRzdU2222

12、0)()()()(2222ln4zLrzLzLrzLl 电荷元ldqdz22220222222222201122limln4112211112222limln4/()()()()()() ()() lLlLzrzLLLUzrzLLLzrzzrzLLLLLLrLrLlLln2lim0(b)当L时 这表明，当场源电荷延伸至无限时，直接应用无限远参考点的电位积分式将出现电位发散的结果。 改进：将参考点选在有限远的某一点上。 0z 0 P 0r r z y z P P 0P (b) o (b) 解法解法1 利用电位定义求解利用高斯定律利用电位定义式无限长线电荷的电场 rrEl02选取有限远点 为参考点

13、),(0000zrP02PPPPUE dlE dlCrrrlll1ln2ln21ln20000积分路径0PPPPPPdlr0PPdlPPdlz只有 段 ，所以PP0E dl (b) 解法解法2 利用有限长度线电荷的结果求解U选取有限远点 为参考点),(0000zrP00000000ln21ln2ln2limln2limln2lim00rrrrrLrLUUUUlllLlLlLPPPP利用电位定义式，可求得电场强度rrrrrrrrrUElll000021ln2ln1ln2)()(当r = r0时，上式等于零，可见这里 是电位参考点。 ),(0000zrP2.8 2.8 电位的泊松方程和拉普拉斯方程

14、电位的泊松方程和拉普拉斯方程1、静电场的微分方程、静电场的微分方程泊松（Poison）方程拉普拉斯（Laplace）方程在= 0 的无电荷区域内，Poison方程变为Laplace方程02 UUE根据电位定义式)(0E高斯定律02 U得到泊松方程2、例题、例题2.11解：在所求区域内，电位函数满足Poison方程 0022dxUd对 x 两次积分，得 212002CxCxU代入边界条件00,0VUUaxx 两个无限大平面 x = 0 和 x = a 之间均匀填充体密度为 的电荷，已知 ，求两平面间任意点的电位和电场。 000,0VUUaxx0,220001CaVaC求得待定常数 xaVaxU)

15、(00020022所以，电位分布 )(000002aVaxxdxdUxUE电场强度 2.9 2.9 电偶极子电偶极子 一对等值异号点电荷相距一微小距离所构成的电荷系统 。1、定义、定义2、电偶极子的（远区）电位、电偶极子的（远区）电位 1R 2R 图222 电偶极子的电位 -Q Q y r o x z ),(rP 012114()QURR2/1221cos)2/(l rlrR1/2111(1cos )lRrr111(1cos )2lRrr应用叠加原理展开204cosrlQU211(1cos )2lRrr同理因此3、电偶极矩、电偶极矩引入一个矢量，模值为p = Ql，方向由Q指向Q lQl lQ

16、l pp302044cosrrprpU)sincos2 (4130)(rrpUrrUrUE电偶极子的远区电场强度 电偶极子的远区电位 电偶极子的远区电位和电场分别与 r2 和 r3 成反比。因此，其位和场随距离 r 的下降速度比单个点电荷更为迅速，这是由于两个点电荷Q 和Q 的作用在远区相互抵消的缘故。 图223 偶极子的电场和电位 cos12Cr 22sinCr 4、等电位面和电力线、等电位面和电力线等电位面电力线CrpU204cos210coscos4prCC233222111FduhFduhFduhEdrEdrrsincos2drdr22sinCr令则球坐标系中代入电场分量表达式所以，电力线方程为350)(341RpRRRpE5、不依赖坐标系的电位和电场强度表达式、不依赖坐标系的电位和电场强度表达式304RRpUR是电偶极子中心指向场点P 的相对位置矢量 6、均匀外场中的电偶极子、均匀外场中的电偶极子电位电场强度o +Q-Q F Fo r rlE r rEQFEQFEplQElFTsinsin2sin2EpT电偶极子中心所受的合力为零而所受力矩矢量形式：转动趋势是力图使偶极矩与外场方向一致 例2.12 在均匀外电场中，放置一个中心在坐标原点的电偶极子，试求零电位面的曲面方程和此面上的电场强度。 Ep z解：（1）求零电位面方程匀强电场