2019届云南省昆明市高三1月复习诊断测试数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 17 页2019 届云南省昆明市高三 1 月复习诊断测试数学（文）试题、单选题 仁已知集合人=卜？厂 4。丄可，吐例-1V2 ,则 A 门（A. 7QB. 卯C.卜 5 UD.2【答案】B【解析】由集合交集的运算求解即可【详解】由集合- 1- 0 丄 2,，则 A n 0 = 0,1故选：B.【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题22 .在复平面内，复数 I 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】22（1-i）在复平面内，复数|=1 - i 对应的点（i, -1）位于第四象限.故选：D.【点

2、睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3 .某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率（%）12.610.418.53.08.116.37第2页共 17 页B.C：；：；D.10【答【解由任意角的三角函数的定义得和，由正弦的两角和计算公式可得根据表中数据，下列说法正确的是A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系C. 利润率与人均销售额成正相关关系D. 利润率与人均销售额成负相关关系【答案】C【解析】由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到【详解】

3、由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系 可得人均销售额和利润率成正相关关系故选：C.【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题a4 已知,1，则下列不等式正确的是（B.【答案】D【解析】由指数函数的单调性得，与常数1 比较得即可得答案【详y =因为13芒一件在 R 上递减，且， 所以 I:.又因为.：|1 0在 R 上递增，且.,所以.所以故选：D.【点本题考查了指数函数的单调性和与常数1比较大小，属于基础题5 .在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点nsinfa + -)=4()第3页共 17 页nsinta 4

4、-)4【详解】3 4p（-一厂）根据题意：x 轴的非负半轴为始边作角a 其终边与单位圆交于点5 5，由任意角的43n总g- cosa =- - sin（a + -） = sina + cosa）= 三角函数的定义得 sin a= ,，则I .故选：A.【点睛】 本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题6 如图，先画一个正方形 ，：1，再将这个正方形各边的中点相连得到第2 个正方形,依此类推，得到第4 个正方形：.在正方形：门内随机取一点，则此点取自正方形川冷内的概率是（【答案】【解析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的形的面积构成公比为 的等比

5、数列，由几何概型概率的求法即可得到【详解】1观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的，四边形的面积构成公匕”1（牛-比为：的等比数列，.第 n 个正方形的面积为.，即第四个正方形的面积.18 1=根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P=:,A.B.C.D.1第4页共 17 页故选：c.【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题x2yzC：- = i(a 0,b0)7 已知 是双曲线：渐近线上的点，则双曲线 i 的离心率是()虽A. 2B.C.D.【答案】A【解析】由1：在双曲线的渐近线上，得：=，由

6、 e= 计算可得【详解】x2/bbC：- = l(a 0)x厂-因为双曲线的渐近线方程为 y= , ：在渐近线上，所以-厂 +件=2，则e= =2.故选：A.【点睛】 本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题ny = &in(2x)8 .函数3图象的一条对称轴方程为()71TIX =X =A.B.TI5nK= -x =C.D.【答案】Dnn2x - - = + kn【解析】由，、得 x，取 k 值得答案.【详解】H H5Hkn5H2x - - = - + kn + 由，得x=_), k Z.取 k = 0,可得 x =.n5n2x -函数 y= sin ( J

7、 的图象的一条对称轴方程为x=第5页共 17 页故选：D.【点睛】本题考查了 y = Asin (3x+型函数的一条对称轴，属于基础题.2 2x YC:I=1( (3 lb 0)9 .已知，为椭圆的左，右焦点，为 的短轴的一个端点，直线叫与匚的另一个交点为化若叭为等腰三角形，则呱()1 1 2A.B.C.D. 3【答案】Aat =-【解析】设|AFi|= t (t 0),由已知条件得出|AB| = |AF2|,结合椭圆的定义得出可求出|AFi|和|AF2|,即可求出答案.【详解】 设|AFi|= t (t0)，由椭圆的定义可得 |AF2|= 2a-t，由题意可知,|AF2 |BF2|= a,由

8、于厶 BAF2是等腰三角形，则|AB| = |AF2|,即 a+t= 2a- t,所以：，所以:，因此故选：A.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题.10 .在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数 、棱数、面数 之间,都满足关系式:-,这个等式就是立体几何中的欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为()A. 10B. 12C. 15 D. 20【答案】B3【解析】由题意得面数 =20 , F=E，再由关系式

9、，可得 V.【详解】因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数=20 ,顶点数、棱数的关系为第6页共 17 页3F=E,由任意一个凸多面体的顶点数 棱数、面数之间，都满足关系式，3所以 V- F+20=2,得 V=12.故选：B.【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题11 已知函数 ,若函数：的图象在.I 处切线的斜率为，则；的极大值是（）,一2 2A.；B.-22C.D.【答案】AI【解析】由函数朋）的图象在处切线的斜率为茨，得 f二兀，从而得 m=Q 进而得 f （x ）的单调性，即可得极大值.=.【详解】2*1冀2因为函数 = ，所以，由函数.的图象在 I 处切线的

10、斜率为，所以-：）-曲 心=3e,所以 m=0.即 7 小八八 d=0 的根-2,0 , 因为.，所以函数递增，在 递减，在 递增，所以函数；的极大值.=:.故选：A.【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题12 在棱长均为的四面体中，点 为：的中点，点 为的中点 若点 /是平MB NB- =2面内的两动点，且：1, ，则卅小泳的面积为（）第7页共 17 页B. 3C.斗 D. 2【答案】CMB-匸2【解析】建立空间直角坐标系，写出 B,E,F 的坐标，设 M（x,y,O）的坐标，由 ，得 出 M 的轨迹，同理得出 N 的轨迹，由二

11、八，即可得到 的面积【详解】建立空间直角坐标系如图所示，D（0,2,0）,C（2，-1，0）,点 E 为 3 的中点，所以 EC，,0），点卩为匪的中点，F（/，MB且- 二20),设 M (x,y,0),阿 F ,1 1 _ _击SMMN=；XMNxAO =r2x2=2 MN，且 AO=一，故选：C.【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，圆的几何性质和三角形的面积的运算，属于中档题二、填空题13 已知向量（-询，=1 川,若估-兀）丄日，则仁_ .【答案】2A.：1为等边三角形，且儿：.所以 O=2,B（-，-1，0），化简得且点 M 是平面 BCD 内的动点,所以点NB2M 在以（0

12、,0 ）为圆心，以 1 为半径的圆上， 又,且点 N 是平面 BCD 内的动点,同理 N 也在这个圆上，且，所以 MN 为圆的直径,因为AO 丄面 BCD 所以 AO 丄第8页共 17 页【解析】由出 得心小T=0,计算可得 t 的值.【详解】已知向量 H -，：=!丨二，所以上 m”；.w m| 得 =: C 丄吕）=3+9_6t=0，所以 t=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.Kq： 014 设mX,p：O m，“1，若 P 是口的充分不必要条件，则巾的值可以是 _ .（只需填写一个满足条件的 即可）1【答案】：（的任意数均可）x0【解析】由 I 得

13、 q： 0 x1，由是的充分不必要条件，得 0m1 即可.【详解】x0由I 得 0 x1,所以 q： 0 x1，又，若是的充分不必要条件，1则:，1 1；,所以 0m1,满足题意的 m=（的任意数均可）.1故答案为：:r:的任意数均可）【点睛】本题考查了不等式的计算和充分不必要条件的应用，属于基础题15 在皿阮中，已知心心誠，则叫_ .【答案】3【解析】 在宀 中，.* ,丁， z 由余弦定理得 AB【详解】2?+ AB?721IcosBAC-二=j在 m 二中，已知:,由余弦定理得3、八丿得 AB=3 或-1 (舍).49-2、第9页共 17 页故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理解三角形

14、的边长的应用，属于基础题.16 .如图，在矩形中，已知丁 ，点，分别在、：上，且 设以 E AE-9,当四边形倉 ECF 的面积取得最大值时，则 tan 日=_.- * 1【答案】【解析】运用直角三角形的正切函数的定义和三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，注意等号成立的条件，可得所求值.【详解】在直角三角形 ABE 中，可得 BE = 4tan , (0tan01,在直角三角形 ADF 中，DF = 3tan (45 -0),1 1可得四边形 AECF 的面积 S= 12-2?4?4tan-2?3?3tan(45 -0)9 1-tanO92=12-8tan-?汕=20-8(1+tan0)+

15、 ?(1)498(1 + tan6) x-1 + tan9第10页共 17 页499丸 2(-(1 + tan6)=-= -12 ，当且仅当 81!，即卩 tan 9= - - 1,且满足 0vtan 吐 1则四边形 AECF 的面积取得最大值.故答案为：-1.【点睛】本题考查四边形的面积的最值，注意运用间接法和三角形的面积、以及正切函数的定义和基本不等式的运用，属于中档题.三、解答题17 .已知数列 是等比数列，公比：，若 .(1) 求.的通项公式；(2)设，求数列的前项和.n(5 - n) aTn=:【答案】(1)； (2).【解析】(1 )禾 9 用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公

16、比，进一步求出数列的通项公式.(2)利用(1)的结论，进一步利用等差数列的前n 项和公式求出结果.【详解】(1)由已知得1t1(ai= 1则.或 (舍去)(2)因为一.所以数列* 是首项为 2，公差为-1 的等差数列设数列 的前项和为，n(2 + 3 - n) n(5 - n)Tn-:-(1)选手甲完成挑战用时低于 90 秒的成绩共有 6 个，第11页共 17 页【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前 n 项和公式的应用，属于基础题.18 .中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在 全社会传播和弘扬 劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.

17、某公司准备派出选手代表公司参加 中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选 手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在 15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间(单位：秒)及挑战失败(用“表示)的情况如下表 1:序号X123456789101112131415甲X9693X92X9086XX8380787775乙X95X93X92X8883X8280807473据表 1 中甲、乙两选手完成该项关键技能挑战成功所用时间的数据，应用统计软件得下表 2:数字特征均值(单位：秒)方差方差甲8550.2乙8454(1)在表 1 中，从选手甲完

18、成挑战用时低于 90 秒的成绩中，任取 2 个，求这 2 个成绩 都低于 80 秒的概率；(2) 若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由1【答案】(1); (2)选手乙，见解析.【解析】(1)用列举法求出基本事件数，求出所求的概率值；(2)根据甲、乙选手的均值和方差，选出均值高且方差小的选手参赛更合适.【详解】其中低于 80 秒的有 3 个，分别记为，其余的 3 个分别记为，,第12页共 17 页从中任取 2 个的所有取法有：A1A2A1B1A1B2? ? ? ? ?AAA2B1A2B2A2Ba?A3B1

19、A3B2A3B3?5Bl02? ?B203共沁,种，其中 2 个成绩都低于 80 秒的有 3 种,31P =所以，所取的 2 个成绩都低于 80 秒的概率-.（2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10 次，失败次数都为 5 次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，其中，（秒），-:（秒），S2= 50.21 = 54选手乙代表公司参加技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但 ，乙选手用时更短，从表c2t2格中数据整体看，他们的用时逐步减少，由，这说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好【点睛】本题考查了

20、列举法求古典概型的概率问题，也考查了样本的数字特征应用问题，属于基础题.佃.如图，在四棱锥：；：中，底面是平行四边形，平面：门,AB 卿，E 是棱卩匚上的一点.（1）证明：平面;PE（2）若-平面，求的值；（3） 在（2）的条件下，三棱锥.：的体积是 18，求点到平面宀的距离.第13页共 17 页【答案】(1)见解析；(2) ; ( 3)【解析】(1)推导出 BC 丄 PD, BD 丄 BC,由此能证明 BC 丄平面 PBD . (2)连结 AC,交 BD 于 0,连结 0E，由 PA/平面 BDE，得 0E / PA,由此能求出.(3) B 到平面PCD 的距离 d =3 ，设 PD = a

21、,贝 U=/, 由三棱锥 P- BDE 的体积是 18,求出 PD =a= 6，设点 D 到平面 PAB 的距离为 h，由 VP-ABD= VD-PAB，能求出 D 点到平面 PAB 的 距离.【详解】(1)v在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PD 丄平面 ABCD , BC 丄 PD , AD = BD = 6, AB = 6 BC = AD ,二 BD2+BC2= CD2,： BD 丄 BC,/ PDABD = D, BC 丄平面 PBD .(2) 连结 AC 交 BD 于 0,连结 OE,贝 U O 是 AC 的中点，PE1_/ PA/平面 BDE , OE /

22、 PA,： E 是 PC 的中点，.=(3) B 到平面 PCD 的距离 d = = 3:,设 PD = a,三棱锥 P - BDE 的体积是18 , Vp-BDE= VB-PDE=第14页共 17 页=18,解得 PD= a= 6,设点 D到平面 PAB 的距离为 h, / PD 丄平面 ABCD , AD = BD = 6,PA= PB= t 亡匕；= 6 ?,也拯今 X 池 X 辺心=18占Wi) )4ADXABex6=18,VP-ABD = VD-PAB,一PDX S加6独8 h= LA = i T3 = 2；. D 点到平面 PAB 的距离为 2【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两

23、线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题.20 .过点 的直线 与抛物线交于，两点，是 的焦点，(1) 若线段，中点的横坐标为 3,求 T I 1 的值；(2) 求 I I 的取值范围.【答案】(1) 8 ; (2).【解析】(1)设, 贝旷.，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|. (2)由抛物线的定义可知|AF|?|BF= = m2yiy2，再根据韦达定理和判别式即可求出.【详解】(2)设，直线的方程为即血+沟話4由I得厂八y -八AB = 6 :,(1)盼曲,则叫+勺，由抛物线的定义知|AF| + |BFGf+2 = 8由

24、第15页共 17 页由抛物线的定义知J -,.则|AF| - |BF| (x1+ l)fx2+ 1)= m 勺此=4 吊因为 ，所以 l; J - lL-.故 I I 的取值范围是-【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查了运算能力和转化能 力，属于中档题1f(x) = 2lnx-x + -21 .已知函数.(1)讨论的单调性；.a-b a + bA/ab - -匕- 证明.丨!：? /求出函数 f (x)的定义域，并对函数 f (x)求导，确定 f(x)的正负,a - ba + b,a -b-jmb -aIn 厂a6和 Ina-Inb 2 .证明不等式1 n 日-Inb时，转化为 b YbJ，换兀 t(2)若【答案】(1)函数-是上的减函数；(2)见解析.【解析】(1)化为2lnt -b a-+ 1b ，换元a2(x -1)g(x) = lnx-x= 1，构造函数：通过函数 g (X)在区间(1 , +8)的单调性来证明.【详(1)函数 f(x)的定义域为(0, +8) ,X Xx22 -0所以，函数 f(x)在定义域(0, + R)上单调递减;lna-lnb b 0,分为两个不等式ab1，转第17页共 17 页知，函数 f (X)在(0, +8)上单调递减