波动(谐波波函数)

1、1第第2章章 波波 动动1 平面简谐波的描述平面简谐波的描述2 波的能量波的能量3 惠更斯原理惠更斯原理4 波的叠加波的叠加5 驻波驻波6 群速度群速度7 多普勒效应多普勒效应21 平面简谐波的描述平面简谐波的描述一、波的产生一、波的产生二、波面二、波面 波射线波射线三、平面三、平面 S.H.W.的传播的传播四、平面四、平面 S.H.W.的表达式的表达式五、平面五、平面 S.H.W.的复数表示法的复数表示法六、波动方程六、波动方程3一、波的产生一、波的产生1. 机械波产生的条件机械波产生的条件 振源振源 弹性介质弹性介质A真空真空2. 电磁波电磁波 只需振源只需振源 可在真空中传播可在真空中传

2、播3. 物质波物质波 物质的固有性质物质的固有性质振源振源A振动通过振动通过弹性力传播开去弹性力传播开去机械波的传播机械波的传播4二、二、 波面波面 波射线波射线1. 横波横波 纵波纵波横波：横波：各振动方向与波传播方向垂直各振动方向与波传播方向垂直纵波：纵波：各振动方向与波传播方向一致各振动方向与波传播方向一致x横波横波纵波纵波u5水表面的波水表面的波既非横波又既非横波又非纵波非纵波波速波速6x波形图：波形图： 某时刻某时刻 各点振动的位移各点振动的位移 (广义：任一物理量广义：任一物理量) 与相应的平衡位置与相应的平衡位置坐标坐标 x 的关系曲线的关系曲线 u某时刻某时刻思考：思考：上述波

3、形图表示的波一定是横波吗？上述波形图表示的波一定是横波吗？72. .波面波面波射线：波射线：波传播的方向射线波传播的方向射线 波面：波面：某时刻某时刻 同同一波源向外一波源向外 传播的波到达的各传播的波到达的各空间点空间点连成的连成的面面波阵面波阵面波面波面8在各向同性介质中在各向同性介质中点源：点源：波面是球面波面是球面 所以称为所以称为球面波球面波线源：线源：波面是柱面波面是柱面 所以称为所以称为柱面波柱面波面源：面源：波面是平面波面是平面 所以称为所以称为平面波平面波球面波球面波柱面波柱面波平面波平面波9能量能量在各向同性介质中在各向同性介质中球面波球面波柱面波柱面波平面波平面波1) )

4、波面与波射线的关系：波射线垂直波面波面与波射线的关系：波射线垂直波面2) )波射线是波的能量传播方向波射线是波的能量传播方向3) )平面波是最理想的波（一维问题平面波是最理想的波（一维问题 能量不发散）能量不发散）10 三、平面三、平面 S H W 的传播的传播 平面平面: : 波面是平面波面是平面( (一维、能量不损失一维、能量不损失) ) S H W : : 各点均作简谐振动各点均作简谐振动 以绳上横波为例以绳上横波为例 说明波的传播特征说明波的传播特征xu1310741无外界干扰无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处各质点均处在自己的平衡位置处111310741第第1个质点受一干扰个质

5、点受一干扰 准备准备离开自己的离开自己的平衡平衡位置向位置向正正方向振动方向振动13107410t4Tt 第第4个质点个质点准备准备400振动振动状态状态211213107411310741第第7个质点准备个质点准备2Tt 43Tt 第第10个质点准备个质点准备41710213第第13个质点准个质点准备备Tt 14710132当第当第1个质点振动个质点振动1个个周期周期后后 它的它的最初最初的振动的振动相位相位传到第传到第13个质点个质点 从从相位相位来看来看 第第1个质点领先第个质点领先第13点点214结论结论2. . 波长波长 波的周期波的周期 频率频率 波速波速uT1. . 波是波是振动

6、状态振动状态的传播的传播 不是质点的流动不是质点的流动 各点均在自己的平衡位置附近作振动各点均在自己的平衡位置附近作振动15波长：波线上相位差为波长：波线上相位差为2 的的相邻两点相邻两点间的距离间的距离波的周期：一个完整的波通过波的周期：一个完整的波通过某点某点所需的时间所需的时间波的频率：单位时间内通过波的频率：单位时间内通过某点某点完整波的数目完整波的数目波速：振动状态传播的速度波速：振动状态传播的速度131Tu/某点某点波长波长 波速与频率之间的关系：波速与频率之间的关系：163. .波射线上各点振动相位波射线上各点振动相位( (振动状态振动状态) )的关系的关系1) )同时同时看波线

7、上各点看波线上各点 沿传播方向沿传播方向 各点相位依次落后各点相位依次落后1471013x2相差是相差是相距一个波长两点相距一个波长两点相位差是相位差是2 如第如第13点和第点和第1点点或说振动时间差或说振动时间差1个个周期周期则相位差为则相位差为2 17x任意两质元间距为任意两质元间距为P Qu1310741x相距一个波长两点相位差是相距一个波长两点相位差是2 x2相距相距 x的任意两点的相位差的任意两点的相位差182)从两质元振动的从两质元振动的重复性重复性看看2Tt x t 时刻时刻 第第13质元的振动是第质元的振动是第1质元在质元在 t T 时刻的振动时刻的振动 第第1点和第点和第13

8、点之间点之间 间距间距:振动时间差：振动时间差：相位差相位差:19间距为任意间距为任意 x 的两点的关系：的两点的关系：在波线下方在波线下方Q点点 t 时刻的振动是前方时刻的振动是前方P点在点在uxtTxt时的振动时的振动即即2Tt x则则20一般关系：一般关系：若已知波传播若已知波传播P点点的振动形式可用函数的振动形式可用函数 f(t)表示表示Q点与点与P点相距为点相距为l 则则Q点的振动函数是点的振动函数是f (t- l /u)周期性的体现周期性的体现 普遍的结论普遍的结论P Qux同样同样若若Q点点的振动形式是函数的振动形式是函数 f(t) Q点与点与P点相距为点相距为l 则则P 点的振

9、动函数是点的振动函数是f (t+l /u)21四、四、 平面平面 S. H .W .的余弦表达式的余弦表达式已知：波沿着已知：波沿着x轴的正方向传播轴的正方向传播 波源波源a的振动形式为的振动形式为0costAa求：波的表达式求：波的表达式xuoa0lP解：解：任意一点任意一点P坐标为坐标为xx22解：解：任意一点任意一点P坐标为坐标为xxuoa0lPx解法一解法一 相位关系相位关系P点相位落后波源点相位落后波源a的振动相位的振动相位atAP2cos0002coslxtAaP2所以就在所以就在a点振动表达式的基础上改变相位因点振动表达式的基础上改变相位因子就得到了子就得到了P的振动表达式的振动

10、表达式23xuoa0lPx解法二解法二 运动的重复关系运动的重复关系0cosuaPtA002coslxtA00coslxutA24讨论讨论xtA2cos1.向向x轴轴负负向传播向传播xtA2cos2. .角波数（简称波数角波数（简称波数) ) 波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）角波数：角波数：2 长度内含的波长数目（简称波数）长度内含的波长数目（简称波数）2k向向x轴轴正正向传播向传播25平面谐波一般表达：平面谐波一般表达：kxtAcos3. .波的表达式的物理意义波的表达式的物理意义负负（正正）号代表向）号代表向 x 正正（负负）向传播的谐波）向

11、传播的谐波当坐标当坐标 x 确定确定 表达式变成表达式变成t 关系关系 表达了表达了 x 点的振动点的振动如图：如图：Ttox点的振动曲线点的振动曲线26 当时刻当时刻 t 确定确定表达式变成表达式变成-x关系关系 表达了表达了 t 时刻空间各点位时刻空间各点位移分布移分布波形图波形图xot 时刻的波形曲线时刻的波形曲线（空间周期）（空间周期）当坐标当坐标 x 确定确定 表达式变成表达式变成t 关系关系 表达了表达了 x 点的振动点的振动274. .波速波速 相速相速0 xktddktxudd相位传播速度相位传播速度（相速）（相速）const.)( kxt波是振动状态的传播波是振动状态的传播

12、考察某振动状态考察某振动状态即令即令将其全微分将其全微分 有关系式有关系式由速度的定义得出重要关系由速度的定义得出重要关系28五、平面五、平面 S.H.W. .的复数表示法的复数表示法kxtiAekxtiAkxtAsincoskxtiekxtiAeRAekxtA)(cos取取实实部部kxtiAetiikxeAe经典波：经典波：波函数表示实在物理量波函数表示实在物理量 只有取只有取实部才有意义实部才有意义 但可以使计算方便但可以使计算方便量子量子：波函数本身一般就是复数波函数本身一般就是复数29六、波动方程六、波动方程无色散介质无色散介质 一维波动方程一维波动方程222221tux综量是综量是utx 的函数的函数utxf解的形式