工程数学复习题及答案.doc

1、工程数学(一)、计算下列行列式:1、342152809235215 _ 3421529092 280921000 _ 612301000 28092 1000=61230001333232、Dn=33332 3解：Dn= 33333 (把第三列的-1倍加到其余各列)20301 3003003020000100=003n 30000 1000 =6(n-3)! (n 3)n 3、已知X=AX+B其中A= 1 11 , B= 2 0 ，求 X解：(EA)X=B X=(E-A)-1B1 002 1“ 101 ,(EA)-1=-3 2 1023 01 11 0 0BA= 0 1 00 0 101011

2、 11 = 110111321令 A=( 1T, 2T, 3T, 4T)= 3513211, 2, 为一极大线性无关组，且52135010 5107204852000430243= - 1+2 2, 4=- 1+ 22135250121400000000020000四、求方程组x1 x2 x1x4 0x4的一个基础解系。1解： A= 01同解方程组是:x1 x2 x3 x400 x3 0所以基础解系是：0010五、已知线性方程组x1x2x3x4x5a3x12x 2x3x43x 50 ，问x22x32x46x5b ，问5x14x23x33x 4x52a,b 为何值时,方程组有解? 并求其通解。1

3、3解： B=051214112311231361a0b210001100120012001600a3a，当 R(A)=R(B)即当 a=1,b=33a2a时方程组有解。此时10 B001100x1x2x32x 3x412005x12001600231300100001001200x1x2x3x412005x5600230056xx11152x22263方程组的通解是：x3 =C11 +C20 + C30+0x40100x500102x4 6x52x3 2x4工程数学、计算下列行列式:1、29325293522133735=-372、Dn=二(n-1)解：Dn=二(n-1)=(-1)n-1(n-

4、1)、解矩阵方程1二6则 |A|二解：设A 21A11二-4, A21=4,A31= -2 2A12=5, A22二-2, A32=1;A13=7,A23二-4,A33= -1 ,181515A-1=16X二A1B二二6、求向量组 1=(1,4,1,0), 2=(2,1,-1,-3), 3=(1,0,-3,-1), 4=(0,2,-6,3)，的一个极大线性无关组解：1_ 4=10o令(21131T,10312T,02633T,4T)10002733144102631,2,3是极大线性无关组。X1四、求方程组解:10 A=2311352x13x11111X2X23xX3X3X42x4X5X5X3

5、1416730248791000270014100230X1X22x 3X3x2x基础解系42110012472x 5X5五、已知线性方程组a,b为何值时, 解：B=102311351000110011a 105x2111112010X12x3xX31000X1X2X2有无穷多解,11b0124a 84x47x41112X2 3x2 5x2X5X51112001224的基础解系1112100001002100120021002x 3X321001X42x42x 5X5(a并求之。11b 35当a= -1,b=0时,方程组有无穷多组解X3X32)X3X3X42x44x4(a 8)x4100011

6、1211b 1211111止匕时B121010000000000同解方程组为x1X2X3X42X3X3X3X42X41,通解X4X1X2X3X4k1k20100工程数学(三)一、在三个箱子中，第一箱装有4个黑球，1个白球；第二箱装有3个黑球，3 个白球；第三箱装有3个黑球，5个白球.现任取一箱，再从该箱中任取一球。(1) 求取出的球是白球的概率；(2)若取出的为白球，求该球属于第二箱的概率.解(1)以A表示“取得球是白球”，Hi表示“取得球来至第i个箱子”=1,2,3.1115则 p(Hi), i=1,2,3, P(A|H1)-,P(A| H2) -,P(A|H3)-.3528由全概率公式知5

7、3P(A)=P(H1)P(A|H1) P(H2)P(A|H2) P(H3)P(A|Hs)-120由贝叶斯公式知P(H 21A尸二等P(H2)P(A|H2)P(A)20530.7,乙命甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为中目标的概率为0.8.求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件.于是(1) P(AB) P(A)P(B) 0.7 0.8 0.56;(2) P(AB) P(AB) 0.7 0.2 0.3 0.8 0.38;(3) P(AUB) P(A) P(B) P(A)P(B

8、) 0.7 0.8 0.56 0.94.三、设连续型随机变量X具有概率密度函数x, 0 x 1,f (x) A x, 1 x2 时，F(x) 1 .四、xxdx021 xxo xdx 1 (2 x)dx 2x 一 1 ;0,x 0,F(x)1 2,.-x ,0 x 1,22 x 2x 1,1 x 2,21,x 2.设随机变量XN（2, 2）,若P0 X4 0.3,求 RX 0.X解 因为XN 2,所以ZN(0,1).由条件P0 X 4 0.3可知0 20.3 P0 X 4 PX 2 4 2(一)记办游客等候电梯的时间，则Y g（X）160因此，E(Y) Eg(X)g(x)f(x)dxg(x)d

9、x60 0152555(5 x)dx (25 x)dx (55 x)dx60 05256055 (65x)dx=11.67份钟）.六、设总体X服从参数为的指数分布，即X的概率密度为2一一 2于是 2 （一） 1 0.3,从而 （一）0.65.所以,X 2 0 222RX 0 P( -) 1(-) 0.35.五、游客乘电梯从底层到电视塔顶观光，电梯于每个整点的第5分钟、第25 分钟和第55分钟从底层起行.假设一游客在早八点的第X分钟到达底层侯梯处, 且X在区间0, 60上服从均匀分布.求该游客等候电梯时间的数学期望.解：已知X在0,60上服从均匀分布，其概率密度为1,0& x&60,f(x)60

10、0,其它.e x, x 0, f(x,)0, xt (n 1)=31(29)=1.3114.代入数据n=30, x =2280, s=476，得到x02280 2150t 1.4959 1.3114.s n 476 30所以拒绝原假设，可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入工程数学(四)一、袋中有9个球，其中有4个白球和5个黑球.现从中任取两个球.求：(1)两个球均为白球的概率；(2)两个球中一个是白的，另一个是黑的概率；(3)至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有C92种，两个球都是白球的取法有C：种, 一黑一白的取法有c5c4种，由古典概率的公式知道C2(i)两球都

11、是白球的概率是-4；C9(2)两球中一黑一白的概率是c5c4(3)至少有一个黑球的概率是1C；C2CJ.二、甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6, 若三人都击中，飞机必定被击落.求该飞机被击落的概率.解目标被击落是由于三人射击的结果，但它显然不能看作三人射击的和 事件.因此这属于全概率类型.设A表示飞机在一次三人射击中被击落”则 B(i 0,1,2,3)表示 恰有i发击中目标” B为互斥的完备事件组.于是没有击中目标概率为P(B) 0.6 0.5 0.3 0.09 ,恰有一

12、发击中目标概率为P(Bi)0.40.50.30.6 0.50.30.60.50.70.36,恰有两发击中目标概率为P(B2)0.40.50.30.6 0.50.70.40.50.70.41,恰有三发击中目标概率为P(B3)0.40.50.70.14 .又已知P(A|B0) 0, P(A| B1) 0.2, P(A| B2)0.6,P(A|B3)1 ,所以由全概率公式得到3P(A)P(Bi)P(A|Bi) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458.i 0、已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，且取这四个值的相应概率依次为 , .试确定常数G并计算条件概率PX 1|X 0

13、. 2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知,13572c 4c 8c 16c3716所求概率为PX11X0=312c1572c 8c 16c825四、设连续型随机变量X的分布函数为0,x 0,F(x)x2,0x1,1,x 1,求：X的概率密度；(2)P0.3 X 0.7).解(1)根据分布函数与概率密度的关系F (x) f (x),可得f(x)2x, 0 x 1, 0, 其它.2_ _ 2(2)P0.3 X 0.7 F(0.7) F(0.3) 0.70.3五、设随机变量X U 1,2,随机变量0.4 .1, X 0,Y 0, X 0,1, X 0.求期望E(Y)和方差D(

14、Y).解 因为X的概率密度为1-,1x1是未知参数，X1,X2, ,Xn是来自X的容量为n的简单随机样本, 求：(1)的矩估计量；(2) 9的极大似然估计量.1.22X 11 X解总体X的数学期望为,11E(X) xf (x)dx 。(1)x dx令E(X) X ,即1 X,得参数8的矩估计量为2设Xi, x2, , x n是相应于样本X1, X2, X n的一组观测值,则似然函数为n(1)n Xi , 0Xi1,i 10,其它.ln Xi ,当 0Xi0且 ln L nln( 1)人 dln L n n令 ln x =0,得d1 i 19的极大似然估计值为而8的极大似然估计量为n1 nln

15、xii 1n1 nln Xii 1七、为调查某地旅游者的平均消费水平,随机访问了 40名旅游者，算得平均消费额为X 105元，样本标准差s 28元.设消费额服从正态分布.取置信水 平为0.95,求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解计算可得X 105, S2 =282.对于a= 0.05,查表可得t (n 1) t0.025 (39)2.0227.2所求N的置信区间为ss(x t (n 1), x t (n n 2、. n 328281) (105 2.0227, 105 2.0227),4040=(96.045, 113.955).八、从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值11958,样 本标准差s 316.设发热量服从正态分布.取显著性水平a 0.05,问是否可认为 该试验物发热量的期望值为12100?解 提出假设 H0:k卬=12100; H1:严卬.对于a=0.05,选取检验统计量t|t|t(n万J,拒绝域为S . n1) =t0.025(23)=2.0687代入数据 n=24, x =11958