五函数的周期性与对称性

1、五函数的周期性与对称性知识要点:1 1周期性:(1)周期函数的定义：定义在区间D上的函数f (x)，若对于-xD，存在非零常数T,使得f (x T)二f (x)，则称f (x)是以T为周期的周期函数。(2 2)几点结论：(1)周期函数的周期不唯一，_T,_2T,_3T,(2)最小正周期不一定存在。(3)函数的图像每隔T个单位就重复出现。2.2.对称性：(1) 函数y = f(x)的图像关于直线x=a对称二f(x)二f(2a-x)二f (a x)二f (a - x)f (a + x) = f (a - x)(2) 函数y = f (x)的图像关于直线x = a, x = b(a式b)对称二丿寸(

2、b + x) = f(b x)n T =2,b-a(3)函数y = f (x)是偶函数且图像关于直线x =a(a = 0)对称=T = 2a(4)函数y = f (x)是奇函数且图像关于直线x二a(a = 0)对称=T = 4a(5) 函数y二f (x)满足f(x)二f (x a) f(x-a)(x D)= T = 6a题例：H21.1.函数y =sin( 2x) +2cos x的最小正周期是 _. .32.2.设f (x)是定义在R上的以 2 2 为周期的周期函数且是偶函数，已知当2,3时，f(x)二x，则当-2,0时，f (x)的解析式为()()A.A.f(x)=x+4B.B.f (x)

3、=2 xC.C.f (x) =3x+1D.D.f(x)=2+|x + 13.3.设函数f(x)是周期为 2 2 的偶函数，且在区间0,1内单调递减，贝U f1), f (0), f (2.5)的大小关系为_. .334.4.定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-一,0)成中心对称，对任意的实数x都有4f (x) = f (x + ),且f (1) =1, f(0) = 2，则f (1)+ f (2) + f (2008) =25.5.定义在R上的函数f(x)满足f (x 23f (x),当x- 0,2时，f(x) = x2-2x,则x 4 _2时，f (x)的最小值是 _. .6.6. 已知

4、对任意实数x，有f (x) = f (x), g(x) = g(x)，且x 0时f (x) 0,g (x)0，则x：0时( )A.A.f (x)A0, g (x)A0B. f (x) 0, g (x) cOC Cf(x)cO, g(x)0D.D.f(x)0, g(x) 0，且g(3) = 0,则不等式f(x)g(x) c0的解集是_ . .设函数f (x)是R上以 5 5 为周期的可导偶函数，则曲线目=f (x)在x二5处的切线的斜率为_. .17.7. 设f (x)是定义R在上的偶函数，其图像关于直线X =1对称，对任意X!,X20,，都2有f(x1x2) = f (xj f (x2)。11(1 1)设f(1) =2,求f ( ), f( )；(2 2)证明f (x)是周期函数。24备用题：8.8. 设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足：,f (xj f (x2) +1(1 1)f(X1- X2)12；( 2 2)存在正常数a，使f(a)=1.f (X2) f (xj求证：(1 1)f (X)是奇函数；(2 2)f (X)是周期函数，并且有一个周期为4a.9.9. 设f (x)是定义在R上的以 2 2 为周期的函数，用Ik表示区间(2k-1,2k T, (k Z)。已五函数的周期性与对称性知当X10时，f(X)