电动力学-第2.2节

1、第二章第二章 第二节第二节唯一性定理唯一性定理Uniqueness Theorem本节内容将回答两个问题：本节内容将回答两个问题：（1）要具备什么条件才能求解静电问题）要具备什么条件才能求解静电问题（2）所求的解是否唯一）所求的解是否唯一静电学的基本问题：静电学的基本问题：求满足边界条件（或给定边界条件）的泊松方程求满足边界条件（或给定边界条件）的泊松方程（拉普拉斯方程）的解。（拉普拉斯方程）的解。求解微分方程的一种重要方法：尝试解。求解微分方程的一种重要方法：尝试解。尝试解是否唯一正确的解（物理问题的结果只有一尝试解是否唯一正确的解（物理问题的结果只有一个）：唯一性定理来保证。个）：唯一性定

2、理来保证。 （试探解，拼凑解连猜带蒙！）（试探解，拼凑解连猜带蒙！）在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程（拉普界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程（拉普拉斯方程）的解。拉斯方程）的解。 本节我们把这问题确切地表述出来，即本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪需要给出哪一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。静电场的唯一性定理对于解决实际问题的重要意义。静电场的唯一性定理对于解决实际问题的重要意义。 (1)它告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样它告诉我们

3、，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。在解决实际问题时就有所依据。 (2)对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。确的解。一、静电问题的唯一性定理：一、静电问题的唯一性定理：假定所研究的区域为假定所研究的区域为 V，在一般情况下，在一般情况下V内可以有多种内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是各向同性线性均匀介质或导体，对于每一种介质自

4、身是各向同性线性均匀的，设其区域为的，设其区域为 。 iVVSiVjVi j 1V1 每一个区域给定电荷分布每一个区域给定电荷分布Vxx , )( 设设 内所求电势为内所求电势为 ，它们，它们满足泊松方程满足泊松方程 iV ), 2 , 1(2mii 在两区域在两区域 、 的交界面上必须满足的边值关系是：的交界面上必须满足的边值关系是：iVjVji jnjini 泊松方程或拉普拉斯方程（泊松方程或拉普拉斯方程（ 区域）的解有多种区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定形式，要确定且唯一确定 内电场，必须给出边界条内电场，必须给出边界条件，在数学上称为给定边值条件的求解问题。件，在数学上称为给定边

5、值条件的求解问题。 0 iV一般边界条件有两类：一般边界条件有两类： 边界边界S上，上， 为已知。若为导体为已知。若为导体“ = 常数常数”为已知。为已知。S S 边界边界S上，上， 为已知。若是导体要给定总电荷为已知。若是导体要给定总电荷Q。它。它相当相当 给定（给定（ ）。）。 Sn Sn dSnQSS 唯一性定理内容：唯一性定理内容： 当区域当区域V内内 分布已知，分布已知， 满足满足 2I) 若若V边界上边界上 已知，已知，S 或或II)V边界上边界上 已知，已知，Sn 则区域则区域V内场（静电场）唯一确定。内场（静电场）唯一确定。二、特例：有导体存在时的唯一性定理二、特例：有导体存在

6、时的唯一性定理 我们讨论均匀单一介质中有导体，我们讨论均匀单一介质中有导体，导体中导体中 ，要求的是导体外区域，要求的是导体外区域 中的场。中的场。0 EV V S1S2S当给定导体之外区域的自由电荷当给定导体之外区域的自由电荷分布分布 此条件用来确定电势满此条件用来确定电势满足的微分方程；足的微分方程； 给定边界条件：给定边界条件：I) 给定导体上的电势，当给定导体上的电势，当 ；常量常量 iiS 或，或，II) 给定每个导体上的总电荷（实质上也是给定给定每个导体上的总电荷（实质上也是给定 ，因为：因为： ）；）；iSn dSnQiSiS 则导体外区域内场唯一。则导体外区域内场唯一。另外，还

7、有多种情形，比如另外，还有多种情形，比如导体外有多种均匀介质，我导体外有多种均匀介质，我们不再一一进行讨论。们不再一一进行讨论。三、唯一性定理的意义三、唯一性定理的意义(1)唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求解电场唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求解电场强度指明了方向。强度指明了方向。(2)更重要的是，它具有十分重要的实用价值。更重要的是，它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用因此对于许多

8、具有对称性的问题，我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以加以修改后再进行尝试，直到满足泊松方程（拉普拉加以修改后再进行尝试，直到满足泊松方程（拉普拉斯方程）和边界条件。斯方程）和边界条件。四、应用举例四、应用举例例例1 带电带电Q的导体球（半径为的导体球（半径为a ）产生的电势。）产生的电势。 解题依据：电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。解题依据：电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。解解：当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷，因此当考

9、虑较远处场时，导体球可视为点电荷，因此 )0( rBrA 0, rrAB 0它应满足它应满足 )(02ar )0(32 rrrA 0 311rrrr ）（0033 rrrrr根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性，其与应具有球对称性，其与 坐标无关坐标无关 。 、2rArn 2202004aaAdSaAdSrQar 04 QA )(40arrQ )(40araQ 表表面面内内)(414300arrrQrQE 此题也可用高斯定理（积分形式）求解，用这种方法来此题也可用高斯定理（积分形式）求解，用这种方法来解有点解有点“高射炮打蚊子高

10、射炮打蚊子”的感觉，但展示了静电场的求的感觉，但展示了静电场的求解方法。解方法。有有例例2有一半径为有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是 与与 。若导体球总电荷为。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分，求导体球表面处自由电荷分布和空间电势分布布和空间电势分布 。2 1 Qa1 2 解解：设导体球上下两设导体球上下两半球各自带电量半球各自带电量为为q1和和q2 ，则，则21qqQ 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即2

11、1 另外，总电荷另外，总电荷Q一定，无限远处电势为一定，无限远处电势为0，故满足唯一，故满足唯一性定理条件。性定理条件。(1)自由电荷分布自由电荷分布根据唯一性定理，得到根据唯一性定理，得到2222111 1 而而ararrr则得则得 2211 22212122 aqaq 即即故故2121211)(1 qQqQq 即即2211 qq 即得到：即得到： Qq2111 Qq2122 电荷面密度为：电荷面密度为：)(222122222 aQaq )(222121211 aQaq(2)空间电势分布空间电势分布 外边界为无穷远，电荷分布在有限远外边界为无穷远，电荷分布在有限远 0 导体上导体上Q给定，所

12、以球外场唯一确定。给定，所以球外场唯一确定。对称性分析：若对称性分析：若 ，则，则 。 21 rQ04 若若 ，从直观看似乎不再具有球对称性，而是具，从直观看似乎不再具有球对称性，而是具有轴对称。有轴对称。 21 但是实际情况并非如此。但是实际情况并非如此。由于无论在介质由于无论在介质1还是介质还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点点 必然必然 与重合，所以介质分界面上与重合，所以介质分界面上 ，而，而 1E2EttEE21 021 nnEE在介质分界面上：在介质分界面上： nnPEEEEn12120)( 00 P 所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只

13、分布在导体与介所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。质分界面上。 对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。同样下半空间也具有对称性。 而在介质分界面上而在介质分界面上 ，所以可考虑球外电场仍具，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。有球对称性。 21EE 设试探解：设试探解： 012111 drc022222 drc确定常数：确定常数： 0021 ddr 在介质分界面上在介质分界面上 SS21 ccc 21 212211SarSardSrdSrQ dSacdSacSS 212221 22221222aac

14、aac c )(221 )(221 QcQa1 2 rQ)(2211 rQ)(2212 下半空间下半空间 上半空间上半空间 )()(421arrQ 导体球面上面电荷分布：导体球面上面电荷分布：2211111)(2aQrar 下半球面上均匀分布下半球面上均匀分布 2212222)(2aQrar 上半球面上均匀分布上半球面上均匀分布 束缚电荷分布：束缚电荷分布： 1101)1( P2102)1( P从这里可以看出，电荷在整个球面上是不均匀分从这里可以看出，电荷在整个球面上是不均匀分布的。这种非均匀分布造成场的均匀分布。布的。这种非均匀分布造成场的均匀分布。从物理机制看：从物理机制看：当导体放入介质

15、时，一开始均匀分布，产生的当导体放入介质时，一开始均匀分布，产生的场是非球对称场，它在介质中产生束缚电荷，束场是非球对称场，它在介质中产生束缚电荷，束缚电荷也产生一个场，但总场不满足静电场唯一缚电荷也产生一个场，但总场不满足静电场唯一性定理，因此导体表面电荷要重新分布。达到静性定理，因此导体表面电荷要重新分布。达到静电平衡时，球外场均匀分布，满足唯一性定理，电平衡时，球外场均匀分布，满足唯一性定理，这时电荷分布不再是均匀的。这时电荷分布不再是均匀的。Qa1 2 例例33两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常数为数为 ，右半球介电常数为，右半球介

16、电常数为 。设内球壳半径为。设内球壳半径为a，带，带电荷为电荷为Q，外球壳接地，半径为，外球壳接地，半径为b，求电场和球壳上的电，求电场和球壳上的电荷分布。荷分布。1 2 baS1S221rene解解：以唯一性定理为依据来解本题。以唯一性定理为依据来解本题。a)写出本题中电势写出本题中电势 应满足的方程应满足的方程和边值关系以及边界条件和边值关系以及边界条件此区域此区域V为导体球与球壳之间的为导体球与球壳之间的空间，边界面有两个，即空间，边界面有两个，即S1和和S2, S1是导体球表面，是导体球表面，S2是导体球壳是导体球壳内表面，边界条件为：在内表面，边界条件为：在S1上总上总电量是电量是Q

17、，在在S2上上 。0 在两种介质中，电势都满足在两种介质中，电势都满足Laplace方程，在介质交方程，在介质交界面上，电势界面上，电势 连续，电位移矢量的法向分量连续（因连续，电位移矢量的法向分量连续（因为交界面上为交界面上 ）。）。 0 f 应满足的定解条件为：应满足的定解条件为：)2 , 1(02 ii 现在不论用什么方法，只要求出的点函数现在不论用什么方法，只要求出的点函数 能满能满足上述条件，那么足上述条件，那么 就是本题的唯一解。就是本题的唯一解。)(x )(x nn22112 1 在交界面上在交界面上QS已知已知面上面上在在 ,10,2 已知已知面上面上在在 SbaS1S221r

18、eneb) 根据已知的定解条件，找出电势根据已知的定解条件，找出电势 的解的解由于对称性由于对称性, 选取球坐标选取球坐标, 原点在球心原点在球心, 直接积分可求直接积分可求得解，因为得解，因为0)(1222 rrrrii 不难看出：不难看出：)( )( 中电势中电势右半球右半球中电势中电势左半球左半球2211 DrCBrA 在在r=b处：处：01 BbAbr bAB 从而得到从而得到)11(1brA 同理，在同理，在r=b处：处：bCD )11(2brC 在两介质的交界面上：在两介质的交界面上：21 由此得到由此得到 A= C又因为在两介质的交界面上，又因为在两介质的交界面上， 与与 ，但，

19、但 都只与都只与r有关，所以有关，所以 rene21, 021 nn 这样，这样， 也满足了也满足了Dn连续的条件。连续的条件。21, 到此为止，在条件中，除了在到此为止，在条件中，除了在S1面上总电量为面上总电量为Q外，外， 也满足了其它全部条件，而也满足了其它全部条件，而 也只剩下一个待定常也只剩下一个待定常数数A。现在用现在用 必须满足在必须满足在S1面上总电量等于面上总电量等于Q这个条这个条件来确定件来确定A，即，即 QSdDS 1在球坐标系中，有在球坐标系中，有 erererr sin11SdDSdDSdDSSS 21111右右左左 rrerAerED211111111 rrerAe

20、rED222222222 22222122aaAaaA SdeaASdeaArrSS 右右左左112221 Q 故故)(221 QA从而得到：从而得到： )11()(2)11()(2212211brQbrQ c) 电场和电荷分布情况电场和电荷分布情况根据电势根据电势 所得到的结果，有所得到的结果，有i rerE 111 321)(2rrQ 321)(2rrQ rerE 222 相应地，有相应地，有3211111)(2rrQED 3212222)(2rrQED 由此可见由此可见|21DD |21EE 同心球面上有同心球面上有在导体球（在导体球（r=a）表面上：由介质与导体的边值关系）表面上：由介

21、质与导体的边值关系得得arrarnfDDe 111 可见可见ff21 arrarnfDDe 222 fnDe 2)(22121 aQ)(22122 aQ在导体球壳内（在导体球壳内（r=b）处：）处：brnfDe 11壳壳 brrD 1)(22121 bQbrnfDe 22壳壳 brrD 2)(22122 bQ也可看出：也可看出：ff壳壳壳壳21 还可进一步求出束缚电荷（极化电荷）分布：还可进一步求出束缚电荷（极化电荷）分布：已知已知EDP0 所以所以2022EDP 1011EDP 32101)(2)(rrQ 32102)(2)(rrQ 而极化电荷体密度：而极化电荷体密度：0)(122222 r

22、pPrrrP 0)(112211 rpPrrrP frfrfrrrfrsin1)(sinsin1)(122）（003 rrr 即在两种介质中，极化电荷体密度都为零。即在两种介质中，极化电荷体密度都为零。在导体球表面上极化电荷面密度分布：在导体球表面上极化电荷面密度分布：arrarnpPPe 222 arrarnpPPe 111 )(2)(21201 aQ)(2)(21202 aQ故得到导体球表面上的总电荷故得到导体球表面上的总电荷 分布：分布：pf111 pf222 )(22120 aQ)(22120 aQ)(22121 aQ)(2)(21201 aQ)(22122 aQ)(2)(21202

23、aQ可见可见21在两种介质交界面处：在两种介质交界面处：ren 因为因为 。因而。因而 ，所以，所以0p0 nP注意：注意：在前面计算过程中，难得出导体球面上在前面计算过程中，难得出导体球面上ipifi 是常数，但是是常数，但是 或或 在每个半球面上虽然都是常数，在每个半球面上虽然都是常数，但但 ， ，即，即 在球面上不是均匀分布在球面上不是均匀分布的。现在来说明的。现在来说明 不能均匀分布的原因。不能均匀分布的原因。if ip ff21 f f pp21 假定假定 是均匀分布的，那么由是均匀分布的，那么由f Penp f 0 Een)(0 Den 0 可见，可见， 在两个半球面上，因在两个半

24、球面上，因 值不同而不同。值不同而不同。p 导体球内的静电场由导体球内的静电场由 和和 共同激发，由于共同激发，由于 均匀均匀分布，所以分布，所以 在球内的电场为零。但在球内的电场为零。但 由于非均匀分布由于非均匀分布必将导致它在球内的场不为零，这样导体球就不能达到必将导致它在球内的场不为零，这样导体球就不能达到静电平衡。由此可见，要使导体球达到静电平衡，静电平衡。由此可见，要使导体球达到静电平衡， 的的分布必须是非均匀的。分布必须是非均匀的。f f f p p f VSiVjVi j 1V1 ijS一、静电问题的唯一性定理的证明：一、静电问题的唯一性定理的证明：设有两组不同的解设有两组不同的

25、解 和和 满足唯一性定理的条件，只满足唯一性定理的条件，只要让得要让得 即可。即可。 常常数数 令令 在均匀区域在均匀区域 内有内有iV , , ii 2202 在两均匀区界面上有在两均匀区界面上有 , , jiji , ，nnnnjjiijjii ji nnjjii 在整个区域在整个区域V的边界的边界S上有上有 0 SS0 SSS 或者或者0 SSSnnn 为了处理边界问题，考虑第为了处理边界问题，考虑第 i 个区域个区域 Vi 的界面的界面 Si 上的上的积分问题，根据格林定理，对已知的任意两个连续函数积分问题，根据格林定理，对已知的任意两个连续函数 必有：必有： 和和 dSndViSiV

26、 )(2令令 i 且且 dSndViiSiiiV )()(20 2 SddViiSiiV 2)( 对所有区域求和得到对所有区域求和得到 iiiiiSiVSddV 2)( 进一步分析：进一步分析：VSiVjVi j 1V1 ijSiSdjSd在两个均匀区域在两个均匀区域Vi和和Vj的界的界面上，由于面上，由于 和和 的法向分的法向分量相等，又有量相等，又有 ， jiSdSd 因此内部分界面的积分为因此内部分界面的积分为jjjjiiiiiSdSdSdjiSijSijS ijjjiiiiSdSdjiSijS ijjiiiidSndSnjjiSijS 0 jninDD jnjiniEE nnjjii

27、所有内部分界面的积分互相抵消所有内部分界面的积分互相抵消因此因此SdSdiSiiSi SddViSiiVi 2)(故故而在而在S面上，面上，00 SSn 或或 , ，从而有，从而有0)(2 iiVdVi 由于由于 ，而，而 ，只有，只有 ，要使，要使0)(2 i0 i 0 iiiVdV2)( 成立，唯一地是在成立，唯一地是在V内各点上都有内各点上都有0 即在即在V内任一点上，内任一点上， 。常常数数 由由 可见，可见， 和和 至多只能相差一个常数，至多只能相差一个常数，但电势的附加常数对电场没有影响，这就是说静电场是但电势的附加常数对电场没有影响，这就是说静电场是唯一的。唯一的。 二、有导体存

28、在时的唯一性定理的证明：二、有导体存在时的唯一性定理的证明： SVS1S2讨论区域是导体外空间讨论区域是导体外空间 V，即，即V 是由导体外表面是由导体外表面S1、S2及及S 包包面所围成的空间，当面所围成的空间，当S 在无穷远在无穷远处时，所讨论的区域就是导体外处时，所讨论的区域就是导体外的全空间的全空间V。约定：约定：在无穷远处，电场为零，即在在无穷远处，电场为零，即在S面上面上 或者表示成或者表示成00 S 在此基础上，把问题分为两类：在此基础上，把问题分为两类：A类问题：类问题：已知区域已知区域V中电荷分布中电荷分布 ，及所有体的，及所有体的形状和排列；每个导体的电势都给定。形状和排列

29、；每个导体的电势都给定。)(x B类问题：类问题：已知区域已知区域V中电荷分布中电荷分布 ，及所有导体的，及所有导体的形状和排列；每个导体的总电荷都给定。形状和排列；每个导体的总电荷都给定。)(x 因为导体面就是边界面，因此上述导体的电势或者因为导体面就是边界面，因此上述导体的电势或者总电荷就是边界条件。总电荷就是边界条件。先用反证法证先用反证法证A类问题。类问题。证明：证明：设存在着两个解设存在着两个解 和和 ，这意味着在区域，这意味着在区域V内，内， 和和 都满足泊松方程：都满足泊松方程： 2 , 2第第 i个导体的表面为个导体的表面为Si 面上，该导体的电势为面上，该导体的电势为 。i i 那么，在那么，在Si面上，面上， 和和 都必须等于都必须等于 。即。即iSiSii 在在S面上，面上，0 令令 则有则有0 iiiSiSiS 0222 应用格林定理：应用格林定理： dSndVSV )(2令令 ，