第16讲-量子通信基础理论

1、量子世界的奇妙性特性：每时刻的位置、速度完特性：每时刻的位置、速度完全确定，有确定的运行轨迹，全确定，有确定的运行轨迹，遵从牛顿力学。遵从牛顿力学。经典粒子经典粒子微观粒子微观粒子 特性：同时具有波动性和粒子性特性：同时具有波动性和粒子性 设想空间有一个微观粒子，任何设想空间有一个微观粒子，任何时刻有可能在空间中任何点探测到粒时刻有可能在空间中任何点探测到粒子（类似经典波的特性），子（类似经典波的特性）， 但一旦探但一旦探测到只能在其中一个探测器处发现该测到只能在其中一个探测器处发现该粒子（类似经典粒子的特性）。粒子（类似经典粒子的特性）。A ABC C经典世界经典世界空间定域空间定域量子世界

2、量子世界非定域（概率分布）非定域（概率分布）经典世界经典世界量子世界量子世界同时经由各种轨迹传送同时经由各种轨迹传送运动确定轨迹运动确定轨迹2.1 2.1 量子力学基本假设量子力学基本假设量子力学基础知识量子力学基础知识),(tr)(),(EtrpiAetr概率密度 设描述粒子运动状态的波函数为 ，则 空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）与 的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称 概率波概率波波函数又称 概率幅概率幅1926 年提出了对 波函数的统计解释波函数的平方是某个态出现的概率，但是为什么薛波函数的平方是某个态出现的概率，但是为什

3、么薛定谔引入它，他自己也无法解释，只是用这个方程定谔引入它，他自己也无法解释，只是用这个方程从理论推导的结果与实验都是相符合的（有点儿与从理论推导的结果与实验都是相符合的（有点儿与普朗克常数的引入相似），因而这个方程是正确的普朗克常数的引入相似），因而这个方程是正确的。而恰恰量子力学用概率的方式描述微观世界是很。而恰恰量子力学用概率的方式描述微观世界是很多人甚至包括爱因斯坦等大物理学家都质疑的多人甚至包括爱因斯坦等大物理学家都质疑的“上上帝不能掷筛子帝不能掷筛子”。所以反映微观世界的规律是概率。所以反映微观世界的规律是概率性的，这与经典世界完全不同。所以费曼就说对于性的，这与经典世界完全不同。

4、所以费曼就说对于量子力学的概率性是不能问为什么的。量子力学的概率性是不能问为什么的。),(,),(),(trtrtrn2 21 1niiinntrctrctrctrctr),(),(),(),(),(2 22 21 11 12),(。txii2i经典粒子在某个时经典粒子在某个时刻只能处于确定的刻只能处于确定的物理状态上物理状态上量子粒子则可以同量子粒子则可以同时处于各种可能的时处于各种可能的物理状态上（叠加物理状态上（叠加态）态）“薛定谔猫薛定谔猫” ” 宏观量子叠加态宏观量子叠加态 活死21t ),(tr0 01 10 01 10 01 10 01 11 10 01 12 22 2s，得）（

5、，）（由sUsU2 22 2)()(sU)()()(sUsUsUFAAAATA iiii21132iiii2131212F22112211)(FcFcccF1c2cFZYXI,IZYX,1001,00,0110,1001zyxIii经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动状态经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学 针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念运动状态波函数量子力学方程是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的At)(Bt)(BAABHHHBAABttt)()()(，则，若取21212222111121，101，01000101011101022211211

6、22211211BBBBBAAAAA BA01)1100(21)1100(21)0110(21)0110(21BABAABBABAABBABAABBABAAB22( , , , )( , , , )( , , )()( , , )tx y zdddxdx y z tdx y zydztx ytz代表 时刻，粒子出现在空间某点附近微体积元中的，代表 时刻，粒子出现在空间某点概率概处的率密度。 ( (x, y, z, t) )包括体系的全部信息，决定着体系全部可观测的性质。 1.2.1 波函数与微观粒子的状态波函数与微观粒子的状态 对于一个微观体系，它的状态和由该状态对于一个微观体系，它的状态和由

7、该状态所所决定的决定的各种物理性质可用波函数各种物理性质可用波函数 ( (x, y, z, t) )表示。表示。2Aexp()xixpEthAexp 2 ( /)ixt Eh平面单色光的波动方程：平面单色光的波动方程：/ph单粒子一维运动的函数：单粒子一维运动的函数： 微观粒子的状态用波函数来描述, 波函数是坐标和时间的函数，不含时间的波函数称为定态波函数。波函数本身没有物理意义，但它包含了体系的全部信息 空间某点附近找到粒子的概率正比于波函数绝对值的平方： 可以通过算符得到体系的各种物理性质; 波函数的对称性和光谱，化学键和化学反应有关。 波函数描述的波为概率波。同一个量子态概率分布的相对大

8、小相同。例如：和k （k为常数）描述同一个态。 因为化学中多数问题是定态问题（与静态性质相联系），所以在多数情况下，就因为化学中多数问题是定态问题（与静态性质相联系），所以在多数情况下，就把把 (x, y, z, t) 的空间部分的空间部分 (x, y, z) 称为波函数。称为波函数。 几率密度与能量不随时间改变的状态几率密度与能量不随时间改变的状态 22( , , , )( , , )x y z tx y z( , , , )( , , ) ( )( , , )iEtx y z tx y ztx y z e( , , )x y ziEte( , , , )x y z t与相比，只差一个因子，

9、只差一个因子定态定态波函数与微观粒子的状态波函数与微观粒子的状态单值单值连续连续平方可积平方可积合格波函数条件合格波函数条件：空间每点的：空间每点的 只能有一个值。只能有一个值。：物理上，粒子在空间各处出现的概率密度呈波：物理上，粒子在空间各处出现的概率密度呈波动性，是连续变化的，因此波函数动性，是连续变化的，因此波函数 必须在变数变化的全部必须在变数变化的全部区域内是连续的，必须具有连续的一阶微商。区域内是连续的，必须具有连续的一阶微商。：在变数变化的全部区域内，波函数必须是有：在变数变化的全部区域内，波函数必须是有限的。限的。( )xx( ) xx( )xx( ) xx(a) 违反单值条件

10、违反单值条件(b) 不连续不连续(c) 一阶微商不连续一阶微商不连续(d) 波函数不是有限的波函数不是有限的合格波函数条件合格波函数条件不符合合格波函数的情况不符合合格波函数的情况例2*1dd归一化过程归一化过程波函数的归一化波函数的归一化 一般从物理意义上看，总规定一个粒子在全部空间出一般从物理意义上看，总规定一个粒子在全部空间出现的概率为现的概率为1。因此通常需要将波函数归一化。即：。因此通常需要将波函数归一化。即：2*ddK1K*11ddK1K如果：如果：为归一化系数为归一化系数则可令则可令1.2.1 物理量与算符物理量与算符 对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应一对一个微观体系的

11、每个可观测的物理量，都对应一个个线性自轭算符线性自轭算符。对它后面的函数行施的一种运算。如对它后面的函数行施的一种运算。如，lg，sin 等都等都是算符，通常给字母上加一是算符，通常给字母上加一 或或 表示算符表示算符 ABBA0A, B一般，地，即不对易。1212A()AAABBA=0A, B如果，即对易。12211111A(A)A(A)dddd或者1.2.41.2.5力学量力学量经典力学表达式经典力学表达式算算 符符位置位置动量的动量的x轴分量轴分量角动量的角动量的z轴分量轴分量动能动能势能势能能量能量2/2TpmETV-2xihpx xx22222222()8hTmxyz VV2228h

12、HVm Vx-()2zihMxyyx物理量与算符物理量与算符xpzyxMxpyp量子力学中的常用算符量子力学中的常用算符2Aexp()xixpEth222Aexp()()xxxidiixpEtxpEtpxhdxhh比较上式两端，即有比较上式两端，即有 2xipxh22xhihpixx 物理量与算符物理量与算符的来源的来源2xihpx 对对x微分，得微分，得1.2.61.2.3 本征态、本征值和本征态、本征值和波函数与波函数与Schrdinger方程方程 AAaA= Aaa若某一物理量 的算符 作用于某一状态函数等于某一常数 乘以 ，即那么对于所描述的微观状态，物理量 具有确定的数值 。1.2.

13、7aAAA= Aa为物理量算符 的本征值，为 的本征态或本征函数，为 的本征方程实验值实验值计算值计算值Aa厄米算符厄米算符本征值是实数本征值是实数 Aa*Aa同取共轭 (A)da dad *(A)dadad(A)(A )(A)ddd由厄米算符定义式 adad 因此 ，即 a 必为（只有实数的共轭才与其自身相等） 自轭算符的性质自轭算符的性质正交归一性正交归一性 0 1 ijijijd 正交归一自轭算符本征函数组为正交自轭算符本征函数组为正交归归一的函数组一的函数组 自轭算符的性质自轭算符的性质(A)ijijjjijdadad (1) 归一归一 是指粒子在整个空间出现的概率为是指粒子在整个空间

14、出现的概率为1，即，即 1iid (2) 正交正交*(A)()ijiijiijdadad *(A)iiiiiaa0()ijdij Aiiia证明证明Aiiia设有设有()ijaa两边取共轭两边取共轭=()0ijijaad 对于质量为对于质量为m m，具有确定能量，具有确定能量E E的粒子，其运动状态的粒子，其运动状态( (波函波函数数) )符合定态薛定谔符合定态薛定谔( (Schrdinger) )方程方程 22222222()( , , )( , , )8hVx y zEx y zmxyz2为Laplance 算符2222222xyz E.SchrdingerSchrdinger方程方程22

15、2( , , )( , , )8hVx y zEx y zm 2228hHVm ( , , )( , , )Hx y zEx y z1.2.10HEHamitonH为算符 若若 1 1, , 2, n为某一微观体系可能的状态，由它为某一微观体系可能的状态，由它们线性组合所得们线性组合所得 的也是该体系可能存在的状态，即的也是该体系可能存在的状态，即 1122iinnicccc式中c c1 1, ,c2, cn为线性组合常数， 状态中各个 i出现的几率为|ci|21.2.4 态叠加原理态叠加原理1.2.16A如果是体系可能存在的状态，则任何可观测的物理量 的平均值为：Adaad 力学量的平均值力

16、学量的平均值Aaad 归一化2*=1=1=12*=1=1=1() A()A=() ()nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiccdcadadccdc A如如果果是是力力学学量量算算符符 的的本本征征函函数数Ada dadaaaddd 力学量的平均值力学量的平均值2=1niiiaca若若 已已归归一一化化1Aniiica若若可可写写成成相相互互正正交交的的本本征征函函数数的的线线性性组组合合：，且且2Aiiica表表示示状状态态出出现现的的概概率率，也也是是在在力力学学量量 的的测测量量中中，本本征征值值 出出现现的的概概率率=平平均均值值 本本征征值值22112211221122222

17、121122()H()()ccccdc Ec EEccccd12sin()lx l1122cc一维势箱中粒子，一维势箱中粒子， 对应能量对应能量E1 , 对应能量对应能量 E2 。求体系在。求体系在 状态时，能量的平均值状态时，能量的平均值 。 E22sin(2)lx l例例123123121330.4 00.623=+55 某体系有三个可能的态、 和，是一个新的态(不同于、和)，则测到、和的概率分别为、和。2111221222222212cEcccEcc表示测量时，得到 值得概率，即存在的概率表示测量时，得到值得概率，即存在的概率说明态叠加原理态叠加原理薛定谔的猫薛定谔的猫+11=22死猫猫

18、活猫态叠加原理态叠加原理1.2.4 Pauli(泡利泡利)原理原理 在在同一个原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两同一个原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据同一轨道相同的电子不能占据同一轨道。Pauli 微观粒子除作空间运动外还作自旋运动，微观粒子除作空间运动外还作自旋运动，包括自旋在内的全同微观粒子的完全波函数，包括自旋在内的全同微观粒子的完全波函数，在任意两粒子间交换坐标时（包括空间及自旋在任意两粒子间交换坐标时（包括空间及自旋坐标），对于坐标），对于（自旋量子数为零或（自旋量子数为零或整数）整数），而对，而对（自旋量子（自旋量子数为半整数）数为半整数）。 Pauli(泡利泡利)原理原理 对于电子等费米子，描述其运动状