2022届河南省高三下学期3月质量检测数学（理）试题（含答案）

1、2022届河南省高三下学期3月质量检测数学（理）试题一、单选题1已知复数满足，则（）ABCD【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以.故选：B.2已知集合，若，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】利用元素与集合的关系求解.【详解】因为，所以，解得故选：D3若的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为（）A729B64C1D【答案】C【分析】先利用通项公式写出第3项，解出，再令，求出各项系数的和.【详解】因为为常数项，所以，所以令，得展开式的各项系数和为故选：C4若，则（）ABCD3【答案】A【分析】先求

2、出，对进行弦化切代入计算即可.【详解】因为，所以，则故选：A5古希腊数学家帕普斯通过在矩形ABCD中构造内接直角三角形，证明了三角公式（其中，），如图所示.若，则（）ABCD【答案】A【分析】由题意推导得F是CD上靠近C的三等分点，E是BC的中点，从而将与表示为以为基底的形式，然后联立消去即可得答案.【详解】由题意可知，在直角三角形中，；在直角三角形中，；在直角三角形中，综上，F是CD上靠近C的三等分点，E是BC的中点，所以，两式联立消去，得.故选：A6某校举行运动会期间，将学校600名学生编号为001，002，003，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号

3、码为009.将这600名学生分别安排在看台的A，B，C三个区，001号到130号在A区，131号到385号在B区，386号到600号在C区，则样本中属于A，B，C三个区的人数分别为（）A10，21，19B10，20，20C11，20，19D11，21，18【答案】D【分析】系统抽样是等间隔抽样，所以抽样间隔为，且第一段中随机抽得的号码为009，所以所有抽到的号码为，根据条件列出不等式即可解得A，B，C三个区的人数.【详解】由题意知抽样间隔为，因为在第一段中随机抽得的号码为009，故所有抽到的号码为，根据条件得：A区：，即，所以可以取：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11人，同理，

4、可得B区抽中21人，C区抽中18人.故选：D.7如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；【详解】解：以D为原点，以，的方向分别作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以，所以所求角的余弦值为故选：A8已知函数，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A的最小正周期是B的最小值为C在上单调递增D的图象关于点对称【答案】C【分析】依据题意对函数进行变换，

5、然后利用三角函数的性质解题.【详解】由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得；再将所得到的图象向右平移个单位长度得所以，其最小正周期为，最小值为排除AB；其单调递增区间为,解得，C正确；对称中心为，解得，所以其图象关于点对称，排除D.故选：C9如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，若，的面积分别为，且，则抛物线的方程为（）ABCD【答案】B【分析】过A，B分别作C的准线的垂线交y轴于点M，N，根据抛物线定义可得，再由即可求参数p，进而可得抛物线方程.【详解】如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N，因为C的准线为，所以，所以，

6、解得，故C为.故选：B.10设函数，则不等式的解集是（）ABCD【答案】A【分析】由函数单调性结合特值去排除错误选项即可简单快捷地解决此题.【详解】则函数为上的奇函数.又当时，单调递增，且当时，单调递增，且则为上单调递增函数，又函数为上的奇函数，则为上单调递增函数，且当时当时，不等式可化为，不成立.则选项BC错误；当时，不等式可化为，即，但是，则此不等式不成立，故不是不等式的解.则选项D错误：只能选A.故选：A11已知圆，圆，在圆上，在圆上，则下列说法错误的是（）A的取值范围是B直线是圆在P点处的切线C直线与圆相交D直线与圆相切【答案】C【分析】对于A：由圆，的圆心均为，直接求出；对于B：直接

7、求出切线方程符合；对于C：求出点到的距离，可判断出直线与圆相离；对于D：求出点到的距离即可判断【详解】对于A：因为圆，的圆心均为，半径分别为1，3，所以，故A正确；对于B：若则直线的斜率为，则过点P的切线斜率为，故过点P的切线方程为，化简得，易验证当时，或时，切线方程符合，故B正确；对于C：点到的距离为，则直线与圆相离，故C错误；对于D：点到的距离为，所以直线与相切，故D正确故选：C12已知，其中且，则（）ABCD【答案】D【分析】将选项变形，然后构造函数，求导得到函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】由题意可知，所以，.令，则，；又，则在上单调递减，在上单调递增，如图所示；因为，所以

8、，所以，又，且在上单调递减，所以.故选：D.二、填空题13已知双曲线，若直线为C的一条渐近线，则C的离心率为_【答案】【分析】根据双曲线渐近线的定义可得，结合双曲线离心率的定义即可求解.【详解】由题意知双曲线的渐近线为，又双曲线的一条渐近线为，得，所以故答案为：14小明在一个专用的纸箱中收藏了一套精美的2022年北京冬奥会十二生肖纪念邮票，共12枚，现从这12枚邮票中随机抽取3枚，恰好有1枚为老虎图案邮票的概率为_【答案】0.25【分析】根据古典概型的概率计算直接得出结果.【详解】先在十二枚生肖的邮票中抽取3枚，共有种结果，再在除了老虎图案的十一枚邮票中抽取2枚，共有结果，所以恰好有一枚为老虎

9、图案邮票的概率为故答案为：.15在中，D为的中点，若，则_【答案】【分析】法一：利用，借助余弦定理直接计算即可；法二：借助向量，同时平方求出，再借助余弦定理求解.【详解】法一：设，因为，所以，由余弦定理，得，即，所以所以法二：由D为的中点，得，所以，即，所以，所以，所以故答案为：.16如图，在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积的最小值为_【答案】【分析】法一：由平面，平面，得到，又，得到，从而平面，则，取的中点O，连接，则O为三棱维外接球的球心求解法二：将三棱锥可以补成长方体，由为长方体的对角线，也是三棱锥外接球的直径求解【详解】法一：因为平面，平面，所以，又，所以，因为，平面，所以平面，

10、又平面，所以如图，取的中点O，连接，则，故O为三棱维外接球的球心设，则，所以，所以当时，故三棱锥的外接球O的半径的最小值为所以球O的表面积的最小值为法二：根据题意三棱锥可以扩展为如图的长方体，则为长方体的对角线，也是三棱锥外接球的直径因为，设，则，所以，所以当时，故三棱锥的外接球O的半径的最小值为所以球O的表面积的最小值为故答案为：三、解答题17山东为我国最大的“菜园子”和“菜篮子”，蔬菜产量占全国的12%，居全国第一位；农产品出口达到1150.3亿元，占全国的22%，连续20多年领跑全国.寿光、兰陵、章丘等作为代表的蔬菜生产和流通基地为保证人们的菜篮子做出了重要贡献.为了解近年来山东的蔬菜生

11、产状况，统计了近6年山东蔬菜年产量（万吨）如下表：年份201620172018201920202021年份代码123456年产量（万吨）803481338192818184358801(1)根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（用最简分数表示）(2)根据（1）中的线性回归方程，预测今年（2022年）山东蔬菜的年产量.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：.【答案】(1)(2)8769万吨【分析】（1）求出，再利用最小二乘法求出，即可得出答案；（2）当年份为2022年时，年份代码，再根据（1）求得的回归方程即可得出答案.【详解】(1)解：由题意知，又，所以

12、关于的线性回归方程为；(2)解：当年份为2022年时，年份代码，所以，所以可预测2022年山东蔬菜的年产量为8769万吨.18在数列中，(1)求，；(2)求数列的前n项和【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据通项公式求出前3项即可（2）由题，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，利用分组求和即可，注意对项数奇偶的讨论.【详解】(1)因为所以，(2)因为 所以，是以1为首项，4为公差的等差数列，是以4为首项，4为公比的等比数列当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项所以；当n为偶数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项所以所以19如图，三棱柱各棱长均为2，(1)求证：；(2)若二面角

13、的大小为120，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先通过等边三角形三线合一证平面，再证即可；（2）建立空间直角坐标系，由二面角及其他条件求出点的坐标，按照线面角的求法求解即可.【详解】(1)取的中点D，连接，则因为，所以为等边三角形又D为的中点，所以因为，平面，所以平面，又平面，所以(2)由（1）知，为二面角的平面角，所以以D为坐标原点，分别以，为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，则 即 令，得，所以平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则20已知椭圆：，四点，中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若点为的左焦点，点为

14、上位于第一象限的一点，M，N为y轴上的两个动点（点M在轴上方），满足，线段PN交x轴于点Q.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先判断出在椭圆上的三个点，然后代入解方程即可；（2）设出点的坐标，通过，求出坐标之间的关系，最后通过纵坐标绝对值之比求出为定值.【详解】(1)因为四点，中恰有三点在椭圆上，且两点，关于轴对称，所以，在椭圆上，所以.若点也在上，则，与上式联立，无解，故不在上，所以点在上，所以，所以，所以椭圆的方程为.(2)设，由题意知，所以，因为，所以，即， 所以，所以，解得，或（舍）.由得点在轴的负半轴上，所以（定值）.21已知函数(1)当时，求的单调区间；(2

15、)当时，求证：【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）当时，根据的单调性，即可证明；若，利用导数讨论单调性，存在，使得在上单调递增，在上单调递减，得到，又由，得，即，再求出，即可证明【详解】(1)由题意知函数的定义域为，令，则，因为，当时，所以当时，所以所以（即）在上单调递减又，所以当时，；当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为(2)由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，所以；若，当时，所以当时，所以，所以（即）在上单调递减又，所以存在，使得，所以当时，；当，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又由，得，即，所以，因

16、为，所以，所以所以，综上所述，【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数证明不等式22在平面直角坐标系中，直线的方程为；以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.(1)求的直角坐标方程和参数方程；(2)若直线与交于，两点，P为上异于，的一点，求面积的最大值.【答案】(1)，（为参数）(2)【分析】（1）由，直接将极坐标方程化为直角坐标方程，再根据曲线表示圆写出其参数方程.(2)先求出圆心到直线的距离，求出弦的长以及点到直线的距离的最大值为，从而得到三角形的面积的最大值.【详解】(1)由，得，因为，所以，即的直