2019届福建省南平市高三第一次综合质量检查(1月)数学(理)答案

1、南平市 2018-2019 学年高中毕业班第一次综合质量检测理科数学试题参考答案及评分标准由正弦定理，整理得2si nC cosAs in B cos A = si nA cosB,/. 2 si nC cos A = si n(A B)二si nC,1n在厶 ABCABC 中，si nC=0，二cos A，乙A =-2-b2+c2_a2(2 2)由余弦定理cos A二 一c_a2bc二b2c2-12 be _ 2bc -12, bc 12，当且仅当b二c时取等号，1.r三角形的面积ABCbcsin A _3.3,2三角形面积的最大值为3,3.1818. (1)(1)证：取BC中点为点O，因为

2、三角形由题易得，DE /A0，从而DE _ BC，又因为平面SBC_平面ABC,平面SBC平面ABC= =BC,DE _ BC,DE平面ABC, 所以DE_平面SBC ,4分又SB平面SBC，所以DE_SB .5 5 分解：因为SB二SC，所以SO BC, ,又平面SBC_平面ABC,平面SBC Pl平面ABC= =BC,SO BC,SO平面SBC,说明：1 1、本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2 2、对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度

3、决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3 3、只给整数分数. .选择题和填空题不给中间分 一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题(1 1) C C(2 2) A A( 3 3) D D(4 4) C C( 5 5) D D7 7) B B(8 8) A A(9 9) B B(1010) C C(1111)二、 填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题(15(15)耳4(1313)-2三、解答题:n(14(14)an=2=25 5 分，满分 6060 分.(6 6) D DB B(1212) C C5 5 分，满分

4、2020 分.1(3(17(17)解:本大题共6 6 小题，共/ 、cos A a(1)： 一cosB 2cb7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，所以(2cb)cosA = acosB得(2sin C -sin B)cos A = sin A cosB,=2 3，9分1111 分.1212 分ABC是正三角形，所以AO _ BC,. 2 2 分所以SO_平面ABC,所以OA,OB,OS两两垂直，分别以射线OA,OB,OS为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系设CA二CB二AB = 4，SO二h，则A(2 . 3,0,0)，C(0, -2,0)，S(0,0, h)， 从而

5、SA = (2J3,0,-h)，SC =(0,-2,-h), ,设平面ASC的法向量：= (x,y,z)，取平面BSC的一个法向量m = (1,0,0)，5cos：n,m =52贝U DS=(、3,1,2、3),cos：DS,m4令SD与平面SBC所成角的大小为 则sin3. .4(注：本题也可过点O作SC的垂线，设垂足为H，连AH，可证得.AHO即为二面角A - SC -B的平面角，再求解)o - xyz，由n驾0n SC = 0得2、.3x - hz = 0 y + hz = 02得：h3，所以n=y =-h,-h,2)，1010 分故SD与平面SBC所成角的正弦值为1212 分y6 6

6、分所以h5，解得h = 2、3，51919解(1)(1)由题意得a2-b2=1込2， 2a 电2x2解得，则所求的椭圆E方程为+y2=1.4 4 分b =12设人（为，）, B（X2,y2）, ARB的内切圆半径为r.由题意得AF.B的周长为4.2, ,则.：AF,B的面积S僅讣=；4 2r =2、2r.6 6 分由题意可设直线AB方程为x二my 1,将其代入椭圆方程x22y 1并化简得2 2 2(2 m )y 2my1 = 0, ,：= 8m 80m +2m+2- 22 2 m21故丨 -丫2丨二（y2）-4y2二2020 解：（1 1）根据直方图的数据可得：2（a 2a 0.1 0.2 0

7、.1 a1,所以，a =0.025；. 2 2 分（2 2）根据直方图可知，样本中优质树苗由120 （0.1 0.025） 2 = 30（棵）,4 4 分于是可以完成下表：甲基地乙基地合计优质树苗101020203030非优质树苗606030309090合计70705050120120S.AF11m221010 分2 2 m21刚m21则2 . 2r，即r2m2+2F2. m +1m22 1 1, ,当m = 0时成立等2号,max1,则内切圆面积的最大值为247C1212 分m22所以有99.5%的把握认为优质树苗与甲乙两个基地有关；.7 7 分11(3 3)由已知，这批树苗是优质树苗的概率

8、为一，且X服从二项分布N(4, ),8 8 分34134即P(X =i)=。；(_)(_)丄，j = 0,1,2,3,4,44所以X的分布列为:X0 01 12 23 34 4P8127273125664128642561010 分X的数学期望EX =4 - =1 .1212 分42121. (1 1)解：由题意得f (x)二ex- m.1当m空0时，f (x)0,则f (x)是(：)上的增函数，故f(x)无最小值. .1 1 分2当m 0时，x(匚片1 n m ), ,f(x)：0;x(l n m,：), ,f (x) 0,即f (x)在区间(-：，1 nm)上单调递减，在区间(Inm，:：

9、)上单调递增，则fmin(x)二f (In m) =m(2 - In m) 0,解得m e2, ,故m的取值范围是(e2,匸：).4 4 分(2 2)证明：由题意知m是f (x)有两个零点x1,x2(捲：x2)的必要条件. .要证x2”：x-! x2，只要证(-1)(x2-1) ”：1由函数f (x)有两个零点,x2(捲”：x2)得-口(为-1) = 0,ex2- m(x2-1) = 0,ex1ex2即x1-1,x2-1 =mm2n(ad-be)计算K2(a +b)(c + d)(a + c)(b+d)2120 (10 30-20 60)30 9070 5072727.8797ex1eX2所以

10、只要证 ：:1，即证ex1x21),则b t2=lntjTnt2,即1 Tn 1 =t2Tnt2要证X1X2：x1x2，只要证(X1T)(X2-1)：1，即证 址2”：18 8分1令h(t) =t -l nt, ,则h(t) =1_ ,当t (0,1), ,h(t)：0;t(1,：), ,h(t)0;即当t(0,1)，h(t)是减函数;当t(1,*), ,h(t)是增函数;11要证址2门，只要证t2，又t21,-1，当t (1,：), ,h(t)是增函数;t1t11所以只要证h(t2h：h(1)，t11又h(t2)=h(tj，即证h(tj：h( ),t1111-t -lnt In t 21 n

11、t，t(0,1)ttt解：(1 1)由直线l的极坐标方程J2Pcos(e +n) =3化简得：Pcos日一Psin日一3 = 04=COST， y = Qsin v-直线l的直角坐标方程x-y-3=0. x =2 +c o席(0兰a na为参数)消去参数a得：= 1 +si n2 2(x-2) (y -1) =1,(仁八2). .(2 2)法一点P到直线l距离d=(2 cos)一(1sin3 _22 sin(一71010 分1令g(t) =h(t) -h：)1 2则g(t)日占2=(护.0,当tg)时,g(t)是增函数;因为帚(0,1)，所以g(tj：g(1)=0,所以h(tj：h()t1所以

12、NX?：x x2成立1212 分2222.曲线C的参数方程为2n ”n” 3 n丁0兰a兰n,”一一兰a 兰.4442.- n .sin()-1. .24二当sin(Gn)=1时，点P到直线丨距离最大值为12 +1.4当sin(a-nn =_时，点P到直线丨距离最小值为 . 1010 分422法二曲线C的普通方程为(x - 2)2(y -1)2=1,(仁y 2)，是上12_3丨l圆心(2 2，1 1)到直线l的距离d= =- - -. 2. .Q2.点P到直线丨距离最大值为d. 21.1.8 8 分由图可知，点P为(3 3, 1 1 )时到直线l距离最小，最小值为丨3一3丨=2. . 1010 分J222323.解：(1 1) ：a = 1,.原不等式为|x-4|x，1|.6. .当x乞-1时，原不等式化简为-2x36, ,即x：-3；32当-1；：x4时，原不等式化简为5 6, ,无解；49当x 4时，原不等式化简为2x-3 .6, ,即x. .2综上，原不等式的解集为 X | X：-3或x9. . . 5 5 分2 2(注用图象法也可)111(2 2) f (x) ” x - 4a | | x | _| (x 4a) -(x ) |