微分方程6-7-8ppt课件

1、一、概念的引入一、概念的引入例例: :设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢复力恢复力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若若受受到到铅铅直直干干扰扰力力pthxkdt

2、dxndtxdsin2222 强迫振动的方程强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定理定理 1 1 如果函数如果函数

3、)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常数）数）问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy定义：设定义：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数如果存在个函数如果存在n个不全为零的常数，使得个不全为零的常数，使得当当x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I内内线性相关线性相关否则否则称称线性无关线性无关例如例如xx22sin,cos

4、1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x特别地特别地: 若在若在 I 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则函数则函数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关.定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定

5、定理理 3 3 设设*y是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一个个特特解解, , Y是是与与( (2 2) )对对应应的的齐齐次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy

6、的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理解的叠加原理第七节二阶常系数齐次线性方程解法第七节二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法0 qyypy,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程特征根特征根,2422,1qppr 特点特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子即函数和其各阶导数只相差常数因子猜测猜测有特解有特解rxey 有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根为特征根为,242

7、1qppr ,2422qppr 两个线性无关的特解两个线性无关的特解,11xrey ,22xrey 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 有两个相等的实根有两个相等的实根特征根为特征根为,221prr 一特解为一特解为,11xrey ,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy )0( 有一对共轭复根有一对共轭复根特征根为特征根为,1 jr ,

8、2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx )0( 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法确定其通解的方法称为特征方程法. .方法步骤方法步骤写出特征方程写出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根 齐通解)(21实rr xrxrececY2121 21rr xrexc

9、cY1)(21 jr 2 , 1)sincos(21xcxceYx 例例1 求通解求通解032 yyy解解 特征方程为特征方程为0322 rr特征根为特征根为3, 121 rr齐通解为齐通解为xxececY321 例例2 2.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例3 3.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例4 设圆柱形浮筒，直径为设圆柱形浮筒，

10、直径为0.5 米，铅直放米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为在水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量秒，求浮筒的质量解解设浮筒的质量为设浮筒的质量为 m 平衡时平衡时 圆柱浸入水中深度为圆柱浸入水中深度为 l浮力浮力glR 2重力重力mg mgglR 2 设设 t 时刻浮筒上升了时刻浮筒上升了 x 米米此时此时浮力浮力gxlR)(2 重力重力mg 由由Newton第二定律第二定律 mggxlRdtxdm )(222 glRgxlR 22)(gxR2 0222 xmgRdtxd 记记mgR22 0222 xdtxd tctcx sinco

11、s21 T2)(25.1952kggRm 3310mkg 28 . 9smg mR25. 0 14. 3 三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且

12、每一项各含一且每一项各含一个任意常数个任意常数.nnyCyCyCy 2211实重根实重根复单根复单根复重根复重根实单根实单根几种情况几种情况每个根对应通解中的一项每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为具体分为例例50)4( yy解解 特征方程为特征方程为014 r解得解得jrr 4 , 32 , 1, 1故所求通解为故所求通解为xcxcececyxxsincos4321 例例6 6.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy解解特征方程为特征方程为, 01222345 rrrrr0) 1)(1(22 rr, 0)1)(1(

13、22 rr特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYy 常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点：如何求特解？难点：如何求特解？方法：待定系数法方法：待定系数法.自由项为自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、 型)()(xPexfmx 设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )(

14、代入原方程代入原方程)()()()()2()().(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可设设;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可设.)(2xmexQxy 综上讨论综上讨论, )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系

15、数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,例例1 1.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr对应齐次方程通解对应齐次方程通解,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221

16、xxxexxeCeCy 求通解求通解xxeyyy3596 解解特征方程特征方程0962 rr特征根特征根321 rr齐通解齐通解xexccY321)( 是重根是重根3 xeBAxxy32)( 可可设设即即23)(BxAxxQ BxAxxQ23)(2 BAxxQ26)( 代入（代入（*）式）式xBAx526 0,65 BAxexy3365 非齐通解为非齐通解为xexxccy3321)65( 例例2 型型二二、xexPxfxm cos)()( 型型型型及及其其组组合合xexPxfxm sin)()( xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 分别是分别是 xjmexP)(

17、)( 的实部和虚部的实部和虚部,)()(xjmexPqyypy 考考虑虑方方程程可设可设xjmkexQxy)()( 次次复复系系数数多多项项式式是是mxQm)()()()(21xjQxQxQm 记记次次实实系系数数多多项项式式均均是是 mxQxQ)(),(21辅助方程辅助方程)sin(cos)()(21xjxexjQxQxyxk )cos)(sin)()sin)(cos)(2121xxQxxQjxxQxxQexxk 是是特特征征方方程程的的单单根根不不是是特特征征方方程程的的根根 jjk, 1, 0由分解定理由分解定理sin)(cos)(Re21xxQxxQexyxk cos)(sin)(Im

18、21xxQxxQexyxk 分别是以分别是以 xexPxfxm cos)()( xexPxfxm sin)()( 为自由项的非齐次线为自由项的非齐次线性微分方程的特解性微分方程的特解注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程例例3 3.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解 对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2

19、xxy （取虚部）（取虚部）原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 这种方法称为复数法这种方法称为复数法例例4 4.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2 jxxeyy ,2 不是特征方程的根不是特征方程的根j ,)(2*jxeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy )2sin2)(cos9431(xjxjx ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy （取实部）（取实部）原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 注意注意xAexAexx sin,cos.)(的的实实部部和和虚虚部部分分别别是是xjAe 例例6 求通解求通解xeyyxcos 解解 相应齐方程相应齐方程0 yy特征方程特征方程jrr 2, 1201齐