2019-2020学年浙江省丽水市四校高二上学期期中数学试题(解析版)

1、又直线过点（1 , -3）,第 1 页共 19 页2019-2020学年浙江省丽水市四校高二上学期期中数学试题、单选题1 1.圆y21n 】的半径为（）A A .B B.C C.D D5【答案】C【解析】试题分析：xi / |4y-变形为m一 2 r =5Ar=【考点】圆的方程2 2 .椭圆2x+ +2y=1=1(0(0 v m mv 4 4)的离心率为，则 m m 的值为（)4m2A A . 1 1B B.2C C. 2 2D D.2 2【答案】C【解析】利用椭圆方程，结合离心率公式求解即可.【详解】2 2-=1 (0v mv 4)的离心率为2,4 4m2可得宁寻，解得m=2.故选：c.【点

2、睛】 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查.3 3 .经过点（1 1,-3-3）,倾斜角是 150150。的直线方程是（【答案】B【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解.【详解】 解：直线的倾斜角为 150A所求直线的斜率 k=tan150=_3,3所求直线方程为 y+3= _3（x-1）,即x + J3y+3J31 =0.3故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角与直线的斜率的关系，考查直线的点斜式方程，是基础题.解：椭圆A A.x-、3y -3 .3 1=0B B.x、3y 3、3十0C C .x- Sy3.3 -0D D.x、3y -3 3十0第2页共 1

3、9 页4 4.圆Oi: x2 y2=1与圆O2: x2y2-2、2x-2 2y 3=0的位置关系是（）A A .外离B B.相交C C .内切D D .外切【答案】D【解析】根据圆的方程求得两圆的圆心和半径，根据圆心距和两圆半径的关系可确定位m 方置关系 .【详解】 由圆的方程可知圆Oi圆心为0,0，半径口=1；圆。2圆心为、.2,、2，半径2=1圆心距为：.2 -02& _0 2 = 2 =A飞两圆的位置关系为：外切本题正确选项：D【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径, 从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系5 5 .若直线 x x+（

4、1 1+ m m） y y 2 2 = 0 0 与直线 m m + 2y2y+ 4 4 = 0 0 平行，则 m m 的值是（） 亠3A A. 1 1B B. 2 2C C. 1 1 或一 2 2D D.2【答案】A【解析】分类讨论直线1 m y-2=0的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求.【详解】当m= -1时，两直线分别为x -2=0和x-2y - 4= 0，此时两直线相交，不合题意.当m=二-1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得故选 A.【点睛】 本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论.也可利用以下结论求解：若11: A-|X

5、 B*0=0,12：A2X- B2y C2= 0，则AB2=A2B）且B1C2:B2C1或AB =A?B1且AC2A2C1.6 6 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）第3页共 19 页tnmMAMA A .4 8、3二B B.4 8、3 2二C C .8 8一3二D D.8 8.3 2二【答案】C【解析】根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一个圆锥体剩余部分,结合图中数据求得该几何体的表面积.【详解】解：根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一个圆锥体剩余部分，如S=2 X22+4 X2 X、.3-n ?+n ?1?( . 3)212=8+8、3+

6、n故选：C.第4页共 19 页【点睛】 本题考查了由三视图想象出直观图，以及空间想象力，识图能力及计算能力.7 7 已知抛物线 C C： y y2 2=4x=4x 的焦点为 F F 和准线为 I I,过点 F F 的直线交 I I 于点 A A,与抛物线的一个交点为 B B,且FA=-2=-2FB，则|AB|=|AB|=()A A 3 3B B. 6 6C C 9 9D D 1212【答案】C【解析】利用FA=-2FB，结合抛物线定义求得 AB|.【详解】解：抛物线 C: y2=4x 的焦点 F(1, 0)和准线 I: x=-1，作图如下： FA= -2FB，可得 |FA|： |AB|=2 :

7、 3, |FD |: |BC|=2: 3,因为 |FD|=2,所以 |BC|=3, |FB|=3AB=3|FB|=9,故选：C.本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.8 8.已知直线y二mx 3m和曲线y-X有两个不同的交点，则实数血的取值范围是()【答案】A【解析】由直线方程得到直线过定点P -3,0，且斜率为m,又由曲线yh4x2是以原点为圆心，半径r =2的圆的上半圆，在同一坐标系内画出它们的图象，结合图象求解，即可得到答案【详解】 由题意，直线y二mx 3m二m x 3，则直线必过定点P -3,0，斜率为m,B B.-275,0第5页共 19 页又由

8、曲线y = .7TX2是以原点为圆心，半径r=2的圆的上半圆， 在同一坐标系内做出它们的图象，如图所示，2当直线与半圆切与点A时，它们有唯一的公共点，此时，直线的倾斜角满足si=-，3所以cosa = Ji _sin = 5，可得直线的斜率为m =tano =弘“=25，3co田5当直线y=mx3m的倾斜角由此变小时， 两图象有两个不同的交点，直线的斜率m变所以直线y =mx 3m和曲线y = .4_x2有两个不同的交点时， 实数m的取值范围是化到 0 为止，由此可得 o 0, b0),a2b2b 2222可得，并且 c2=13=a2+b2，可得 a=3, b=2,a 322所求双曲线的标准方

9、程为：-丄=1 .9422故答案为：x-y=1.第16页共 19 页94【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力，是基础题.1818 在平面直角坐标系xoy中，点A(1,0), B(4,0)，若在曲线C:x2_2ax y4ay 5a2-9 =0上存在点P使得|PB|=2|PA|,则实数a的取值范围为_【解析】根据题意，设 P (x, y),分析可得若|PB|= 2|PA|,则有(x-4)2+y2= 4 (x- 1)2+4y2,变形可得 x2+y2= 4,进而可得 P 的轨迹为以 O 为圆心，半径为 2 的圆；将曲线 C 的方程变形为(x- a)2+ (y- 2a)

10、2= 9，可得以(a, 2a)为圆心，半径为 3 的圆；据 此分析可得若曲线 C 上存在点 P使得|PB|= 2|PA|,则圆 C 与圆 x2+y2= 4 有公共点，由圆 与圆的位置关系可得 3 - 2 岂.a2.4a2冬2+3，解可得 a 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，设 P (x, y),若 |PB|= 2|PA|,即 |PB|2= 4|PA|2，则有(x-4)2+y2= 4 (x- 1)2+4y2,变形可得：x2+y2= 4,即 P 的轨迹为以 o 为圆心，半径为 2 的圆，曲线 Cx2- 2ax+y2- 4ay+5a2- 9 = 0,即(x- a)2+ (y - 2a)2=

11、 9,则曲线 C 是以(a,2a)为圆心，半径为 3 的圆；若曲线 C 上存在点 P 使得|PB|= 2|PA|,则圆 C 与圆 x2+y2= 4 有公共点，则有 3 -2匚、a24a2空 2+3，即 1 _. 5|a| /5 ?(4 _4乂=7T5；(n )将直线 y= ax+i 和抛物线 y2=4x 联立，可得 a2x2+ (2a-4) x+i=0, a 工 0设 A (Xi, yi), B (X2, y2),可得 = (2a-4)2-4a2=i6-i6a 0, 即 av i,4 -2aXi+X2=2，XiX2=2, yiy2= (axi+ i)aa以 AB 为直径的圆经过原点 O,可得

12、OA 丄 OB，可得 XiX2+yiy2=0,即有(i+a2) Xix2+a (xi+X2)+i= (i + a2) ?4+a? +仁 0 ,aa1解得 a=，满足 0,4故 a=丄4【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及向量数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题.2 2XV2222121 .已知直线 l l：y=kx+my=kx+m 与椭圆 + +2=1(=1( a a b b 0)0)恰有一个公共点 P P ,1,1 与圆 x x +y+y =a=aa b(I)求 m m (用 a a, b b, k k 表示)；2(ax

13、2+i) =a xiX2+a (xi+X2)+i,相交于 A A, B B 两点.第19页共 19 页112(n)当 k=k=-时，AOBAOB 的面积的最大值为a a ,求椭圆的离心率.22【答案】(I) m=士、k2a2b2；(U)4【解析】(I )根据题意，联立直线与椭圆的方程，变形可得(a2k2+b2) x2+2a2kmx+a2(m2-b2) =0，由直线与椭圆的位置关系可得 = (2a2km)2-4 ( a2k2+b2) a2(m2-b2) =0,整理变形可得答案;的离心率公式分析可得答案.【详解】, aOA 丄 OB，从而原点 O 到直线 I 的距离d =v2mk21，故(n)根据

14、题意，求出原点O 到直线 I 的距离，变形可得a2k2b2k212，结合椭圆2解：(I )根据题意，直线=1 ab0恰有一个公共点 P,即相切;y = kx m则有x2y2-+-a2b2z2 2 2X2 2， 得(a k+b ) x+2akmx+a=12 2(m -b ) =0,则 = (2a2km)2-4 (a2k2+b2) a2(m2-b2) =0,2 2. 22化简整理，得 m =a k +b ;m=士, k2a2b2，(n)因为当k时,2 OAB 的面积取到最大值此时再由2. 2 ,2(I(I)，得咅2，则2k2=12b22a从而一2，故宀12b21e22= C_=12Ia =5a28

15、102第20页共 19 页【点睛】 本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.第21页共 19 页2222已知抛物线E:y =2px p 0，过其焦点F的直线与抛物线相交于A Xi,%、B x2, y2两点，满足y“2二-4. .（1 1）求抛物线E的方程；1 1（2 2） 已知点C的坐标为- 2,0，记直线CA、CB的斜率分别为ki，k2，求 门门k1k2的最小值. .29【答案】（1）y =4x；（2）.2【解析】（1）设直线AB的方程为x =my卫，将直线AB的方程与抛物线E的方程2联立，消去x，利用韦达定理并结合条件y2 =-4可求出实数p的值，由此得出抛物线E的方程

16、；（2）由（1）得出直线AB的方程为X =my 1，将该直线方程与抛物线E的方程联立，1 122的最小值k2k；【详解】（1）因为直线AB过焦点F卫,0，设直线AB的方程为X二my，卫， 辽丿2p x- my将直线AB的方程与抛物线E的方程联立y2，消去x得2 cy =2px2 2y -2mpy-p0，2八2所以有y2二-p4，（p 0， p=2，因此，抛物线E的方程y=4x；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为F 1,0，设直线AB的方程为my 1，联立抛物线的方程y2-4my -4 =0，所以y1y 4m，y2二-4，k2y2并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出关于m的表达式，可得出

17、k1k22第22页共 19 页2 2程与椭圆联立，可得(3+4k )x+8kx-8=0 ,由根与系数的关系分析,X18k3 4k283 4k2结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得因此，当且仅当m=0时，丄有最小值9.kik22【点睛】(1)(1) 求椭圆 C C 的标准方程；(2)(2) 如图，过点 C C (0 0, 1 1)且斜率大于 1 1 的直线 l l 与椭圆交于 M M , N N 两点，记直线 AMAM 的斜率为k k1,直线 BNBN 的斜率为 k k2,若 k k1=2k=2k2，求直线 I I 斜率的值.【答案】【解析】(1)根据题意，由椭圆离心率可得a=2c，进而可得 b

18、=.3c，则椭圆的标准2 2方程为-=1，将 P 的坐标代入计算可得4c23c2(2)根据题意，设直线 I 的方程为 y=kx+1，设 M(X1, y0, N (X2, y2),将直线的方因此3 3、m + +m1y1丿1%丿2=2m 6m(11 n 1)+ + 92 * 2宀y2丿宀%丿2= 2m26m9*%2 2y,y2224m 4m 8 -2m2-6m9 -416= 5m2-2本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解,对于直线与抛物线的综合问题,般将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题2 22323.已知椭圆 C C:务气=1 ab0的左、右顶点分别为a b1A A, B B,离心率为一，点23P P (1 1,)为椭圆上一点.2c 的值，即可得答案;1 1一 + 2. 2k,k2第23页共