第2章矩阵运算基础

1、第2章 矩阵运算基础矢量:一行或一列元素标量:有一个元素数组运算：以数组的元素为运算对象矩阵运算：以矩阵整体为对象一、一、矩阵的创建矩阵的创建1、命令窗口直接命令窗口直接创建创建整个矩阵元素包含在整个矩阵元素包含在“”内内行与行之间以行与行之间以分号分号(；)或或Enter键键分隔；分隔；行内的元素间用行内的元素间用逗号逗号(,)或或空格空格分隔分隔；矩阵大小可以不必预先定义矩阵大小可以不必预先定义矩阵元素可以是数值、表达式或函数，矩阵元素可以是数值、表达式或函数，表表达式或函数的值是能计算出来的，不能是达式或函数的值是能计算出来的，不能是未知变量未知变量；矩阵元素可以是复数（矩阵元素可以是复

2、数（complex）:用书写用书写方法直接输入（虚数单位用方法直接输入（虚数单位用i或或j表示）表示） ；或；或用一个矩阵表示复数的实部，另一个矩阵用一个矩阵表示复数的实部，另一个矩阵表示矩阵的虚部，最后将两个矩阵相加；表示矩阵的虚部，最后将两个矩阵相加； 矩阵矩阵“”内无任何元素时，称之为空阵；内无任何元素时，称之为空阵；加例加例:2-1加例加例2-1A=2345;3456;4567;78910等同于：等同于：A=23453456456778910 x=2;y=pi/3A=2,3,cos(y);x,2*x,3*x;x,x/2,x/4%表达式表达式A1=2+3i,3+4i,4;1+2i,2+3

3、i,5;7,9,2+3i%复数复数等同于：等同于：B=2,3,4;1,2,5;7,9,2C=3,4,0;2,3,0;0,0,3A2=B+C*i2、编辑器（、编辑器（MatrixEditor）创建）创建:当要当要建立较大的矩阵时使用建立较大的矩阵时使用预先定义变量预先定义变量打开工作空间浏览器打开工作空间浏览器打开矩阵编辑器打开矩阵编辑器改变元素值改变元素值改变矩阵维数改变矩阵维数可以实现与Excel功能互补3、矩阵函数、矩阵函数zeros全零矩阵全零矩阵ones全幺矩阵全幺矩阵eye生成单位阵生成单位阵加例2-2A=zero(3,4)%2个参数个参数B=ones(size(A)%形成与形成与A

4、结构相同的全结构相同的全1矩阵矩阵C=eye(6)%1个参数个参数D=eye(3,5)4、从外部数据文件调入矩阵、从外部数据文件调入矩阵命令命令调入文本文件调入文本文件格式：格式：loadfilename.dat/txt菜单菜单:FileImportdata选择文件选择文件Finish矩阵进入工作环境矩阵进入工作环境说明说明:1 1、文本文件中数据要排成一个矩形表文本文件中数据要排成一个矩形表, ,数数据之间用空格分开据之间用空格分开, ,一行数据即为矩阵的一行一行数据即为矩阵的一行, ,且且各行数据元素个数必须相等各行数据元素个数必须相等2 2、文本文件中数据之间用制表符分开文本文件中数据之

5、间用制表符分开, ,形形如如EXCELEXCEL的数据格式（的数据格式（TabTab）例：例：读入默认格式：读入默认格式：laodtest.mat导入文本文件导入文本文件import：loadtest.txt5、 矩阵元素的标识矩阵元素的标识q矢量的生成矢量的生成利用冒号利用冒号(:)加例加例:2-3a)x=i:j步长为步长为1,当当ij时时,生成生成x空矢量空矢量;b)x=i:j:k如：如：j0,则则ik,生成均匀等分矢量生成均匀等分矢量,步长为步长为j;如：如：jk,生成均匀等分矢量生成均匀等分矢量,步长步长为为-|j|;加例2-3a=1:6b=2:2:10c=0:-1:2%步长为步长为-

6、1d=8:1:4q矩阵元素的矩阵元素的标识标识:元素和子矩阵可以用标元素和子矩阵可以用标量、矢量和冒号的标识来引用和赋值量、矢量和冒号的标识来引用和赋值子矩阵的序号矢量标识方式子矩阵的序号矢量标识方式A(u,v)u,v是可以任意排列的矢量（不是特别要求，是可以任意排列的矢量（不是特别要求，最好使用最好使用单调单调序号），分别表示子矩阵元素在序号），分别表示子矩阵元素在母矩阵中的行号和列号。母矩阵中的行号和列号。“纯纯”冒号，形如冒号，形如A(L1,:)：表示子矩阵是：表示子矩阵是母矩阵母矩阵L1行的所有元素，行的所有元素，A(:,L2)：表示子：表示子矩阵是母矩阵矩阵是母矩阵L2列的所有元素，

7、列的所有元素，A(:,:):矩阵矩阵的所有元素的所有元素。加例：加例：2-4 A=magic(4)A1=A(1:2,1,2,4) %提取第提取第1,2行；第行；第1,2,4列的元素列的元素A2=A(4，1，：，：) %提取第提取第4,1行的元素，注意先后行的元素，注意先后A(1,3,2,4)=0 %第第1,3行；第行；第2,4列的元素置零列的元素置零单下标标识，元素排序：第单下标标识，元素排序：第1列第列第1行元素行元素,第第1列第列第2行行元素元素第第1列最后列最后1行元素行元素,第第2列第列第1行元素行元素,第第2列第列第2行元素行元素第第2列最后列最后1行元行元素素如此类推如此类推,对于

8、矩阵对于矩阵(m,n)的第的第i行第行第j列元素的单下标列元素的单下标k=m(j-1)+i 加例：加例：2-5987654321A963852741)9()8()7()6()5()4()3()2()1 (AAAAAAAAA二二、矩阵和数组的算术运算矩阵和数组的算术运算1、矩阵和数组的加减运算、矩阵和数组的加减运算二者没有区别，都是元素间的加减，只二者没有区别，都是元素间的加减，只是参加加减运算的两个矩阵结构要相同。是参加加减运算的两个矩阵结构要相同。【例【例2-42-4】两个矩阵分别为】两个矩阵分别为1 2 3;4 5 6;7 8 91 2 3;4 5 6;7 8 9和和1 1 1;2 1 1

9、 1;2 2 2;3 3 32 2;3 3 3， 求两者相加的和。求两者相加的和。a=123;456;789;b=111;222;333;c=a+b【例【例2-52-5】两个矩阵分别为】两个矩阵分别为1 2 3;4 5 6;7 8 91 2 3;4 5 6;7 8 9和和1 1 11 1 1，阶数不同，求两者相减的差。阶数不同，求两者相减的差。a=123;456;789;b=111;c=a-b；%错误提示：错误提示：Matrixdimensionsmustagree.2、矩阵的乘法、矩阵的乘法* 矩阵乘法运算要符合线性代数矩阵运算的要求：矩阵乘法运算要符合线性代数矩阵运算的要求：左边矩阵的列数

10、与右边矩阵的行数相同。左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相同。【例【例2-62-6】两个矩阵相乘，矩阵】两个矩阵相乘，矩阵a a为为 ，矩阵，矩阵b b为，分别为，分别计算计算c=ac=a* *b b和和d=bd=b* *a a。a=123;456;789;b=123;c1=a*bc2=b*a%将出现错误将出现错误computer计算机类型计算机类型eps计算相对精度计算相对精度i,j复数中的虚数单位复数中的虚数单位pi圆周率圆周率realmax计算机能够显示的最大浮点数计算机能够显示的最大浮点数realmin计算机能够显示的最小浮点数计算机能够显示的最小浮点数version字符串格式的字符串格式

11、的MATLAB版本版本usigular奇异阵奇异阵uBadlyscaled病态阵病态阵uinfMatlab用来表示无穷大的专用用来表示无穷大的专用变量，可以避免零溢出（变量，可以避免零溢出（zerooverflow）uInnermatrixdimensionsmustagree矩阵相乘出错：维数不对矩阵相乘出错：维数不对错误提示信息说明错误提示信息说明3、数组的乘（数组的乘（.*）、除法（）、除法（./右除、右除、.左除）左除）数组乘、除法仍是元素间的运算，有时称数组乘、除法仍是元素间的运算，有时称之为之为“点运算点运算”。作除数的矩阵其元素应是。作除数的矩阵其元素应是非零，作除数的标量也应是

12、非零的。非零，作除数的标量也应是非零的。同结构数组间的乘除运算同结构数组间的乘除运算A.*B:A的元素乘以的元素乘以B的对应元素的对应元素A./B:A的元素除以的元素除以B的对应元素的对应元素A.B:B的元素除以的元素除以A的对应元素的对应元素数组数组B与标量与标量c间的乘除运算间的乘除运算c.*B=B.*:B的每一个元素乘以的每一个元素乘以cc./B=B.c:c除以除以B的每一个元素的每一个元素c.B=B./c:B的每一个元素除以的每一个元素除以c【例【例2-72-7】两个数组相乘，数组】两个数组相乘，数组a a为为 ，数组，数组b b为为 ，求两数组的乘法。，求两数组的乘法。a=123;b

13、=456;d=5c1=a.*bC2=d.*a【例【例2-92-9】数组】数组a a为为 ，数组，数组b b为为 ，求两数组的，求两数组的除法。除法。a=123;b=456;d=5c=a.bc=b./ac3=d./ac4=d.a4、矩阵的除法、矩阵的除法/、矩阵除法运算要符合线性代数矩阵运算的要求：矩阵除法运算要符合线性代数矩阵运算的要求：右除右除a/b:a矩阵矩阵列数列数等于等于b矩阵矩阵列数列数左除左除ab:a矩矩行数行数等于等于b矩阵矩阵行数行数作除数的矩阵应是作除数的矩阵应是非奇异非奇异的的【例【例2-82-8】两个矩阵相除】两个矩阵相除, ,矩阵矩阵a a和和b b均为均为3 33 3

14、阶矩阵。阶矩阵。a=rand(3)b=rand(3)c=a/bd=ba5、矩阵的幂、矩阵的幂apla是矩阵，是矩阵，p为标量为标量a是方阵是方阵p是大于是大于1的整数时，则的整数时，则a自乘自乘p次次当当p为负整数时，表示方阵直接自乘为负整数时，表示方阵直接自乘p次后的逆次后的逆当当p为为0时，将给出和方阵时，将给出和方阵A同维的单位阵。同维的单位阵。p为小数时，为小数时，ap=v*d.p*/v,v,d=eig(a)la是标量，是标量，p为方阵为方阵ap=v*ad/v,v,d=eig(p)la是标量，是标量，p不不为方阵，则为方阵，则ap是错误的是错误的【例【例2-102-10】矩阵】矩阵a

15、a为为1 2;3 41 2;3 4，求它的，求它的1.51.5次幂。次幂。a=1 2;3 4;a=1 2;3 4;c=a1.56、数组的幂、数组的幂a.pla是矩阵，是矩阵，p为矩阵为矩阵,且且a与与p的结构相同的结构相同a与与p对应位置元素进行幂运算：对应位置元素进行幂运算：a(i).p(i)la是矩阵，是矩阵，p为标量为标量a每一个元素与每一个元素与p进行幂运算：进行幂运算：a(i).pla是标量，是标量，p为矩阵为矩阵a与与p的每一个元素进行幂运算：的每一个元素进行幂运算：a.p(i)【例【例2-112-11】数组】数组a a为为1 2 31 2 3，数组，数组b b为为4 5 64 5

16、 6，求数组的幂求数组的幂c=a.bc=a.b。a=1 2 3;a=1 2 3;b=4 5 6;b=4 5 6;c=a.bc=a.b【例【例2-122-12】数组】数组a a为为1 2 31 2 3，求数组的幂，求数组的幂c=a.2c=a.2。a=1 2 3;a=1 2 3;c=a.2c=a.2【例【例2-132-13】数组】数组a a为为1 2 31 2 3，求数组的幂运算，求数组的幂运算c=2.ac=2.a。a=1 2 3;a=1 2 3;c=2.ac=2.a7、矩阵的转置、矩阵的转置a或或a.la:矩阵矩阵a的共轭转置的共轭转置la.:矩阵矩阵a的转置的转置l若若a是实数矩阵，则是实数矩

17、阵，则a=a.【例【例2-142-14】矩阵】矩阵a a为为1 2 3;4 5 6;7 8 91 2 3;4 5 6;7 8 9，计算，计算a a的转置。的转置。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;c=ac=a【例【例2-152-15】矩阵】矩阵a a为为1+2i 3+4i,1+2i 3+4i,计算计算a a的转置。的转置。a=1+2i 3+4i;a=1+2i 3+4i;c=ac=ac=a.c=a.三、关系运算和逻辑运算三、关系运算和逻辑运算MATLAB对此类运算符有如下规定：对此类运算符有如下规定：l所有的关系表达式或逻辑表达式中，任何非所有的关系

18、表达式或逻辑表达式中，任何非0 0数都是数都是“逻辑真逻辑真”，只有，只有0 0才是才是“逻辑假逻辑假”l关系表达式或逻辑表达式的计算结果是一个关系表达式或逻辑表达式的计算结果是一个由由0 0和和1 1组成的组成的“逻辑数组逻辑数组(Logical Array)”,(Logical Array)”,数组中数组中1 1表示真，表示真，0 0表示假表示假l逻辑数组是一种特殊的数值数组，对逻辑数组是一种特殊的数值数组，对“数值数值数组数组”操作有关命令和函数也适用它；同时又操作有关命令和函数也适用它；同时又具有自身的具有自身的特殊用途特殊用途l优先级别：优先级别： 算术运算算术运算关系运算关系运算逻

19、辑运算逻辑运算 1、关系运算、关系运算两个标量两个标量a、b比较：成立为比较：成立为1，反之为，反之为0一个一个标量标量a和一个和一个数组数组B比较：比较：a与与B中的每一个中的每一个元素进行比较，运算元素进行比较，运算结果是与结果是与B同维的逻辑数组同维的逻辑数组C，C由由0和和1组成组成两个同维的数组两个同维的数组A、B比较：比较：A与与B同位置的元素同位置的元素进行比较，运算结果是与进行比较，运算结果是与A、B同维的同维的逻辑数组逻辑数组C，C由由0和和1组成组成小于小于大于等于大于等于小于等于小于等于等于等于大于大于不等于不等于【例【例2-162-16】矩阵】矩阵a a和和b b均为均

20、为1 13 3阶矩阵，使用阶矩阵，使用关系运算符对对应元素进行比较。关系运算符对对应元素进行比较。a=0-12;b=-312;ababa=ba=ba=b2、逻辑运算、逻辑运算&:&:逻辑与，对应元素均为非逻辑与，对应元素均为非0 0时，结果为时，结果为1 1，否则为，否则为0 0|:|:逻辑或，对应元素有一个为非逻辑或，对应元素有一个为非0 0时，结果为时，结果为1 1，否，否则为则为0 0:“:“逻辑非逻辑非”运算是一元运算符：非运算是一元运算符：非0 0元素的逻辑非元素的逻辑非为为“真真”，用，用1 1表示；表示；0 0元素的逻辑量为假，用元素的逻辑量为假，用0 0表示表示

21、一个标量一个标量a a和一个数组和一个数组B B进行逻辑运算：进行逻辑运算：a a与与B B中的每中的每一个元素进行运算，运算结果是与一个元素进行运算，运算结果是与B B同维的逻辑数组同维的逻辑数组C C，C C由由0 0和和1 1组成组成两个同结构的数组两个同结构的数组A A、B B逻辑运算：逻辑运算：A A与与B B同位置的元同位置的元素进行逻辑运算，运算结果是与素进行逻辑运算，运算结果是与A A、B B同维的逻辑数组同维的逻辑数组C C，C C由由0 0和和1 1组成组成优先级别：逻辑非优先级别：逻辑非逻辑与逻辑与和和逻辑或逻辑或同级同级【例【例2-17】矩阵】矩阵a和和b均为均为23阶

22、矩阵，使用阶矩阵，使用逻辑运算符计算对应元素。逻辑运算符计算对应元素。a=103;0-16;b=-100;050.3;a&ba|bab3、关系函数与逻辑函数、关系函数与逻辑函数lany any 判断判断“向量向量中元素是否有中元素是否有非非0”0”的函数的函数 any(Aany(A) )若若A A为向量，则为向量，则A A中至少有一个元素为非中至少有一个元素为非0 0数，函数值数，函数值为为1 1；所有元素为；所有元素为0 0，则返回，则返回0 0。 若若A A为矩阵，则按列向量判断，若某列有一个元素为为矩阵，则按列向量判断，若某列有一个元素为非非0 0，则该列比较结果为，则该列比较结

23、果为1 1，否则为，否则为0 0。lall all 判断判断“向量向量中中所有元素所有元素是否是否都都是是非非0”0”的函数的函数all(Aall(A) )若若A A为向量，则为向量，则A A中所有元素为非中所有元素为非0 0数，函数值为数，函数值为1 1；有；有一个元素为一个元素为0 0，则返回，则返回0 0。若若A A为矩阵，则按列向量判断，若某列有一个元素为为矩阵，则按列向量判断，若某列有一个元素为0 0，则该列比较结果为则该列比较结果为0 0，否则为，否则为1 1。lfind找出向量或矩阵中非找出向量或矩阵中非0元素的位置和元素的位置和标识标识I=find(X) I=find(X) 返

24、回返回X X中所有中所有非非0 0元素的元素的位置标识位置标识组成的向量，无非组成的向量，无非0 0元素则会返回空值。元素则会返回空值。返回的返回的值为非值为非0 0元素依次元素依次纵向纵向计数位置计数位置( (单下标单下标) )。I,J=find(X) I,J=find(X) 返回返回X X的非的非0 0元素行和列元素行和列的标识，其中的标识，其中I I是行标识，是行标识，J J是列标识是列标识I,J,V=find(X) I,J,V=find(X) 返回返回X X的非的非0 0元素行和元素行和列的标识，其中列的标识，其中I I是行标识，是行标识，J J是列标识，同是列标识，同时将非时将非0

25、0元素的值放入列向量元素的值放入列向量V V中。中。 加例加例:2-6例例:2-6A=048;902;537find(A)%返回返回A中非中非0元素的单下标号元素的单下标号i,j=find(A)i,j,v=find(A)i,jfind(A8%L是是“logicalarray”X=A(L)%将将A中被矩阵中被矩阵L标识的所有元素赋给矢量标识的所有元素赋给矢量XDl=191119111151411514Y=A(Dl)%数值矩阵定位数值矩阵定位四、矩阵函数四、矩阵函数函数名称函数名称功功能能cond(a)矩阵矩阵a的条件数的条件数det(a)方方阵阵a的行列式值的行列式值inv(a)矩阵矩阵a的逆的

26、逆pinv(a)矩阵矩阵a的伪逆的伪逆rank(a)矩阵矩阵a的的秩的的秩expm(a)矩阵矩阵a的指数的指数eam表示表示matrixlogm(a)矩阵矩阵a的对数的对数log(a)norm(a)矩阵矩阵a的范数的范数【例【例2-19】矩阵】矩阵a为为123;456;789，计算，计算a的逆矩阵和伪逆矩阵。的逆矩阵和伪逆矩阵。a=123;456;789;c1=inv(a)%逆逆c2=pinv(a)%伪逆伪逆d=det(a)%行列式的值行列式的值r=rank(a)%秩秩n=norm(a)%范数范数e=expm(a)%指数指数l=logm(a)%对数对数cd=cond(a)%条件数条件数l 通用

27、函数通用函数( (对矩阵元素的函数对矩阵元素的函数) ) 三角函数（数据对象是三角函数（数据对象是弧度弧度）sinsin正弦正弦 asinasin反正弦反正弦 coscos余弦余弦acosacos反余反余胘胘tantan正切正切atanatan反正切反正切secsec正割正割asecasec反正割反正割 如果如果x x0 0是角度，则转为弧度：是角度，则转为弧度：x x* *pi/180pi/180加例加例27：x=60fd=x*pi/180s=sin(fd)as=asin(s)c=cos(fd)ac=acos(c)t=tan(fd)at=atan(t) 指数函数指数函数exp:exp:以以e

28、 e为底的指数为底的指数 pow2:2pow2:2的幂次的幂次log:log:自然对数自然对数 log10:log10:以以1010为底的对数为底的对数log2:log2:以以2 2为底的对数为底的对数 sqrtsqrt: :开平方开平方加例加例28：t=3et=exp(t)pt=pow2(t)lt=log(et)l10=log10(1000)l2=log2(pt)sq=sqrt(9) 复数函数复数函数abs：绝对值，复数的模：绝对值，复数的模angle：相位角：相位角conj：复数的共轭：复数的共轭complex(a,b)=a+j*b=a+i*b构造复数构造复数real：复数实部：复数实部i

29、mag：复数虚部：复数虚部isreal：判断对象是否为实数：判断对象是否为实数,结果为逻辑值结果为逻辑值加例加例29：x=3;y=6z=complex(x,y)zab=abs(z)zan=angle(z)zconj=conj(z)zi=imag(z)zr=real(z) 取整函数取整函数fix：朝零方向取整：朝零方向取整floor：朝负无穷大方向取整，意：地板：朝负无穷大方向取整，意：地板ceil：朝正无穷大方向取整，意：天花板：朝正无穷大方向取整，意：天花板round：四舍五入到：四舍五入到最近最近的整数的整数sign：符号函数，在信号处理中常用：符号函数，在信号处理中常用mod：求余数：求

30、余数,mod(x,y)=x-floor(x./y).*yrem：除后求余数，与平时结果相同，是：除后求余数，与平时结果相同，是整数也可整数也可能是小数能是小数加例加例210:p=3.7; n=-3.7fp=fix(p);fn=fix(n)flp=floor(p);fln=floor(n)cp=ceil(p);cn=ceil(n)rp=round(p);rn=round(n)m1=mod(9,2);m11=9-floor(9./2).*2m2=mod(-9,2);m22=-9-floor(-9./2).*2r1=rem(9,2);r2=rem(-9,2);r3=rem(9.3,2.1)s1=si

31、gn(p); s2=sign(0);s3=sign(n)五、矩阵分解五、矩阵分解l特征值分解特征值分解矩阵矩阵A A的特征矢量的特征矢量与特征值与特征值满足满足AA= =；将特征矢量；将特征矢量合成矩阵合成矩阵V V，特，特征值征值矩阵矩阵对象角上，则对象角上，则AVAVVV。 v,dv,d=eig(a),veig(a),v是是a a的特征矢量矩阵，的特征矢量矩阵，d d是是a a的特征值矩阵，的特征值矩阵，a av v= =v vd dd=d=eig(a),deig(a),d是是a a的特征值矢量的特征值矢量 v,dv,d=eig(a,b),aeig(a,b),a和和b b的广义特征值分解的

32、广义特征值分解a av v= =b bv vd d【例【例2-202-20】矩阵】矩阵a a为为1 2 3;4 5 6;7 8 91 2 3;4 5 6;7 8 9，矩，矩阵阵b b为为-2 1 3;1 4 -2;2 -1 2-2 1 3;1 4 -2;2 -1 2， 计算计算a a和和b b的的广义特征值分解。广义特征值分解。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=-2 1 3;1 4 -2;2 -1 2;d0=eig(a)v1,d1=eig(a)v,d=eig(a,b)a*vl奇异值分解奇异值分解定义定义: :对于任意矩阵对于任意矩阵ACACm mn n, ,存在酉矩存在酉矩阵阵U=u

33、U=u1 1,u,u2 2,u,um m, V=v, V=v1 1,v,v2 2,v vn n,使使得得U UT TAV=diag(AV=diag(1 1,2 2,p p),), 其中其中1 12 2p p0,p=0,p=minm,nminm,n 。 i i, , u ui i,v,vi i 分别称为矩阵分别称为矩阵A A的第的第i i个奇异值、左个奇异值、左奇异矢量和右奇异矢量，而它们的组合称奇异矢量和右奇异矢量，而它们的组合称为奇异值分解三对组。为奇异值分解三对组。酉矩阵酉矩阵u u性质：性质：uu* *u=Eu=EU,S,V=U,S,V=svd(Xsvd(X) ) 产生一个与矩阵产生一个

34、与矩阵X X具有相具有相同维数的矩阵同维数的矩阵S S，S S对角线元素为递减的非负对角线元素为递减的非负值，同时得到酉矩阵值，同时得到酉矩阵U U和和V V，使得，使得X=UX=U* *S S* *VV奇异值分解是矩阵求秩运算的基础奇异值分解是矩阵求秩运算的基础,S=,S=svd(Asvd(A) )得到得到的向量中非零元素的个数就是矩阵的向量中非零元素的个数就是矩阵A A的秩的秩奇异值分解对阶数没有限制，矩阵不一定是方阵奇异值分解对阶数没有限制，矩阵不一定是方阵奇异值分解常用于最小二乘和数据压缩奇异值分解常用于最小二乘和数据压缩【例例2-21】矩阵矩阵a为为11，对矩阵，对矩阵a进行奇异值分

35、解。进行奇异值分解。a=11;u,s,v=svd(a)q1=u*a*vq2=su*u%验证是否酉交阵验证是否酉交阵v*v %验证是否酉交阵验证是否酉交阵lLU分解分解L,U=lu(X)分解为一个分解为一个上三角上三角矩阵矩阵U和一个和一个下下三角矩阵三角矩阵L，使得，使得X=L*U。进行进行lulu分解的分解的X X必须是方阵必须是方阵用于简化大矩阵的行列式值的计算、求逆、解方用于简化大矩阵的行列式值的计算、求逆、解方程程矩阵行列式的值矩阵行列式的值det(Xdet(X)=)=det(Ldet(L) )* *det(Udet(U) )矩阵求逆矩阵求逆inv(Xinv(X)=)=inv(Uinv

36、(U) )* *inv(Linv(L) )lulu分解允许线性方程组分解允许线性方程组Ax=bAx=b进行如下快速运进行如下快速运算：算：x=U(Lb)x=U(Lb)，因为，因为L L* *U U* *x=bx=b【例【例2-22】矩阵】矩阵a为为123;456;789，求，求a的的LU分解。分解。a=123;456;789;l,u=lu(a)l*u=alcholesky(克劳斯克劳斯)分解分解格式格式:R=:R=chol(Xchol(X) )X X为正定矩阵为正定矩阵,R,R是上三角阵是上三角阵, ,且且RR=XRR=X正定矩阵正定矩阵: :对角线元素是正的对角线元素是正的, ,其他元素不太

37、大其他元素不太大正定矩阵的正定矩阵的choleskycholesky 分解是唯一的，得到的分解是唯一的，得到的矩阵为：对角线元素为正的矩阵为：对角线元素为正的上上三角阵三角阵X X如不是正定矩阵如不是正定矩阵, ,则返回错误信息则返回错误信息【例【例2-23】矩阵】矩阵a为为4阶阶pascal矩阵，求矩阵，求a的的Chollesky分解。分解。a=pascal(4)c=chol(a)c*c=alQR分解分解(正交分解正交分解)格式格式:q,rq,r=qr(aqr(a) )q q为正交矩阵为正交矩阵,R,R是与是与a a同同阶的上三角阵阶的上三角阵, ,且且a=qa=q* *r rq q为正交矩

38、阵：为正交矩阵：q.q.* *q=Eq=Er r为与为与a a同阶的上三角实矩阵同阶的上三角实矩阵a a可以不是方阵可以不是方阵【例【例2-242-24】矩阵】矩阵a a为为4 4阶阶pascalpascal矩阵矩阵, ,求求a a的的QRQR分解分解a=pascal(4)q,r=qr(a)q.*q%验证是否正交阵验证是否正交阵q*r-a%验证是否相等验证是否相等六、矩阵的特征殊操作六、矩阵的特征殊操作l特殊矩阵的创建特殊矩阵的创建空阵空阵:全全0 0阵阵: : zeros(m,n,pzeros(m,n,p)单位阵单位阵: :eye(m,neye(m,n) )全全1 1阵阵: :ones(m,

39、n,pones(m,n,p)随机阵随机阵0 0到到1 1的随机阵的随机阵: :rand(m,n,prand(m,n,p)正态分的随机阵正态分的随机阵: :randrandn n(m,n,p(m,n,p)m m、n n、p:p:表示行数、列数、页数等表示行数、列数、页数等l矩阵的特殊操作矩阵的特殊操作重新排列重新排列 reshapereshape系统以母矩阵中元素的系统以母矩阵中元素的单下标单下标为准，根据用户指定的为准，根据用户指定的行数、列数、页数等参数对母矩阵中的元素重新分配行数、列数、页数等参数对母矩阵中的元素重新分配格式：格式：c=c=reshape(a,m,n,preshape(a,m,n,p)母矩阵母矩阵a a的各维