第1节几何证明选讲(选修4-1)

1、选考部分第十一篇选修4系列第1节 几何证明选讲（选修4-1）限时训练规范答题提升能力【选题明细表】知识点、方法题号相似三角形的判定与性质1、2、8圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题10、11、13、15与圆有关的比例线段3、4、5、7、12、16综合应用6、9、141. （2014湖北三校联考）如图所示，矩形ABCD中,E是BC上的点,AE丄DE,BE=4,EC=1 贝卩 AB的长为.解析：法一B=90°/ BAEV AEB=90 .v AE! DE, / AEB+V CED=90 . / BAEV CED, Rt ABE Rt ECD,AS EC=S£ CD'

2、AB=2.法二过E作EF± AD于F.由题知AF=BE=4,DF=CE=1.贝y EF=AF DF=4. AB=EF=2.答案：22. （2013重庆市江津中学模拟）一直角三角形的两条直角边之比是1 : 3,则它们在斜边上的射影的比是 .解析：如图所示，设在Rt ABC中 ,AC丄BC,CDLAB于D,AC=m,BC=3m,则有 AC二AD AB,BC二BD AB,即它们在斜边上的射影的比是1 : 9.答案:1 : 93. （2013重庆市高三学业调研（二）如图所示,AB,CD是圆的两条相交弦，其交点为E,BF/ CD交AD的延长线于F.若AE=3,BE=1,CE=,则线1段FB=解

3、析：由相交弦定理可得jdF T rc a则 DE= 二，ff 4又由BF/ CD可得二匚,A3 BF即得 bf='=3.益 3答案：34. （2013重庆市铜梁中学高三模拟）如图所示,PC切。O于点C,割线PAB经过圆心 O,弦 CDLAB于点 E,PC=4,PB=8，则 CD=.解析：依题意得PC二PAPB,PA= 一 =2,AB=PB-PA=6;连接OC则有OCL PC,-PO- CE=PC- OC,故 CE 二,CD=2CE二.?055答案：-55. （2012年高考陕西卷）如图所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E,EF丄DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,贝卩DF-

4、 DB .解析：由相交弦定理可知 ED二AEEB=1X 5=5,又由射影定理，得DF- DB=ED=5.答案：56. （2012年高考湖北卷）如图，点D在。O的弦AB上移动,AB=4,连接 OD过点D作OD的垂线交。O于点C,则CD的最大值为.解析:圆的半径一定，在Rt ODC中解决问题.当D为AB中点时,OD丄AB,OD最小，此时DC最大,所以DC最大值=AB=2.2答案：27. （2014高三珠海一中等六校联考）如图所示,过。O外一点P作一条直线与。O交于A,B两点,已知弦AB=6,点P到。O的切线长PT=4,则PA .解析：由切割线定理得 pt2=pa- PB二PA(PA+AB), 即

5、42二PA(PA+6), PA+6PA-16=0,解得 PA=2或 PA=-8（舍去）.答案：28. （2013年高考陕西卷）如图，弦AB与CD相交于。O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知PD=2DA=2则PE=解析：由 PD=2DA=2得 PA=PD+DA=2+1=3,又 PE/ BC,得/ PEDW C,又/ C=Z A,得/ PED2 A,在厶 PEDH PAE中，/ EPDM APE,/ PEDW A,所以 PED PAE,因此 PE二PA PD=3X 2=6,PE=.答案：9. （2013重庆冲刺卷五）如图所示,AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P,连接CD

6、若/APB=120 ,则三等于解析：根据相似三角形得比例关系，再由正弦定理求解.因为 CDPA ABP,缶“I伽CP所以一二一，AB AP连接AC,因为AB是圆O的直径，所以/ ACP=90 .因为/ APB=120 ,所以/ APC=60 ,所以/ CAP=30 ,Ct価體1则=.A3 AP 2答案：210. （2013重庆市巴蜀中学高三第一次月考）如图所示,AB是。O的直 径,P是AB延长线上的一点，过P作。O的切线，切点为C,PC=2 ,若/ CAP=30 ,则。O 的直径 AB 解析:连接OC,则/ COP=60 ,又PC为圆的切线，则有oC+(2 )2=4OC解得0C=2故圆的直径为

7、4.答案：411. (2014北京西城区模拟)如图所示,AB是圆0的直径,P在AB的延 长线上,PD切圆0于点C.已知圆0半径为，0P=2,则PC=;/ ACD的大小为.解析：据已知易得 PC二PBX PA? PC=(2- ) X (2+ )=1,故 PC=1.连接0C,则 OCL CP.在直角三角形 POC中,由 PC=OF可得/ POC=30 , / POC二ZACO=302? / AC0=15 ,因此/ ACP=90 +15° =105° ,故/ ACD=180 -105=75° .答案:175°12. 如图所示,AB,CD是圆的两条弦，且AB是线

8、段CD的中垂线，已知AB=6,CD=2,则线段BC的长度为.解析：设AB与CD交于点E,v AB是线段CD的中垂线, CE二EDCD=-.又设 BE=x, AE=6-x,显然 6-x>x,即 x<3.由相交弦定理得 AE- BE=CE ED,即（6-x）x=屋矗，二 x2-6x+5=0,解得x=1或x=5（舍去）, j BC二欣W炉二： 一二.答案：13. （2014雷州市第一中学高三月考）已知PA是圆0的切线，切点为A,直线PO交圆O于B,C两点,AC=2, / PAB=120 ,则圆O的面积为.解析:设/ PAC=9 ,v PA是圆O的切线，且OA=OB,/ CAPy OBAh

9、 OAB=e .又 vz BCAh P+y PACh P+0 , ABP中，Z PABZ OBAZ P=180°即 0 +Z P=60° ,/ BCA=60Rt ABC中 ,AC=2, / BCA=60 , BC=4,即。O的直径为4,半径为2.圆 0的面积为 S= n r =n 2 =4 n .答案:4 n14. (2013重庆冲刺卷一)如图所示，。0与。P相交于A B两点，点P 在。0上，。0的弦BC切。P于点B,CP及其延长线交。P于DE两点，过E作EF垂直于CE交CB的延长线于点F,若CD=2,CB=2 ,则EF的 长等于.解析：连接BP,由于CB为。P的切线，故CBL BP,设。P的半径为r,则有 cB+bP=(2 )2+r2二Cp=(2+r) 2,解得r=1,利用 CBP-与 CEF相似可得一？一，解得EF=.3P SC 1 就答案：15. (2013重庆巴蜀中学期末)如图所示，圆O的直径AC=4,CM MA=1：3, / BCD=120 ,则 DM .解析：如图所示，连接OD.v AC=4,CM MA=： 3, 0C=0D=2,CM=1, OM=1.v/ BCD=120 ,:丄 BAD=60 , / COD=60 , OCD为等边三角形.v OM=CM, DML OC.答案：16. （2013重庆考试说明样卷）设圆O的直径AB=2,弦AC=1,D