模糊集理论及应用

1、1模糊集理论及应用目录模糊集的基本概念模糊集的基本定理2模糊关系与模糊矩阵3模糊聚类4模糊推理及应用51基本概念经典集合与特征函数2、 论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。1、 经典集合 现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合其最基本的属性是： 集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明 集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么xA，要么x A，二者必居其一经典集合与特征函数3、特征函数设A是论域U上的一个集合，对任何uU，令 1 当uA CA(u)= 0 当u A 则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有： A= u | CA(u)=1

2、 经典集合与特征函数解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5 CA(u)= 0 当u=2,4例 设有论域：U= 1,2,3,4,5,6 ，A= 1,3,5 ，求其特征函数。经典集合与特征函数特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。4、隶属度模糊集合与隶属函数设U是论域，A是将任何uU映射为0，1上某个值的函数，即： A：U0，1 uA(u)则称A为定义在U上的一个隶属函数。1、隶属函数2、模糊集设A= A (u) | uU ，则称A为论域U上的一个模糊集。3、隶属度A (u)称为u对模糊集A的隶属度。模糊集合与隶属函数模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其

3、隶属函数是等价的。可以看出对于模糊集，当中的元素u的隶属度全为0时，则就是个空集；当全为1时，就是全集；当仅取0和1时，就是普通子集。这就是说模糊子集实际是普通子集的推广普通子集就是模糊子集的特例。模糊集合与隶属函数解：设A表示“大数”的模糊集，A为其隶属函数。则有： A= 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 其中：A(1)=0，A(2)=0.1，A(3)=0.5，A(4)=0.8，A(5)=1例 设有论域：U= 1,2,3,4,5 ，用模糊集表示出模糊概念“大数”。模糊集合与隶属函数解：假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度：A(张三)=

4、0.98，A(李四)=0.72，A(王五)=0.86模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 例 设有论域：U= 张三，李四，王五 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。模糊集合与隶属函数A(ui)/ ui表示ui对模糊集A的隶属度。当某个隶属度为0时，可以略去不写。如：A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4它们是相同的模糊集。2、扎德表示法2设论域U是连续的，则其模糊集可用实函数表示。模糊集合的表示方法1、扎德表示法1模糊集合与隶属函数为了建立模糊集A=“青年人”的隶属函数，以及u0=27岁属于模糊集A

5、的隶属度。以年龄作论域U=0,100，张楠纶等经过一次较大的模糊统计实验，在武汉某高校进行抽样调查，要求被抽取的大学生独立认真考虑了“青年人”的含义后，给出“青年人”的年龄去见，随机抽取了129人，相应得到了“青年人”的129个年龄区间。为了确定u0=27岁属于模糊集A的隶属度，对u0=27作统计处理。n为样本总数，m为样本区间盖住27的频数，而f= 为隶属频率。以n为横坐标，f为纵坐标，绘制图形。隶属函数的确定1、模糊统计法mn模糊集合与隶属函数根据问题的性质，套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。矩形分布、梯形分布、k次抛物分布、T分布、正态分布偏小型模糊分布

6、适合描述像“小”、“冷”、“青年”、颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数一般形式为 1, xa,A(x)= f(x), xa.其中，a为常数，而f(x)是非增函数。隶属函数的确定2、指派方法模糊集合与隶属函数偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”、颜色的“弄”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数一般形式为 0, xa,A(x)= f(x), xa.其中，a为常数，而f(x)是非减函数。中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属函数可以通过中间型模糊分布表示。3、借用已有尺度在经济管理等社科领域中，可以直接借用已有的尺度“经济指标”作

7、为模糊集的隶属度。比如，在论域U(产品)上定义模糊集A=“质量稳定”，可用产品的“正品率”作为产品属于“质量稳定”的隶属度。模糊集合与隶属函数解： 0 0u50年老(u) (1+(5/(u-50)2)-1 50u100 1 0u25年轻(u) (1+(u-25)/5)2)-1 25u100例 设有人的年龄论域U=0,100, 求其“年老”和“年轻”这两个模糊概念的隶属函数。模糊集合与隶属函数模糊集的运算模糊集的运算它们的隶属函数分别为： AB (u)= max A (u), B(u) uU AB (u)= min A (u), B(u) uU Ac (u)= 1-A (u)模糊集的运算例 设U

8、= u1,u2,u3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3求：AB, AB及Ac模糊集的运算解：AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3Ac=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3模糊集的

9、基本定理水平截集1、水平截集 设A(U)，0, 1, 且 A= u | uU, A(u)， 则称A为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。水平截集性质（1）设A,B(U)，则有： (AB)= AB (AB) = AB（2）若1，20, 1, 且10，则称Ker A为模糊集A的核，Supp A为模糊集A的支集。3、正规模糊集 若KerA，则称A为正规模糊集。水平截集例 设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的水平截集、核及支集。水平截集解：（1）水平截集A1= u3 A0.6= u2,u3,u4 A0.5

10、= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集KerA= u3 SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 模糊数模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数A (u)在R上连续，且具有如下性质：（1）A是凸模糊集，即对任意0，1，A的水平截集A是闭区间；（2）A是正规模糊集，即存在uR，使 A (u)=1则称A为一个模糊数。模糊关系与模糊矩阵模糊关系直积（笛卡尔乘积）设U与V是两个集合，则称 UV= (u,v) | uU, vV 为U与V的笛卡尔乘积。 模糊关系例 设U= 红桃，方块，黑桃，梅花 V= A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q,

11、 K 求UV解：UV (红桃，A)，（红 桃, 2），（梅花, K） 模糊关系模糊关系相像关系：两者间的“相像”并非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。直积UV的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为U VR的论域为UV。特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合的直积U1U2Un，则称R为n元模糊关系。 R模糊关系模糊关系的表示R= R(u, v) / (u, v) UV例 X= x1，x2，x3 表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y= y1，y2，y3，y4 为他们子辈的集合，“相像关系”R （ UV ）是一

12、模糊关系，则模糊关系模糊矩阵模糊矩阵设R = (rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵。当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵。 当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵。模糊矩阵模糊矩阵间的关系及并、交、余运算设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义相等：A = B aij = bij；包含：A B aijbij；并：AB = (aijbij)mn；交：AB = (aijbij)mn；余：Ac = (1- aij)mn。0.20.30.10.10.90.7,00.10.30.20.1,0.20.10.30.2.30

13、.20.20.10.80.9cAABBABA例 设，则模糊矩阵模糊的转置 定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：性质1：( AT )T = A；性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性质3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ；性质4：( Ac )T = ( AT )c ；性质5：AB AT BT。模糊矩阵模糊的截矩阵设A = (aij)mn,对任意的0, 1，称A= (aij()mn,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij时，aij() =

14、1； 当aij时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵。 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA模糊矩阵模糊矩阵的合成设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，称模糊矩阵A B = (cij)mn，为A 与B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks。模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A。7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 07

15、. 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 03模糊关系的合成表示模糊关系的传递R1与R2分别是UV与 VW上的模糊关系，则U到W的模糊关系为：例 R(u1,w1)=0.40.2, 0.50.4, 0.10.6=0.2, 0.4, 0.1=0.4 R(u1,w2)=0.40.8, 0.50.6, 0.10.4=0.4, 0.5, 0.1=0.5WURRwuwvvuRR),/(),(),(21212 . 03 . 05 . 02 . 06 . 02 . 01 . 05 . 04 . 01R4 . 06 . 06 . 04 . 08 . 02 . 02R5 . 03

16、. 06 . 04 . 05 . 04 . 021RRRZadeh的模糊关系合成法则。设则12( )ijn mRRRr模糊关系的合成模糊关系的合成其中对R1第i行和R2第j列对应元素取最小,再对k个结果取最大, 所得结果就是R中第i行第j列处的元素。 1()(1,2, ;1,2,)kijilljlrstin jm 模糊聚类模糊等价矩阵 若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系。 当论域X = x1, x2, , xn为有限时, X 上的

17、一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：I R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2R。R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .1000010000100001I=当时, R的分类是R分类的加细。当由1变到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类,这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类。12345 ,10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61Uu u u u uR 例设 模糊聚类210.40.80.50.50.41

18、0.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61RR RR故R是模糊等价矩阵再令由1降至0,写出,按分类( ,)1( ,1,2,3,4,5)ijijuuR u ui j元素 与归为一类的充要条件是 模糊聚类110.40.80.50.5100000.410.40.40.4010000.80.410.50.5001000.50.40.510.6000100.50.40.50.6100001RR0.810.40.80.50.5101000.410.40.40.4010000.80.410.50.5101000.50.40.510.6000100.50.

19、40.50.6100001RR12345: , , , , 5uuuuu相应的分类共分为 类13245: , 4u uuuu相应的分类共分为 类模糊聚类12345 , , uuuuu当 =1时，得到的分类为；13245 , , , u uuuu当 =0.8时，得到的分类为；13245 , , , ,u uuu u当 =0.6时，得到的分类为； 以此类推,可以得到:13452 , , u u u uu当 =0.5时，得到的分类为；12345 ,u u u u u当 =0.4时，得到的分类为；于是,得到动态聚类图如右图所示模糊聚类模糊相似关系 若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足

20、： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系。 当论域X = x1, x2, , xn为有限时，X 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji )。模糊聚类模糊相似矩阵的性质定理1 若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵。 定理2 若R 是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数 k (kn )，对于一切大于k 的自然数 l，恒有Rl

21、= Rk，即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk )。 此时称Rk为R的传递闭包，记作 t ( R ) = Rk 。上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵。平方法求传递闭包 t (R)：RR2R4R8R16模糊聚类10.10.2 0.110.30.20.31( )RRt R例设容易验证， 是模糊相似矩阵，用平方法求其传递闭包210.1 0.210.1 0.210.2 0.20.110.30.110.30.210.30.2 0.310.2 0.310.2 0.31R RR 22210.20.210.20.210.20.20.210.30.210.30.210.30.20.31

22、0.20.310.20.31RRR 210.20.2( )0.210.30.20.31t RR故传递闭包模糊聚类模糊聚类分析的一般步骤（1）数据标准化 设论域X = x1, x2, , xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其性状:xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是,得到原始数据矩阵为nmnnmmxxxxxxxxx.212222111211模糊聚类平移 标准差变换),.,2 , 1,.,2 , 1(mjnisxxxjjijij其中21111,()1nnjijjijjiixxsxxnn平移 极差变换1|min1|max1|minnixnixnixxxi

23、jijijijij模糊聚类(2)建立模糊相似矩阵方法相似系数法 -夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121模糊聚类相似系数法 -相关系数法mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(| |其中1111,mmiikjjkkkxxxxmm模糊聚类距离法rij = 1 c d (xi, xj )其中c为适当选取的参数.海明距离mkjkikjixxxxd1|),(欧氏距离mkjkikjixxxxd12)(),(切比雪夫距离d (xi, xj ) = | xik- xjk | , 1km模糊聚类（3）聚类（并画出动态聚类图） 从（2）求出的n阶模糊相

24、似矩阵R出发，用平方法求其其传递闭包t(R)，它就是将改造成的n阶模糊等价矩阵，再让由大变小，就可形成动态聚类图。模糊聚类最佳分类的确定 在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的。 但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题。模糊聚类模糊命题陈述句“张三是老人”，由于老人的概念是模糊的，因而“张三是老人”无确切的真假而言，但是它又有真假的含义，这种陈述句称为模糊命题。设n元谓词 表示一个模糊命题，命题的真值为其中对象x1，x2，xn对模糊集合P的隶属度。 当命题真值为0时，

25、它就是假命题； 当命题真值为1时，它就是真命题； 为0和1之间的某个值时，它就是有某种程度的真(又有某种程度的假)的模糊命题。模糊命题的真值是把一个命题内部的隶属度转化为整个命题的真实度。模糊推理模糊逻辑12(,)nP xxx逻辑运算1）合取 Conjunction, ,“交”，其真值为T（pq）=T(p)T(q),2）析取 Disjunction， , “并”,其真值为T（pq）=T(p)T(q),3）蕴涵 Implication， , “if then”,其真值为T（pq）=T( p)(pq),4）逆操作 Inversion， ,其真值为T( p)=1-T(p),5) 等效关系 Equiv

26、alence， ，“p即q”,其真值为T（p q）=T(pq)(qp)=T(pq)T(qp)。模糊逻辑pqpqpqppq模糊语言一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 ，它是一种广泛使用的自然语言，如何将模糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的思维去推理和判断，这就引出了语言变量这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、词组或句子作为变量 。语言变量的值称为语言值，一般也是由自然语言中的词、词组或句子构成。语言变量的语言值通常用模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值变量称作基础变量。模糊推理一个完整的语言变量可定义为一个五元体（X,T(X),U,G,M)其中X语言变量的名称；T(X)语言变量的语言值；U

27、论域；G语法规则；M语义规则。模糊语言以“年龄”作为语言变量X，该语言变量的论域U取0, )。根据语法规则可知，描述语言变量“年龄”的语言值有“年青”、“中年”、“年老”几种，那么T(X)可表示为T(X)年青中年年老语义规则主要是用来反映实际论域中的岁数与模糊集合“年青”、“中年”、“年老”之间的关系。模糊语言变量的完整描述见图 模糊推理模糊语言模糊推理060402080年青中年年老年龄1.0语言变量语义规则语法规则语言值论域XT(X )GMU（岁）是基于不确切性知识(模糊规则)的一种推理。例如 就是模糊推理要解决的问题。模糊推理是一种近似推理，一般采用Zadeh提出的语言变量、 语言值、模糊

28、集和模糊关系合成的方法进行推理。 模糊推理用模糊(关系)集合表示模糊规则一条规则表达了前提中的语言值与结论中的语言值之间的对应关系一条模糊规则刻划了前提中的模糊集与结论中的模糊集之间的一种对应关系Zadeh认为这种对应关系是两个集合间的一种模糊关系，因而它也可以表示为模糊集合。一条模糊规则转换成一个模糊集合。对于有限集，则就是一个模糊矩阵。 模糊推理例如，设有规则 如果x is A 那么 y is B （中A、B是两个语言值）那么 A、B可表示为两个模糊集(我们仍以A、B标记)； 这个规则表示了A、B之间的一种模糊关系R，R也可以表示为一个模糊集。于是，有 U、V分别为模糊集合A、B所属的论域，R(ui，vj) (i，j=1，2，)是元素(ui，vj) 对于R的隶属度。 模糊推理怎样求得隶属度R(ui，vj) (i，j=1，2，)呢？ 对此，Zadeh给出了很多种方法，其中具代表性的一种方法为其中、 分别代表取最小值