2019届天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

1、2019届天津市七校（静海一中、宝垠一中、杨村一中等）高 三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1,已知集合 A =ByLG用，则0口）调=（）A O,1Z b。2c. I，到D. T0123【答案】B【解析】求解集合A,然后根据补集的运算求解 'u4,再根据集合的交集的运算，即可 求解.【详解】由题意A =仅|卜-1| "=中0或）2）,所以，uA = M0C所以QA） n B = 。力，故选b.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的混合运算问题，其中解答总正确求解集合A,准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.设门，直线4

2、 ax + 2v + 6。，直线L |x + （a-1）尹伯=0 ,则*=-1，是/ %， 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据直线平行的等价条件求出丹得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义， 进行判定，即可得到答案.【详解】由题意，当日二0时，两直线2"6 = 0十1 = 0,此时两直线不平行，1 a -1当af°时，若"儿，则满足6 261 3-1由a 2得/-石-2=0,解得日=-1或a = 2,1-1-1 0当卜=1时，-126成立，1 3一=当|a = 7时，2 6成立，即a = ?两

3、直线是重合的（舍去），故&=1所以a = 1是："2的充要条件，故选 C.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及两直线位置关系的应用，其中解答中 根据直线平行的等价条件求出心得值是解答的本题的关键，着重考查了推理与运算能力, 属于基础题.x > 0 + 3y-9 S 0xZy-1 M 03.设变量满足约束条件1 x + y-l>0 ,则目标函数的最小值是（）A. -5 B. 1 C. 2D. 7【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解.>> 0（2x+ 3y

4、-9 i0x-2y-l S 0由题意，画出约束条件1 x + Y-10所表示的平面区域，如图所示,由目标函数上=六十¥,可得¥=" + 由图象可知，当直线¥=-0 + 过点AO,1）时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数,故选B.1本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，输出 S的值为（）i3-111A. 7 B. 14C. 30 D. 41【答案】C【解析】由已知

5、中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解由题意，模拟程序的运行，可得 S =0，i = 1,不满足条件执行循环体，i = 2,满足条件i能被之整除，$=0+47 = 3；不满足条件if 执行循环体，| = 3,满足条件i能被,整除，S = 3 + 2,= 7； 不满足条件心支执行循环体，1 = %满足条件i能被之整除，$=7*2x4=14； 不满足条件if 执行循环体，i = 5,满足条件i能被之整除，S=14 + 24 = 30.此时，满足推出循环，输出 S的值为30,故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程

6、序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法,一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构； 当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、 判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题5,已知”印吗5）, b = f04巧= 口%5）,则岫工的大小关系为A.B.C.【答案】D【解析】 现判断函数f（阴是奇函数，同时又是增函数，结合指数哥和对数的性质判断,三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案 【详解】函数依是奇函数，当k20时，f=为增函数,又由卜啕5<2.0<"啕5&

7、gt;1吗4 = 2, 则OvoHl叫5<啕5所以b<a<c,故选D.【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的单 调性，合理得到abc的取值范围是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力, 属于基础题6.己知函数f仅=3*）0,3>0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2将f的三 1 ,图象向右平移3个单位长度，得到函数 现外的图象，则下列是函数gk）的单调递增区间的为（）【答案】Bn ng(x) = Asin( x-)2 6 ,利用nn n n-+ 2kn < x- < - + 2kk £ Z22

8、 6 224 +2k<x£- + 2k.kZ,解得1 * 3nw =-【解析】 由函数可刈图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,求得 2 ,所以Tl1f（x） = A5in x2 ,将函数力：用的图象向右平移三个单位长度，得到函数三角函数的性质，即可求解【详解】函数f”卜尔刈>0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,2nlln=4, = -f = A$in-X所以函数的最小正周期为4,则W ，解得 2,所以2 4当k = Q时，函数的单调单调递增区间为,故选B.【点睛】本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换

9、得到函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7.已知双曲线 景广的左、右焦点分别为 F过勺作圆/十一 =的切线，交双曲线右支于点 应若“产广"，则双曲线的离心率为（）A. 4B. 2C.亚 D.【答案】A【解析】设切点为N,连接ON,作弓作吩垂足为人,由。N| = a ,得到|1 =如, 在直角三角形1aMF#中，可得吗“,，得到MFj，2b/2一再由双曲线的定义，解得利用双曲线的离心率的定义，即可求解 .【详解】设切点为N,连接ON,作片作小1 MN,垂足为A, I-由ON| = a,且ON为明弓4的中位线，可得弓川二2啡卢1k

10、-a=b,即有 FiA =2b,在直角三角形MF#中，可得即有“。加+汽事口小、/一/曰 MF -WlF, = 2b+= 2a心=5a由双曲线的定乂可得112、，可得口*，_C J於（2 l2 0e-yj3所以。-日+b -、生，所以 a ，故选a.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出 耳C，代入公式3;只需要根据一个条件得到e的方程（不等式），解方程（不关于卜山的齐次式，转化为卜工的齐次式，然后转化为关于 等式），即可得£（£的取值范围）.X 1 f(x) = X - X E - 0) - x,x

11、 £。1小)/ 18.定义域为）满足恤+21"攸-1,当kaoz时,.若A.2时,2 7tt - £f(x)S3B.恒成立，则实数t的取值范围是（C.2 2(2-)D.【解析】根据函数的性质"篮+2）=能恨）-1和函数的解析式,求得2 7tt * < f(x) <3*1恒成立转化为i 7t 3t 一 .2且即可求解.则当时,当kw 112时,1 1 f(x) = -e-rix 2【详解】 当时,|x- 2(0J)则.f(x) = 2f(x-2) - 1-1当 时，x-2e(l,2)则x-2:3f(x) = 2x - 10x+ 11 E -当卜

12、毛13,41时, 所以|xE|O网时,3f（x）-=力cr rM ' 'mu酢所以2 7t 37tt - - s-t2£ f(X)£ 3 -122“若kE4时，2恒成立”等价于I lw3t ,1< t < 2解得2,故选C.【点睛】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意根据函数的性质和函数的解析式，求得函数的最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.、填空题9.已知复数2 + 6i1 =(是虚数单位)，则复数工的虚部为【答案】2【解析

13、】根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案【详解】2 + 6i (2 + 61)(3 + I) 2Q E = '=一 = = 21由题意，复数 m-i 3T)(m + i) io ，所以复数工的虚部为乙【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应用复 数的运算法则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题 / 2 1 声3x4 =(x 4 TJ10 .若二项式3*的展开式中的常数项为 E,则1.【答案】124【解析】根据题意，利用二项式求得 m的值，再求出被积分函数的原函数，即可求解【详解】T-r ,2 2,&-r *12-

14、3r由题意，二项展开式的通项为3*3,由12-3=0,得=4,所以E jm/dx 则.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的计算问题，其中解答中根据二项展开 式的通项，求得m的值，再根据定积分的计算求解是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力.11 .已知正方体口"8一丫£%中，四面体3"叫的表面积为超,则该正方体的体积是.【答案】8【解析】由已知画出图形，设正方体的棱长为卜，由四面体外"CD的表面积为药0求的a的值，则正方体的体积，即可求解 .【详解】如图所示，设正方体的棱长为 卜，则四面体的棱长为也占，S 士 4 x 求也3 * a 2

15、J3a2 = 8x3 I其表面积2 工，得1a = 2,所以正方体的体积是.本题主要考查了多面体的体积的计算问题，其中解答中熟记正四面体的表面积的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基 础题.lx = 2pt212 .已知抛物线C的参数方程为112Pt （I为参数，P>d）,其焦点为，顶点为。，准 线为L过点F斜率为晒的直线与抛物线C交于点A 在入轴的上方），过勺怖于点日,若/SBOf的面积为2 ,则P =【解析】把抛物线C的参数方程化为普通方程，写出过交点F的斜率为阐的直线方程,与抛物线方程联立，求出点 A的坐标，写出点 B的坐标，利用AB。

16、的面积列出方程,即可求出P的值.【详解】仅=2pt3抛物线C的参数方程为iv=2pt （1为参数，口 ）,）,pP7%。）X =-消去参数t,化为Y =2px,其焦点坐标为2 ,准线方程为2占y =例x-3过焦点F且斜率为的直线方程为2 ,|1V =尿由 | /=2 邨，整理得 12-2OpK + mp' = O,31x= -p x = -p 解得 2或 6 （不合题意，舍去），*= P 2 clA P木p）&（p'3p）所以当 2时，V八国,所以点2 ，所以2SiBOf = - 0F|p yE =- d t/3P = p =-所以ABOF的面积为的2 B 2 2r 4

17、2解得b=币.本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了三角形的面积的计算问题，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，求解交点的坐标，再利用三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试第9页共21页13.设a>l,bAd,若d1b的最小值为2121+ - - ( - + b)【解析】由已知可得3-i*b = l,从而有a-1 b 3-1 b，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为日1由2满足*5 = 2所以卜-1 +匕=1,且a-1 >。1b>0,?2b a-1当且仅当a-1 b且d+b = 2,即占=3

18、-立足=业-1时取得最小值3s.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解 答问题的能力，属于中档试题，口分别为线段品和14.在梯形 ABCD 中，A”CDi = BC=2,3=S=120°- 1 _J - DQ = DC- - CD上的动点，且8P"BC, 6A ,则AP-BQ的最大值为 【解析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算，求得八p,bq的解析式，进而求得实 数人的取值范围，在利用函数的单调性，求得最值，即可得到答案【详解】由题意，梯形 ABCD

19、 中,AB"CD,AB = BC = 2,CD = 14CD = 120口- 1 一- DQ = -DC因为BP叫， 6A ,AP 6Q=(A& + 6P|- (BC + CQ| = (AB + XBC) (BC + -<D) 则6人6A-1 -1-6A -=AB-BC+6AAB CD + XBC +CB CDo 6h-12 1-6A-2 x 2COS120舅 2 乂 1 + 入 * 2 +x 2 « 1 x11 25()=5X + 23A 6因为1 25,f(A) = 5X + -认6 ,则在1 -J1上单调递增,所以当入=1时，fd取得最大值6.本题主要考

20、查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题,同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算,式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题三、解答题15.在杉白匚中，内角k，B，C所对的边分别为2 cos(n-B)-3asinB =6csinA(I )求边日的值;nCOS(2 B + )3的值.(n)明15-118【解析】(I)由已知利用诱导公式，可求csB得值，利用正弦定理化简已知等式可求得旨的值，再根据余弦定理可解得总的值;(H)利用同角三角函数的基本关系式可求得sinB的值，根据二倍角公式可求得Hn2%cq$2B的值，进而根据两角和的余

21、弦函数公式，即可求解 【详解】,2cosn - B| = cosB =-(I)由不得 3,因为卜=耳,由得砧=M，.卜=琳,由余弦定理2a式3日，得3a%心- 15 = 0,El5解得？或a3 (舍)，3(H)由1 co$2B =>9砧sir2B =-9nnn 415-1cos( 2 B + ) = cos2 Bcos- sin2Bsin-.,I33318【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 16 .某高中志愿者部有男

22、志愿者 6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务 工作.从这些人中随机抽取 4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.(1)设“为事件：负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者b”, 求事件M发生的概率x的分布列与数学期望(n)设”表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量4【答案】(I)5 (n)详见解析【解析】(I)由题意，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解的值；(n)由题意得出随机变量 乂的取自，计算对应的概率值，写出 X的分布列，求出数学期望.【详解】(I)事件为M的基本事件的总数为事件M包含基本事件的个数为品 564P(M)=8 210 15 c

23、io(n)由题意知*可取的值为：0, 1, 2, 3, 4 .P(X = 1)=4210 21则C； 1P(X = 0)=-r4 210 cio因此X的分布列为012341|aj3|41 1£1P5120X的数学期望是8+ 3 P(X = 3) + 4x P(X = 4>=- E(X) *0*P(X-0) + 1 xp(X - 1) + 2 xp(x-215【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答中认真审题，合理准确求解随机变量取每个值对应的概率，利用公式求解 数学期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基

24、础题17 .如图，已知梯形 ABCD中，ADIBC, DAB=90' , *B = BC = 2M) = 2 四边形 E"F 为矩形，DE = 2|,平面EDCF，平面ABC口.(I )求证：口F I平面ABE；(n )求平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值；西(m)若点P在线段EF上，且直线Ap|与平面HEF所成角的正弦值为14 ,求线段AP|的长./ 八14【答案】(I)详见解析(n)5(出)3【解析】(I)以口为原点，DA所在直线为X轴，DE所在直线为；z轴建立空间直角坐标系， 求得平面ABE的法向量m,利用向量的数量积，求得DF±m,即可得到DF II平

25、面ABE .(n)由(I)求得平面 昌EF的一个法向量n = (2,1,2),利用向量的夹角公式，即可求解 平面AM与平面REF所成二面角的正弦值.(出)设EP6EF,卜£0/1,得余=&*由=卜1认认2),利用向量的夹角公式，列出、1方程，求得 3,得到向量的坐标，进而求解AP|的长.【详解】(I)证明：四边形EDO为矩形，DEJXD,又平面EDCF _L平面ABCD,平面EDCF仆平面4BCD = CD ,EDI 平面 ABCD.取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为k轴建立空间直角坐标系，如图，则川恭，qr,2,0), EQOZ, +122),设平面 |ABE

26、的法向量 m = (W), . BE = | 1,27),阚=IO7(O)(0E n = 0 L - k 2y + 2z = 0_由 |AB-n = O得 2y-0 ，不妨设 m =又 DF = (-L2 力.DF 6 = 2 + 0 + 2 = 0, QF_LG,又二DF平面ABE. OF II平面ABE(n)设平面BEF的法向量门=优¥罔EF =( -10)BE - n = 0由EF n=0 得I 7*2丫 =。一m n 4+2 玷 costm.n) - - = l =''ImllM 加5 5-16£in(mpn) = ABE与平面BET所成二面角的正弦

27、值为(出)二.点P在线段EF上,设EP = AEF, AEOUAP =AE + AEF = (-1。2) + A - 120) -(-1 A2M)又平面REF的法向量n = QJZ,设直线AP与平面BEF所成角为日，一 |AP*n| _ |2(-1-M2A44| _sine = |co&(AP,n) =-； 一|AP|g3八球+小1I.45X18X11 = 0，(稣515211) =。，TA =-AE 1043 1 4 2- I 4 2 2 22#427sAP = (* - - 2)AP= k?+匕)+4 工工,3 3 ,.333 ,加的长为3 .【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几

28、何中的应用，其中解答中熟记空间向量在线面位置关系中的应用，以及熟记空间向量的夹角公式在空间角求解中的应用是解答的关键，同时建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面法向量是解答的基础，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.18 .设瓦,是等差数列，1以是等比数列，公比大于0.已知，叫=1 ,电+ aJ4=l噌工=%?(I )求数列%，出口的通项公式；1 c - 1 +.(H)设/% c厂%HEN )(i )求，;证明【答案】3 =n bn = H(I) H ,2； (n) ( i)_2(n+i)“口+ 2 ； ( ii)详见解析.【解析】(I)设数列S J的首项为31,公差为d ,数列bj的公比为

29、q ,根据等差、等比数列的通项公式，列出方程，求得 n*浦的值即可求解数列的通项公式;1 (n + l)(n ¥ 1c = 1 +-(n)由题意, 仆+2) ng + 2)，则(i)中，即可求得_ 1 1 £耳比/1(ii)化简 蜂 4 2卜(k+l)rk“利用裂项法，求解X 52(H + 1)即可作出证明【详解】(I)设数列也J的首项为%,公差为-,数列1%的公比为q口 )0 51q 二一 2由同* aJ4=i,曰也=3厂气解得%= 1, d = l1VL an=n n 2 ?.1 (n + l)(n+ 1) c = *=(n)设" n(n + 2) n(n +

30、 2),则+ l)(n+ 1) 2(n + 1) n(n + 2) n + 2(i ) (ii )11111 11 n - 2“ m + lJ Q" 7 (n + l1 2n +1 12 02 g + i)H"【点睛】 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求数列求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等19.设椭圆/ 的右顶点为A ,上顶点为B.已知椭圆的离心率为3|AB|了

31、(I )求椭圆的标准方程;(n )设直线I： 丫"kWk<Ol与椭圆交于M, N两点，且点M在第二象限.1与AB延长线交于点P,若WP的面积是1agMN面积的3倍，求k的值.x v8一+ = 1-一【答案】(I)9 4(n)9【解析】(I)设椭圆的焦距为2c,根据题意列出方程组，求得 a = 3, b = 2,即可求解椭圆的方程;(II )设点 WFVj,由题意，且,由aBNP 的面积是 A日MN面积的3倍，可得 = 5%,联立方程求得 叼的值，即可求解k的值.(II )设点W力)，巴3，,由题意，'<"J。且N(、“)由ABNP的面积是ABMN面积的3

32、倍，可得|PM|=3|MN|, 所以 PN = 3MN 从而 J *i,小”一 片)=引 r 1 - 0 一 力 Tj所以|7厂” =邓一q-q,即=5*1.伊*3%6%=上易知直线AB的方程为2* + a = 6,由消去丫，可得 3k+ 2 21伊 y 一+ = 1 9 4% =由方程组！ v = kx消去V,可得 630由=5%可得弘+ 2麻不 B 工k斗1 e 一整理得18k +2Sk*g=O,解得 g,或 2 S1k = ,k = 1当9时，=19<0,符合题意；当，时，=12>0,不符合题意，舍去.8 所以，k的值为9.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及直线

33、与椭圆的位置关系的应用问题，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及联立方程组，利用直线与圆锥曲线的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.已知函数其中a,b£R, g = 2_7iS28为自然对数的底数.理（刈是F同的导函数.（I ）若a = l时，函数8仪）在k = °处的切线经过点口二1）,求b的值;（n ）求函数g（M在区间-1,01上的单调区间；（出）若加4函数*1在区间卜1期内有零点,求己的取值范围2 1（工一/ ）【答案】（I ） 1 （n）详见解析（m） ee【解析】（I）a = l时，利用导数的几何意义

34、，求得切线斜率k =1,切点坐标（CU-»即可求解切线的方程，进而求解打得值；（II ）求得函数）的导数目冈=1北，根据g在卜1单调递增，转化为1g（x）G （-2aj 2ae,分类讨论，即可求解函数 驮刈的单调区间；1 x1b = a + 1 - - g（x） = e - 2ax （a * 1 - T（m）由卜11=。得：史，得e ,由已知，设、为f在区间卜，。）内的一个零点，则由"'1）= '%卜'他）二°可知3在区间（-1，口）上至少有三个单调区间，得到 名在区间 J"内存在零点，在区间（'内也存在零点.贝闾京在区间1 = 1，°）内至少有两个零点，由（II）可知，列出不等式组，即可求解.【详解】（I）a=l时，仙=g= lb, =切线斜率k -4。）切点坐标（°-3.切线方程¥ Tl - b） =7切线经过点 ET）,，-1-口川=-1. b-i（II）, g（x） = e2ax*b g=, 1I- * I l.八g（x）E -2afl-2a.g=e 2在I 1,0单调递增，. e1 1。2a 之 0a *