第3章收敛与混沌

1、第第3章章 收敛与混沌收敛与混沌3.1 不动点与迭代不动点与迭代p什么是迭代什么是迭代n任意给定一个输入值任意给定一个输入值x，由一个函数表达式，由一个函数表达式f得到一个输得到一个输出出f(x)；再将；再将f(x) 作为新的输入作为新的输入x，得到下一个输出，得到下一个输出f(x) ； ，这种对某个函数规则，这种对某个函数规则f反复将输出作为新输反复将输出作为新输入的重复执行过程就称为入的重复执行过程就称为迭代迭代，数学表示为。，数学表示为。xn+1 = f(xn)，n=0,1, , 函数函数f(x)称为迭代函数，数列称为迭代函数，数列xn称为迭代数列，称为迭代数列，x0 称为迭代初值。称为

2、迭代初值。n无穷迭代的趋势可能稳定无穷迭代的趋势可能稳定(收敛收敛)，也可能不稳定，也可能不稳定(发散发散)。对任何正数初值，迭代产生的数列是收敛的，就称迭代对任何正数初值，迭代产生的数列是收敛的，就称迭代是收敛的。如果迭代产生的数列是跳跃的，就称迭代是是收敛的。如果迭代产生的数列是跳跃的，就称迭代是发散的发散的3.1 不动点与迭代不动点与迭代不动点不动点定义：对函数定义：对函数f(x)，如果存在点，如果存在点u，使，使f(u)=u，则称则称u为为f(x)的一个的一个不动点不动点。一个函数的不动点可能不惟一，在函数不同的一个函数的不动点可能不惟一，在函数不同的不动点附近迭代的情况可能有很大区别

3、。例如不动点附近迭代的情况可能有很大区别。例如x=0与与x=1都是都是f(x)=sqrt(x)的不动点，但是，的不动点，但是，在在x=1和和x=0附近，迭代情况大不一样，在附近，迭代情况大不一样，在x=1附近的任何初值附近的任何初值x0 (0)迭代过程都收敛于该不迭代过程都收敛于该不动点动点x=1，称此不动点为，称此不动点为吸引的吸引的，在，在x=0附近的附近的任何初值任何初值x0 (0)，迭代过程都不会收敛于不动，迭代过程都不会收敛于不动点点x=0，称此不动点为，称此不动点为排斥的排斥的p如果迭代函数是线性如果迭代函数是线性(如：如：f(x)=ax+b)，就称为就称为线性迭代线性迭代，否则，

4、称为，否则，称为非线性迭代非线性迭代3.2 图示迭代数列图示迭代数列3.2 图示迭代数列图示迭代数列二次函数二次函数 f(x)=ax(1-x)的收敛性的收敛性p迭代过程迭代过程 xn =axn-1(1-xn-1)p函数的收敛性函数的收敛性p若若a(0,1，则迭代对于任何除不动点以外的，则迭代对于任何除不动点以外的初值都是收敛的，并收敛于不动点初值都是收敛的，并收敛于不动点x=0p若若a1,3)，则迭代对于任何除不动点以外的初，则迭代对于任何除不动点以外的初值都是收敛的，并收敛于不动点值都是收敛的，并收敛于不动点x=1-1/ap若若a3,4，随着参数，随着参数a取值的增大，迭代数列会取值的增大，

5、迭代数列会出现诸如收敛、周期振荡、分岔、混沌等现象出现诸如收敛、周期振荡、分岔、混沌等现象p对于对于a的某个取值，当的某个取值，当n充分大时，如果迭代数充分大时，如果迭代数列在列在k个值个值x之间周期性地来回振荡，则称该迭之间周期性地来回振荡，则称该迭代数列为代数列为k-周期周期3.2 图示迭代数列图示迭代数列线性联结图联结相邻迭代点列的折线所形成的图形，就称为线性联结图，联结相邻迭代点列的折线所形成的图形，就称为线性联结图，即联接两个点即联接两个点(n,xn )与与(n+1,xn+1 )的折线图形的折线图形为更好地揭示迭代数列在无穷远处的变化规律，可以去掉迭代为更好地揭示迭代数列在无穷远处的

6、变化规律，可以去掉迭代数列前面若干项，如去掉前面数列前面若干项，如去掉前面10000项，而只显示从项，而只显示从10001项项开始的一段迭代数列开始的一段迭代数列3.2 图示迭代数列图示迭代数列a=3.8024681012141618200.10.20.30.40.50.60.70.80.91线性联结图线性联结图 xn =axn-1(1-xn-1)3.2 图示迭代数列图示迭代数列051015200.50.60.70.80.9051015200.20.40.60.81051015200.20.40.60.810510152000.20.40.60.81a=3.2时，呈时，呈2-周期振荡周期振荡a

7、=3.5时，呈时，呈4-周期振荡周期振荡a=3.5644a=3.8284线性联结图线性联结图 xn =axn-1(1-xn-1)3.2 图示迭代数列图示迭代数列蛛网图第一步，过直线y=x上点An (横坐标为xn )作垂线与y=f(x)相交于Bn 点第二步，过Bn 点作水平线与y=x相交于An+1点第三步， An+1点的横坐标就是xn+1 ，再以为开始点，返回到第一步进行迭代3.2 图示迭代数列图示迭代数列蛛网图-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.81pxn =axn-1(1-xn-1)3.2 图示迭代数列图示迭代数列-0.200.20.40.60.811.

8、2-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.81当a=3.2时，呈现2-周期，a=3.5时，呈现4-周期a=3.2a=3.5蛛网图 f(x)=ax(1-x)3.2 图示迭代数列图示迭代数列-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.81a=3.5644a=3.8284蛛网图 f(x)=ax(1-x)当a=3.5644时，呈现8-周期，a=3.8284时，呈现3-周期3.2 图示迭代数列图示迭代数列2.833.23.43.

9、63.840.10.20.30.40.50.60.70.80.91费根鲍姆图1 f(x)=ax(1-x)图中分别给出了图中分别给出了a=2.9 3.2 3.5 3.5644 3.7 3.8285a=2.9 3.2 3.5 3.5644 3.7 3.8285时前时前10001000项结果项结果的的费根鲍姆图，迭代的初始值费根鲍姆图，迭代的初始值x x0 0 =0.2 =0.2，图中所示的周期性不太清楚，图中所示的周期性不太清楚 3.2 图示迭代数列图示迭代数列2.833.23.43.63.840.10.20.30.40.50.60.70.80.91图中分别给出了图中分别给出了a=2.9 3.2

10、3.5 3.5644 3.7 3.8285a=2.9 3.2 3.5 3.5644 3.7 3.8285时去掉前时去掉前1000010000项项后后10001000项结果的项结果的费根鲍姆图，图中所示的规律为：收敛、费根鲍姆图，图中所示的规律为：收敛、2-2-周期、周期、4-4-周期、周期、8-8-周期、混沌和周期、混沌和3-3-周期周期费根鲍姆图2 f(x)=ax(1-x)3.3 分岔与混沌分岔与混沌 从前面的分析得知，对a在3到4之间，除不动点之外的初始值，迭代都是不收敛的 当a(3,3+sqrt(6)，迭代数列在两个值之间来回振荡，即2-周期 当a(3+sqrt(6)，3.54409，迭

11、代数列在四个值之间来回振荡，即4-周期，为前一个阶段周期的两倍，因此又称为倍2-周期现象倍周期3.3 分岔与混沌分岔与混沌分岔 以上由2-周期到4-周期，由4-周期到8-周期，8-周期到16-周期， ，等等的倍周期分裂行为就是所谓的分岔。分岔。随着参数a的取值的增加，分岔频率逐渐加快，保持同一周期的参数取值范围减少，费根鲍姆通过计算机数值计算发现，频率增加的比例趋近于一个常数，这个常数就是f=4.669 201 609 ，被称为费根费根鲍姆常数鲍姆常数3.3 分岔与混沌分岔与混沌图中给出了参数a在2,4上等距离(步长为0.02)取值时的费根鲍姆图22.22.42.62.833.23.43.63

12、.8400.10.20.30.40.50.60.70.80.913.3 分岔与混沌分岔与混沌混沌 当a=3.569 945 672时，以上的倍2-周期分裂行为终止，迭代进入没有周期性规律的复杂模式，并且，迭代数列非常敏感地依赖于初始值x0 的选取，这种不规则性与不可预测性，就是所谓的混沌3.4 二元函数迭代二元函数迭代 有两个二元函数f(x,y)，g(x,y)，构造迭代过程如下： xn+1 =f(xn ,yn ) yn+1 =g(xn ,yn ) 由此产生的数列xn ,yn ，可以看成两个数列xn ，yn ，因此完全可以用一元迭代数列的收敛性来考察二元迭代过程的收敛性。 若 u=f(u,v)，

13、v=g(u,v)，则称(u,v)为二元迭代函数(f,g)的不动点3.4 二元函数迭代二元函数迭代高斯算术几何平均数列二元函数 f(x,y)=1/2(x+y)，g(x,y)=产生的迭代数列 xn+1 =1/2(xn+yn) yn+1=就是著名的高斯算术几何平均数列可以证明 高斯算术几何平均数列对于任何非负初值xn=a，yn=b都是收敛的，并且两个数列收敛的极限相同，但其极限值依赖于初值a，bxynnx y3.4 二元函数迭代二元函数迭代01234567891000.20.40.60.811.21.41.61.8201234567891000.20.40.60.811.21.41.61.82数列x

14、n数列yn图中给出了10个不同迭代初始值产生的前10个点的线性联结图，从图中可以看出，对于每一个迭代初值，两个数列都是收敛的，从而二元迭代是收敛的，但是其收敛极限依赖于迭代初值3.4 二元函数迭代二元函数迭代旋转数列对于二元函数迭代数列xn+1 =a(xn- yn)， yn+1 =a( xn+yn) ，n=0,1,参数a(0,+)，该二元函数迭代只有一个不动点为(0,0)可以证明对于参数a0,0.5)，迭代数列(xn,yn)对于任何初值(x0,y0)都收敛于不动点(0,0)对于参数a0.5,+)，迭代数列(xn,yn)对于任何初值(x0,y0)都不收敛333.4 二元函数迭代二元函数迭代012

15、345678910-1-0.500.511.52012345678910-1-0.500.511.52数列xn数列yn图中给出参数a=1/3，由10个不同初始值产生的迭代数列的前10项的线性联结图，可以看出，对于这10个初始值，迭代都是收敛的3.4 二元函数迭代二元函数迭代海伦数列如下数列就是由海伦映射产生的迭代数列，称为海伦数列xn+1 =xncos-(yn- )sin， yn+1 =xn sin +(yn- ) cos n=0,1,该二元函数迭代有两个不动点，其中之一为(0,0)对于除不动点以外的任何初值(x0 ,y0)，产生的迭代数列(xn ,yn)都不收敛，数列变化呈珊两种模式：有界振

16、荡或趋向无穷大2nx2nx3.4 二元函数迭代二元函数迭代0510152025303540-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810510152025303540-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81线性联结图 迭代初始值(0.5 , 0.5)，参数a=1.4，除去前10000项，可以看出迭代不收敛数列xn数列yn3.4 二元函数迭代二元函数迭代-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.5140个点400个点80个点4000个点图中给出了海伦数列当参数a=1.4，初值为(0.5 , 0.5)时的40个点、80个点、400个点和4000个点的散