随机过程：第6章随机分析

1、第六章第六章 随机分析随机分析本章内容概要本章内容概要 本章的目的是建立基于随机变量的微积分本章的目的是建立基于随机变量的微积分框架框架随机微积分，并其相关的性质和随机微积分，并其相关的性质和应用进行分析。应用进行分析。 随机积分的构造（伊藤积分）随机积分的构造（伊藤积分） 随机泰勒展开（伊藤随机泰勒展开（伊藤德布林公式）德布林公式） 随机分析在期权定价公式推导中的作用随机分析在期权定价公式推导中的作用 多元随机分析（多变量随机微积分）多元随机分析（多变量随机微积分） 布朗桥布朗桥2022-4-262CopyrightPei Zhang 2014一、伊藤积分（一、伊藤积分（Ito integr

2、alIto integral）目标：给定正数目标：给定正数T T，定义积分，定义积分条件：条件：（1 1）布朗运动）布朗运动W(t)W(t)，filtration F(t)filtration F(t)（2 2） （资产头寸）是适应的随机过程，依赖于（资产头寸）是适应的随机过程，依赖于资产价格的历史，独立于未来的布朗运动的增量资产价格的历史，独立于未来的布朗运动的增量困难：不可以写成困难：不可以写成 TtdWt0 t TTdttWttdWt002022-4-263CopyrightPei Zhang 2014（一）积分的构造（一）积分的构造构造思路：用简单被积函数进行逼近构造思路：用简单被积函

3、数进行逼近2022-4-264CopyrightPei Zhang 2014金融含义金融含义 W(t)W(t)是金融资产在时刻是金融资产在时刻t t的价格的价格 (t)(t)是资产头寸（从每一个交易日持有至下是资产头寸（从每一个交易日持有至下一个交易日）一个交易日）在每个时刻在每个时刻t t的收益为：的收益为：2022-4-265CopyrightPei Zhang 20142022-4-266CopyrightPei Zhang 2014（二）积分的性质（二）积分的性质 伊藤积分可以看作在资产价格为鞅的情形伊藤积分可以看作在资产价格为鞅的情形下，从事资产交易的收益，该收益也是一下，从事资产交

4、易的收益，该收益也是一个鞅。个鞅。2022-4-267CopyrightPei Zhang 2014定理定理4.2.14.2.1证明（证明（1 1）2022-4-268CopyrightPei Zhang 2014定理定理4.2.14.2.1证明（证明（2 2）2022-4-269CopyrightPei Zhang 2014方差是二次变差关于所有可能路径的平均值方差是二次变差关于所有可能路径的平均值2022-4-2610CopyrightPei Zhang 20142022-4-2611CopyrightPei Zhang 2014（三）一般被积函数的伊藤积分（三）一般被积函数的伊藤积分 将

5、将（t）由简单过推广为一般函数（）由简单过推广为一般函数（ （t） 可以随时间连续变化，也可以有跳跃）可以随时间连续变化，也可以有跳跃）前提条件：前提条件： （t）适应于域流）适应于域流F（t），满足平方可积条件：），满足平方可积条件：2022-4-2612CopyrightPei Zhang 2014用简单函数逼近用简单函数逼近2022-4-2613CopyrightPei Zhang 2014收敛法则与极限收敛法则与极限2022-4-2614CopyrightPei Zhang 2014一般被积函数伊藤积分的性质一般被积函数伊藤积分的性质2022-4-2615CopyrightPei Zh

6、ang 20142022-4-2616CopyrightPei Zhang 20142022-4-2617CopyrightPei Zhang 2014准备工作准备工作2022-4-2618CopyrightPei Zhang 2014伊藤积分与普通积分对比伊藤积分与普通积分对比普通积分：普通积分：2022-4-2619CopyrightPei Zhang 2014二、伊藤二、伊藤- -德布林公式德布林公式 1940年年2月，法兰西国家科学院收到对德作月，法兰西国家科学院收到对德作战前线的法国士兵德布林（战前线的法国士兵德布林（W. Doeblin）寄）寄来的一袋文件。此后不久，德布林不幸阵来

7、的一袋文件。此后不久，德布林不幸阵亡。文件直到亡。文件直到2000年年5月才打开，人们发现月才打开，人们发现德布林给出了与伊藤略有区别的随机积分德布林给出了与伊藤略有区别的随机积分的构造以及变量替换公式的清晰表述。的构造以及变量替换公式的清晰表述。 伊藤伊藤-德布林公式是随机微积分体系的完整德布林公式是随机微积分体系的完整理论表述。理论表述。2022-4-2620CopyrightPei Zhang 2014主要内容主要内容 布朗运动的伊藤布朗运动的伊藤德布林公式德布林公式 微分形式微分形式 积分形式积分形式 伊藤过程的伊藤伊藤过程的伊藤德布林公式德布林公式 微分形式微分形式 积分形式积分形式

8、 非随机被积函数的伊藤积分非随机被积函数的伊藤积分2022-4-26CopyrightPei Zhang 201421（一）布朗运动的随机微积分（一）布朗运动的随机微积分微分形式的伊藤微分形式的伊藤- -德布林公式德布林公式2022-4-2622CopyrightPei Zhang 2014积分形式的公式积分形式的公式伊藤积分伊藤积分勒贝格积分勒贝格积分2022-4-2623CopyrightPei Zhang 2014勒贝格积分与黎曼积分勒贝格积分与黎曼积分 它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划数值区域

9、进行划分；后者是对函数定义域进行划分。分。 对此对此LebesgueLebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：自己曾经作过一个比喻，他说： 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是再相加，这就是LebesgueLebesgue积分思想；如不按面额积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是总数，那就是RiemannRiemann积分思想。积分思想。（参见：周性伟，实变函数教学的点滴

10、体会，（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，高高等理科教学等理科教学，2000.12000.1）2022-4-2624CopyrightPei Zhang 2014 布朗运动的伊藤布朗运动的伊藤- -德布林公式德布林公式（二元函数）（二元函数）2022-4-2625CopyrightPei Zhang 2014证明概要证明概要1、先证明对于一元随机变量是成立的、先证明对于一元随机变量是成立的2022-4-2626CopyrightPei Zhang 20142022-4-2627CopyrightPei Zhang 20142、二元变量的情形、二元变量的情形2022-4-2628Copyri

11、ghtPei Zhang 2014注释注释2022-4-2629CopyrightPei Zhang 2014泰勒逼近泰勒逼近2022-4-2630CopyrightPei Zhang 2014（二）伊藤过程的随机微积分（二）伊藤过程的随机微积分伊藤过程的定义：伊藤过程的定义：伊藤过程的微分形式：伊藤过程的微分形式：2022-4-2631CopyrightPei Zhang 2014伊藤过程的积分伊藤过程的积分类似于布朗运动的伊藤类似于布朗运动的伊藤- -德布林公式，可以推导伊藤过程的伊藤德布林公式，可以推导伊藤过程的伊藤- -德布林公式：德布林公式：2022-4-2632CopyrightP

12、ei Zhang 2014伊藤过程实例（伊藤过程实例（1）2022-4-2633CopyrightPei Zhang 20142022-4-2634CopyrightPei Zhang 2014伊藤过程实例（伊藤过程实例（2）均值回复模型均值回复模型2022-4-2635CopyrightPei Zhang 2014伊藤过程实例（伊藤过程实例（3）特点：特点：1、均值回复模型，且利率非负、均值回复模型，且利率非负2、无法写成封闭形式的解、无法写成封闭形式的解2022-4-2636CopyrightPei Zhang 2014三、三、Black-Scholes-Merton方程方程 基本假设：标

13、的资产服从几何布朗运动基本假设：标的资产服从几何布朗运动 推导期权定价的偏微分方程推导期权定价的偏微分方程 期权价格即为：为了完全对冲期权空头头期权价格即为：为了完全对冲期权空头头寸所需要的初始资本寸所需要的初始资本2022-4-2637CopyrightPei Zhang 2014关于随机过程在金融中的运用关于随机过程在金融中的运用 布朗运动引入到金融研究中（布朗运动引入到金融研究中（Bachelier，1900） 随机分析与有效市场假说（随机分析与有效市场假说（Samuelson，1965） 随机分析在金融中的运用（随机分析在金融中的运用（Merton，1969）2022-4-26Copy

14、rightPei Zhang 201438Merton（1944-）的工作）的工作 麻省理工学院经济学麻省理工学院经济学博士学位（博士学位（1970年）年） 长期资本管理基金（长期资本管理基金（Long-Term Capital Management）创始人）创始人（1994年）年） 系统性地提出随机分系统性地提出随机分析在金融中的运用析在金融中的运用 Scholes和和Merton同时同时获得诺贝尔经济学奖获得诺贝尔经济学奖（1997年）年）2022-4-2639CopyrightPei Zhang 2014（一）投资组合价值的变化（一）投资组合价值的变化1、资产组合（、资产组合（X（t）：

15、）： 货币市场账户（无风险资产）货币市场账户（无风险资产） 股票市场（风险资产）股票市场（风险资产）2、股票价格服从、股票价格服从几何布朗运动几何布朗运动：3、在时刻、在时刻t投资者持有股票的份额为投资者持有股票的份额为（t）（t）是适应性随机过程）是适应性随机过程）4、货币市场账户：、货币市场账户：2022-4-2640CopyrightPei Zhang 2014投资组合价值的驱动因素投资组合价值的驱动因素股票的股票的资本利得部分资本利得部分现金头寸的现金头寸的利息收入部分利息收入部分2022-4-2641CopyrightPei Zhang 20142022-4-2642Copyrigh

16、tPei Zhang 2014考虑考虑“贴现贴现”股票价格过程股票价格过程根据伊藤根据伊藤德布林公式：德布林公式：（设定：（设定： ）2022-4-2643CopyrightPei Zhang 2014考虑考虑“贴现贴现”资产组合过程资产组合过程2022-4-2644CopyrightPei Zhang 2014（二）期权价值的变化（二）期权价值的变化 欧式看涨期权：欧式看涨期权： 用用c(t,x)表示看涨期权在时刻表示看涨期权在时刻t的价值的价值（x表示表示t时刻股票价格时刻股票价格S（t）根据伊藤根据伊藤德布林公式：德布林公式：2022-4-2645CopyrightPei Zhang 2

17、014计算计算“贴现贴现”期权价格过程期权价格过程由伊藤由伊藤德布林公式：德布林公式：2022-4-2646CopyrightPei Zhang 2014（三）无套利关系（三）无套利关系 期权的无套利价格应该在什么水平？期权的无套利价格应该在什么水平？ 对于期权空头方来说，卖出期权获得的期对于期权空头方来说，卖出期权获得的期权费应刚好用于投资股票和货币市场账户权费应刚好用于投资股票和货币市场账户，即股票和货币市场账户的总价值应等于，即股票和货币市场账户的总价值应等于期权费（期权价值），即：期权费（期权价值），即：2022-4-2647CopyrightPei Zhang 2014将两个将两个“

18、贴现贴现”过程代入：过程代入：对应项相等：对应项相等：2022-4-2648CopyrightPei Zhang 2014期权空头对冲成功期权空头对冲成功2022-4-2649CopyrightPei Zhang 2014（四）（四） Black-Scholes-Merton Black-Scholes-Merton方程方程的解的解是一个抛物线型偏微分方程，完整表述还应该包是一个抛物线型偏微分方程，完整表述还应该包括终值条件和边界条件：括终值条件和边界条件：2022-4-2650CopyrightPei Zhang 2014Black-Scholes-MertonBlack-Scholes-M

19、erton方程的解方程的解2022-4-2651CopyrightPei Zhang 2014（五）从希腊字母对冲角度来看（五）从希腊字母对冲角度来看期权的无套利定价期权的无套利定价Delta:Theta:Gamma:2022-4-2652CopyrightPei Zhang 2014运用希腊字母分析对冲运用希腊字母分析对冲 假设卖出看涨期权假设卖出看涨期权 要求持有要求持有 股票，价值为股票，价值为 对冲组合价值为对冲组合价值为 货币市场账户价值为货币市场账户价值为负数说明需要借贷资金负数说明需要借贷资金如果是买入看涨期权，如何对冲？如果是买入看涨期权，如何对冲？2022-4-2653CopyrightPei Zhang 2014考虑对看涨期权多头对冲考虑对看涨期权多头对冲2