流体力学(热能)第8章 相似原理和因次分析

1、理解量纲分析法的意义及应用；理解量纲分析法的意义及应用；理解量纲和谐原理、相似概念及主要相理解量纲和谐原理、相似概念及主要相 似准则的意义和应用。似准则的意义和应用。101 101 量纲分析的意义量纲分析的意义 及和谐原理及和谐原理（1 1）量纲）量纲是表征各种物理量性质和类别的，是表征各种物理量性质和类别的， 是指物理量所属的种类。是指物理量所属的种类。（2 2）单位）单位 是指物理量大小的标准。是指物理量大小的标准。一、量纲的概念一、量纲的概念1 1、量纲与单位、量纲与单位2 2、量纲的分类：、量纲的分类：如：如：时间量纲：时间量纲： dim dim T T长度量纲：长度量纲： dim d

2、im L L质量量纲：质量量纲： dim dim M M（1 1）基本量纲（独立量纲）基本量纲（独立量纲）不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。（2 2）导出量纲（非独立量纲）导出量纲（非独立量纲）可用基本量纲导出的量纲。可用基本量纲导出的量纲。如：如：速度量纲速度量纲流量量纲流量量纲dim L T 1dim L3 T 13 3、导出量纲公式：、导出量纲公式：dim q =La T b M c 1 1 当当 a 0a 0， b = 0b = 0， c = 0 c = 0 时：为几何学量纲。时：为几何学量纲。2 2 当当 a 0a 0， b 0b 0， c

3、= 0 c = 0 时：为运动学量纲。时：为运动学量纲。3 3 当当 a 0a 0， b 0b 0， c 0 c 0 时：为动力学量纲。时：为动力学量纲。二、量纲和谐原理二、量纲和谐原理 （3 3）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。（2 2）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；（1 1）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关；）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关； 一个正确的物理方程，其各项的量纲必须和谐一个正确的物理方程，其各项的量纲必须和谐一致，此即量纲和谐原理。一致，此即量纲

4、和谐原理。1 1、量纲的主要特性：、量纲的主要特性： 102 量纲分析法量纲分析法一、瑞利法：一、瑞利法：（1 1）特点：）特点： 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；（2 2）适用范围：）适用范围： 方程中物理量较少（一般方程中物理量较少（一般4 45 5个），各量纲个），各量纲间的关系较易确定。间的关系较易确定。（3 3）基本方法：）基本方法： 对于某一物理过程，通过观察、实验、分析，对于某一物理过程，通过观察、实验、分析， 从而找出影响该物理量的主要因素：从而找出影响该物理量的主要因素： q1 , q2 , q3 ,qn写成指数形式：写成指数形式： f

5、 (q1 , q2 , q3 ,qn ) =0 表示表示。可用函数式：可用函数式：量纲表示式：量纲表示式：据量纲和谐原理，据量纲和谐原理，有有: :dimL:1a12a2nan+a =dimT:1b12b2nbn+b =dimM:1c12c2ncn+c =123n.，解出：解出：)dim(dim11211321nniqqqqq1 1 其指数关系式：其指数关系式：321HQkN （4 4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的 重度重度 ， 流量流量Q Q，扬程，扬程 H H 。求水泵输入功率。求水泵输入功率N N 的表达式。的表达式。M L2T

6、-3 = M L-2T -21 L3T -12 L32 2 量纲表达式：量纲表达式：3 3 据量纲的和谐原理有：据量纲的和谐原理有：M：1 =+ 0 + 0 1L：212 = 2+ 3+3T：213 = 2+ 03=12=11=1故得：故得： N = k Q H二、二、定理（布金汉定理）定理（布金汉定理）是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对 较多的情况。较多的情况。（1 1）定义：）定义： 设有设有n n 个变量的物理方程式：个变量的物理方程式：f f ( (q q1 1，q q2 2, , q qn n)=0)=0 ，从中选出，从中选出 m m 个相互

7、独立的个相互独立的基本物理量，这一过程可以用基本物理量，这一过程可以用 ( (n n - - m m) )个个 无量纲量来描述。无量纲量来描述。因是用因是用来表示无量纲量，故称来表示无量纲量，故称定理。可由数学方法证明，这里从略。定理。可由数学方法证明，这里从略。 m m 个量纲是否独立，可用指数行列式是否为零个量纲是否独立，可用指数行列式是否为零来判断，若其来判断，若其00，则独立。，则独立。F F（1 1，1 1，n-mn-m）= 0 = 0 即：即：（2 2）m m 个相互独立量纲的物理量选择：个相互独立量纲的物理量选择： 一般可选一般可选 3 3个（个（m=3m=3），通常分别选），通

8、常分别选几何学物几何学物理量、运动学物量、动力学物理量理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一各一个。此法一般可满足量纲相互独立。般可满足量纲相互独立。（3 3）确定无量纲量）确定无量纲量的方法：的方法：1 1 从从 n n 个物理量中选出个物理量中选出 m m 个相互独立的基本量；个相互独立的基本量；2 2 由由 m m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基 本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子 分母量纲相同，即可求得无量纲量分母量纲相同，即可求得无量纲量。如如 m m=3=3，3 3 按量纲和谐原理求得各指

9、数，即可得出按量纲和谐原理求得各指数，即可得出的具体表达式。的具体表达式。则有：则有：11132141cbaqqqq22232152cbaqqqq3333213nnncbannqqqq 103 103 相似原理相似原理 一、相似的概念一、相似的概念1 1、模型实验：、模型实验： 从模型上得到的现象可用来推断从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况。原型上可能发生的情况。模型模型指与原型（工程实物）有同样的运动规律，指与原型（工程实物）有同样的运动规律， 各运动参数存在固定比例关系的缩小物。各运动参数存在固定比例关系的缩小物。2 2、相似原理：、相似原理： 保证原型与模型有一定的相关关系

10、，即为保证原型与模型有一定的相关关系，即为相似相似原理原理。是模型实验的理论基础。是模型实验的理论基础。3 3、流动相似概念是几何相似概念的扩展。要求在原、流动相似概念是几何相似概念的扩展。要求在原、 模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学 物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定 的比例关系。即下面的的比例关系。即下面的“相似条件相似条件”。二、相似条件二、相似条件满足力学相似满足力学相似几何相似几何相似运动相似运动相似动力相似动力相似初始条件和边界条件相似初始条件和边界条件相似1 1、几何相似

11、、几何相似指流体流动空间的几何相似。指流体流动空间的几何相似。（1 1）条件：）条件： 11对应线性尺寸成比例；对应线性尺寸成比例；22对应角相等对应角相等。即原、模型流场的几何形状相似。即原、模型流场的几何形状相似。（2 2）表达式：）表达式：1 1 对应的长度比例常数对应的长度比例常数( (比尺比尺) )：l=l p/lm2 2 对应的面积比例常数对应的面积比例常数( (比尺比尺) )：A =l p2 / lm2 =l23 3 对应的体积比例常数对应的体积比例常数( (比尺比尺) )： V =l p3 / lm3 =l34 4 对应角：对应角：p /m =p /m =p /m =110l1

12、00注：注： l l 可据实验场地及要求而定。可据实验场地及要求而定。 通常取通常取（3 3）意义：）意义： 几何相似是力学相似的前提，只有在几何相几何相似是力学相似的前提，只有在几何相 似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对应点其它物理量之间的相似。应点其它物理量之间的相似。 指两个流场对应点上同名的运动学量成比例。指两个流场对应点上同名的运动学量成比例。2 2、运动相似、运动相似（1 1）条件：）条件：2 2 对应点上速度对应点上速度( (加速度加速度) )的方向一致，的方向一致，1 1 几何相似：几何相似：大小成比例。大小成比例。1 1 时间

13、比尺：时间比尺： t= tp / tm2 2 速度比尺：速度比尺： v = vp / v m=l /t3 3 加速度比尺：加速度比尺： a= ap / am=l /t2 =v2 /l（2 2）表达式：）表达式：运动相似是模型实验的真正目的。运动相似是模型实验的真正目的。（3 3）意义：）意义：3 3、动力相似、动力相似（1 1）条件：）条件：对应点上同名的动力学量成比例。对应点上同名的动力学量成比例。2 2 对应点上同物理性质的力方向对应点上同物理性质的力方向 一致，大小成比例。一致，大小成比例。1 1 几何相似；几何相似；（2 2）表达式：）表达式：一般对应点上会存有几种力，如：一般对应点上

14、会存有几种力，如：压力压力 F FP P、粘性力粘性力 F FS S、重力重力 G G、弹性力弹性力 F FE E等等。EmEppmppmpsmspmpFFFFFGGFFFF（3 3）意义：）意义：动力相似是力学相似的保证，是力学相似的主导因素。动力相似是力学相似的保证，是力学相似的主导因素。运动相似是动力相似的表征。运动相似是动力相似的表征。 4 4、初始条件和边界条件相似、初始条件和边界条件相似三、相似准则三、相似准则 流体力学相似有流体力学相似有完全相似完全相似（所有的力都相似）（所有的力都相似）和和近似相似近似相似（起主要作用的力相似）。在工程中应（起主要作用的力相似）。在工程中应力求

15、做到完全相似，但实际上要做到这点是比较困力求做到完全相似，但实际上要做到这点是比较困难的，故一般可做到近似相似，即起主要作用的力难的，故一般可做到近似相似，即起主要作用的力相似，满足一定的精度要求即可。相似，满足一定的精度要求即可。1 1、重力相似准则、重力相似准则（作用在流体上的力主要是（作用在流体上的力主要是重力重力）（1 1）力的比尺：）力的比尺： mmmpppmmmpppmpFglglvlvlGG332222佛汝徳准则佛汝徳准则故有：故有：22mpmmppvvglgl又：又：glvFr即：即： (Fr )p = (Fr )m F Fr r 佛汝德数佛汝德数（2 2）F Fr r佛汝德数

16、佛汝德数，反映了惯性力与重力的比值关系。反映了惯性力与重力的比值关系。（3 3）用比尺表示，）用比尺表示，12glv有有：适用于主要靠适用于主要靠重力重力流动的流体。如明流动的流体。如明渠流、闸孔出流、渠流、闸孔出流、堰顶溢流、消力池、堰顶溢流、消力池、桥墩等。桥墩等。（ 作用在流体上的力主要是作用在流体上的力主要是粘滞力粘滞力）。）。2 2、粘滞力相似准则、粘滞力相似准则（1 1）力的比尺：）力的比尺：2222mmmpppmmmpppsmspFvlvlvlvlFF雷诺准则雷诺准则故有：故有：mmmpppvlvl又：又：vlRe即即： （ Re）p =（Re）mR Re e 雷诺数雷诺数（3

17、3）用比尺表示，）用比尺表示，1lv有：有：（2 2）R Re e雷诺数雷诺数。反映了惯性力与粘滞力反映了惯性力与粘滞力 之间的比值关系。之间的比值关系。粘滞力相似，适用于粘滞粘滞力相似，适用于粘滞力起主要作用的流动，如力起主要作用的流动，如全封闭边界中的流动，有全封闭边界中的流动，有压管流，潜体（飞机、潜压管流，潜体（飞机、潜艇等）情况。艇等）情况。 （作用在流体上的力主要是（作用在流体上的力主要是压力压力）。）。3 3、压力相似、压力相似2vpEu其中：其中：（1 1）力的比尺：）力的比尺：（E Eu u）p p= =（E Eu u）m mE Eu u欧拉数欧拉数欧拉准则欧拉准则（2 2）

18、用比尺表示：）用比尺表示：12vp（3 3）E Eu u欧拉数。欧拉数。反映了惯性力与反映了惯性力与 压力之间的比值关系。压力之间的比值关系。 适用于压力起主要作用的流动。适用于压力起主要作用的流动。如全封闭流体、压力体等。如全封闭流体、压力体等。（4）适用于压力起主要作用的流动。如全封闭流体、压）适用于压力起主要作用的流动。如全封闭流体、压力体等。当力体等。当Fr准则与准则与Re准则得到满足时，准则得到满足时，Eu准则将自动满准则将自动满足，故足，故Eu准则不是独立的准则。准则不是独立的准则。 而而Fr准则与准则与Re准则是独立准则。准则是独立准则。另外还有另外还有弹性力相似准则、表面张力相

19、似准则弹性力相似准则、表面张力相似准则等。等。四四、准数方程（了解）、准数方程（了解）（当原、模型动力相似时，可用同一方程（当原、模型动力相似时，可用同一方程NS来描述。）来描述。）将描述相似流动的微分方程改写成无量纲准数之间的将描述相似流动的微分方程改写成无量纲准数之间的关系式，此即准数方程。对实际不可压缩流体，原、模型关系式，此即准数方程。对实际不可压缩流体，原、模型流体相似的条件是四个准数相等。故可将其写成具有某个流体相似的条件是四个准数相等。故可将其写成具有某个函数关系的方程。函数关系的方程。 即：即： =（Fr，Re，Eu，St）= 0 准数方程。准数方程。 其中：其中： St= v

20、t/l 斯特鲁哈数。由时变加速度表示的斯特鲁哈数。由时变加速度表示的惯性力，恒定流时，此项为零，不起作用。惯性力，恒定流时，此项为零，不起作用。104 模型设计模型设计 （1）雷诺模型雷诺模型 主要比尺关系主要比尺关系 （同一种流体）（同一种流体）1lvllvQ22lvlt一、模型律的选择模型律的选择1、模型律模型律使原、模型的相似准数相等的条件即为模型律。使原、模型的相似准数相等的条件即为模型律。2、模型律的选择方法、模型律的选择方法：实际上就是相似准则的选择。选择起：实际上就是相似准则的选择。选择起主导作用的力相似，达到近似相似即可。但不管是选择何种主导作用的力相似，达到近似相似即可。但不

21、管是选择何种相似准则，都必须保证有几何相似的前提。相似准则，都必须保证有几何相似的前提。 根据实践，对于大多数水力现象，以根据实践，对于大多数水力现象，以Re或或Fr为主，主要用为主，主要用这两种模型指导模型设计这两种模型指导模型设计说明：若原型和模型流动都处于自动模型区，只需几何相说明：若原型和模型流动都处于自动模型区，只需几何相似，不需似，不需Re相等，就自动实现阻力相似。相等，就自动实现阻力相似。 保证原型和模型处于自模区的条件是保证原型和模型处于自模区的条件是Re 。510（2）弗劳德模型弗劳德模型 主要比尺关系主要比尺关系（同一种流体）（同一种流体）5.0lv5.22llvQ5.0l

22、vlt说明：说明：1按按Fr准则设计的模型，如果模型中流动进入自模区，准则设计的模型，如果模型中流动进入自模区，便同时满足阻力相似。便同时满足阻力相似。 2对流动缓慢，处于层流区的明渠均匀流，则采用对流动缓慢，处于层流区的明渠均匀流，则采用Re模型。模型。 二、模型设计二、模型设计 模型试验的设计内容：模型试验的设计内容： 1、选择比尺、选择比尺l：在保证几何相似、不影响试验结果的正确性的：在保证几何相似、不影响试验结果的正确性的前提下，应尽量选择小尺寸的模型，降低造价和运转费用。前提下，应尽量选择小尺寸的模型，降低造价和运转费用。 2、选择实验流体：可选择经济方便的流体。常用的有空气、选择实验流体：可选择经济方便的流体。常用的有空气、水。另外应尽量使原、模型的流体相同，从而使水。另外应尽量使原、模型的流体相同，从而使 = 1 ， = 1 3、计算各物理量比尺及实验时的各物理量的值。（按所选的、计算各物理量比尺及实验时的各物理量的值。（按所选的模型律设计）。模型律设计）。 4、设计制作模型。、设计制作模型。 5、选择测试方法及实验设备。、选择测试方法及实验设备。2、为了决定吸风口附近的流速分布，取长度比尺为、为了决定吸风口附近的流速分布，取长度比尺为10作模作模型设计。模型吸风口的流速为型设计。模型吸风口的流速为13m/s