第二讲--初等模型

1、 第第二二讲讲 初等模型初等模型2.1 录像机计数器的用途录像机计数器的用途2.2 光盘的数据容量光盘的数据容量2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.4 公平的席位分配公平的席位分配问问题题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？2.1 录像机计数器的用途录像机计数器的用途经试验，一

2、盘标明经试验，一盘标明180分钟的录像带分钟的录像带从头走到尾，时间用了从头走到尾，时间用了184分，计数分，计数器读数从器读数从0000变到变到6061。录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录像带录像带录像带运动方向录像带运动方向录像带运动录像带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录像带运动速度是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！模型假设模型假设 录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是

3、常数 v ； 计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn； 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r ； 时间时间 t=0 时读数时读数 n=0 .建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设（设v, ,k, ,w , ,r为已知参数）为已知参数）模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi, m圈的总长度圈的总长度等于录像带在时间等于录像带在时间t内移动的长度内移动的长度vt

4、, 所以所以knm nvrknvwkt222mivtwir1)(22. 考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即乘以转过的长度，即wvtrwknr)(22nvrknvwkt2223. 考察考察t到到t+dt录像带在录像带在右轮盘缠绕的长度，有右轮盘缠绕的长度，有vdtkdnwknr2)(模型建立模型建立思思 考考nvrknvwkt2223 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数模型中有待定参数,kvwr一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。一种

5、确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。mivtwir1)(2wvtrwknr)(22vdtkdnwknr2)(思思 考考参数估计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作将模型改记作,2bnant只需估计只需估计 a,b理论上，已知理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组再有一组(t, n)数据即可数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：现有一批测试数据： t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 14

6、0 160 184n 4004 4545 5051 5525 6061用最小二乘法可得用最小二乘法可得.1045.1,1061.226ba模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：bnant2)1045.1,1061.2(26ba模模 型型 应应 用用回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时时 t = 116.4分，分，剩下的录像带能录剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。分钟的节目。揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规律，这一普遍规律，当录像带的状态改变时，

7、只需重新估计当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。即可。2.2 光盘的数据容量光盘的数据容量背景和问题背景和问题 20世纪世纪80年代出现激光唱片年代出现激光唱片(CD)与激光视盘与激光视盘(LD), 统称统称光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等. 20世纪世纪90年代出现数字视频光盘年代出现数字视频光盘(DVD). 21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展. CD的数据容量的数据容量:

8、单层单层650MB(兆字节兆字节)DVD的数据容量的数据容量: 单层单层4.7GB(千兆字节千兆字节)从数学建模的角度研究从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是光盘的数据容量是怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化.调查和分析调查和分析45mm120mm2mm信道间距信道间距信道信道(螺旋线螺旋线)经过编码的数字信息，以经过编码的数字信息，以一定深度和宽度、不同长一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式，用烧蚀度的凹坑的形式，用烧蚀技术存储在光盘表面呈螺技术存储在光盘表面呈螺旋线形状的信道上旋线形状的信道上. 当盘片上环形区域面积一定时，当盘片上环形区域面

9、积一定时，数据容量数据容量的大小的大小取决于取决于信道的总长度信道的总长度与信道上存储数据的与信道上存储数据的线密度线密度. 决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长激光的波长，和，和驱动光盘的机械形式驱动光盘的机械形式.调查和分析调查和分析 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须精确地聚焦所携带的信息，必须精确地聚焦. 数据容量数据容量 激光波长激光波长 驱动形式驱动形式 信道长度信道长度 线密度线密度激光波长激光波长 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑光的衍射使激光束在光盘上形

10、成圆状的光斑. 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比而光斑的大小与激光波长成正比. 激光器激光器激光波长激光波长（m）光斑直径光斑直径（m）信道间距信道间距（m）数据线密度数据线密度（字节（字节/mm）红外红外(CD)0.7821.6121红色红色(DVD)0.640.9250.74387蓝色蓝色(DVD)0.410.40.32800调查和分析调查和分析恒定角速度恒定角速度(CAV)驱动光盘的机械形式驱动光盘的机械形式每一圈螺旋线上存储每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息同等数量的数据信息容量取决于最内圈的长容量取

11、决于最内圈的长度、线密度以及总圈数度、线密度以及总圈数 各圈螺旋线上数据各圈螺旋线上数据的线密度不变的线密度不变 容量取决于固定的线容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度密度和螺旋线总长度 恒定线速度恒定线速度(CLV )从光盘的容量比较，从光盘的容量比较，CLV优于优于CAV. 数据读取时间数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要不需要. 对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV;对词典、数据库、人机交互等常

12、要随机查找的信息，多用对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.模型建立模型建立 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘R1光盘环形区域内圆半径光盘环形区域内圆半径, R2 外圆半径外圆半径, d 信道间距信道间距CLVCLVLCLCLV 信道总长度信道总长度 1CLV102 ()nkLRkd2121()()RRRRdd2221CLV()RRLd环形区域面积环形区域面积/信道间距信道间距 同心圆平均周长同心圆平均周长*总圈数总圈数 2121CLV22RR RRLd 数据容量数据容量线密度线密度,(n总圈数总圈数)其他方法建模其他方法建模模型建立模型建立 CAV(恒定角速度恒定角

13、速度)光盘光盘螺旋线最内圈的长度近似为螺旋线最内圈的长度近似为2R1, 总圈数可视为总圈数可视为dRR12 21CAV12RRLRd数据容量数据容量LCLV 信道总长度信道总长度 线密度线密度,CAVCAVLC当线密度当线密度、信道间距、信道间距d和外径和外径R2给定后，给定后， 可选择可选择环形区域的内圆半径环形区域的内圆半径R1，使数据容量最大，使数据容量最大 .模型求解模型求解 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘激光器激光器激光波长激光波长(m)信道长度信道长度(mm)信息容量信息容量, (MB)影像时间影像时间(min)红外红外(CD)0.785,611,17967918红色红色(

14、DVD)0.6412,132,2794,695126蓝色蓝色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm , R1=22.5 mm 2221CLV()RRLdCD信道长度在信道长度在5km以上，容量约以上，容量约680 MB; DVD容量在容量在GB量级量级. 影像时间按照每秒钟占用影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算计算 .模型求解模型求解 激光器激光器激光波长激光波长 (m)信道长度信道长度 (mm)信息容量信息容量, (MB)影像时间影像时间(min)红外红外(CD)0.783,302,59940011红色红色(DVD)0.647,140,7552,764

15、74蓝色蓝色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度恒定角速度)光盘光盘21CAV12RRLRdCAVCAVLC222Rd即使在内圆半径的最佳选择下，即使在内圆半径的最佳选择下，CAV光盘光盘的信息容量也小于的信息容量也小于CLV光盘光盘 .R1=R2/2时时LCA V最大最大 2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处

16、于稳态不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层双层单单层层dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数dTTkQa111dlhkkhssdTTkQ,)

17、2(212111建模建模lTTkba2dTTkb21记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.

18、03即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比，可减少可减少97%的热量损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系所以如此小，是由于层间空气的热传导系数数k2 2极低极低, , 而这要求空气非常干燥、不流通而这要求空气非常干燥、不流通. .房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多损失的热量更多.dlhhQQ,18121实际上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大!2.4 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果

19、 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公

20、公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分

21、配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1= p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化