弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

1、平面问题的极坐标解答坐标系xyOPP (x, y) 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程直角坐标:极坐标:P (, )xy 采用何种坐标系与物体边界形状有关.从原点出发为正从x轴向y轴方向转动为正 直角坐标 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程xyOl(v)x=0, l = 0(u)x=0, l = 0位移边界条件：q应力边界条件：(yx ) y=-h/2 = 0( y ) y=-h/2 = - q(yx ) y= h/2 = 0( y ) y= h/2 = 0h/2h/2 直边界物体, 采用直角坐标描述边界形状及边界条件十分方便.极坐标 4-1 极坐标中的平衡

2、微分方程极坐标中的平衡微分方程应力边界条件：() = r = 0() = r = - q1() = R = 0() = R = - q2rR 圆弧边界物体, 采用极坐标描述边界形状及边界条件十分方便.极坐标 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程xyAPdBC 扇形边界物体, 采用极坐标描述边界形状及边界条件十分方便. = r = R = = 坐标系比较 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程相同点:不同点: x y 正交坐标系 x y 坐标线为直线; 为直线 为圆弧曲线 x y 为长度量纲; 为长度量纲 为量纲1 x y 方向固定; 不同点方向不同 xy以上区别使

3、弹性力学基本方程在极坐标中发生变化 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程微元体ddPxyAPdBC正面:负面:AC、BCPB、PA+ d+ d+ d+ dff正(负)面上应力沿坐标轴正(负)方向为正,反之为负. = O 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程xyAPdBC+ d+ d+ d+ dffSPA = SBC = d SPB = d SAC = (+d)d VPACB = dd 两面不平行, 夹角为d两面面积不相等, 分别为d , (+d)d 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程xyAPdBC+ d+ d

4、+ d+ dff F = 0 : + d (+d)d - d - + d d sind 2- d sind 2+ + d d cosd 2- d cosd 2+ fdd = 0 sind 2 0 cosd 2 1 = 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程 F = 0 : + d (+d)d - d - + d d sind 2- d sind 2+ + d d cosd 2- d cosd 2+ fdd = 0 sind 2 0 cosd 2 1 = 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程xyAPdBC+ d+ d+ d+ dff F =

5、0 : (+d)d + d d cosd 2- d cosd 2+ + d d sind 2+ d sind 2+ fdd = 0 sind 2 0 cosd 2 1 = + + d- d 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程 F = 0 : (+d)d + d d cosd 2- d cosd 2+ + d d sind 2+ d sind 2+ fdd = 0 sind 2 0 cosd 2 1 = + + d- d 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程 M= 0 : = 极坐标平衡微分方程几何方程 4-2 极坐标中的几何方程及物理方

6、程极坐标中的几何方程及物理方程应变与位移的关系xyOAP：径向线段的线应变：环向线段的线应变：切应变（线段直角的改变）u：径向位移u：环向位移dBPA = dPB = d几何方程xyOAPdBPP = u(i)只有径向位移无环向位移PABAA = u +u dBB = u +ud = PA - PAPA= AA - PPPA= u 径向线应变： 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程C几何方程xyOAPdBPP = u(i)只有径向位移无环向位移PABAA = u +u dBB = u +ud = PB - PBPB= PC - PBPB= 环向线应变：PB PC 4

7、-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程= ( + u ) d u径向位移引起环向线段的伸长应变 ( + u ) d - d = d C几何方程xyOAPdBPP = u(i)只有径向位移无环向位移PABAA = u +u dBB = u +ud = + 切应变：PB PC 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程= ( + u ) d 1= 0 + B PC = BB - PP PB= u几何方程xyOAPdBPP = u(ii)只有环向位移无径向位移PABAA = u +udBB = u +ud = PA - PAPA= PA - PAPA=

8、0 径向线应变： 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程DPA PA几何方程xyOAPdBPP = u(ii)只有环向位移无径向位移PABAA = u +udBB = u +ud = PB - PBPB= BB - PP PB环向线应变： 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程D= 1u几何方程xyOAPdBPP = u(ii)只有环向位移无径向位移PABAA = u +udBB = u +udAA - PP PA切应变： 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程D= u =A PD = PP = - u =-POP

9、= = + = u- u 几何方程 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程径向位移应变 = u = u =1u = 0 环向位移应变 = 1u =u- u = u = u =1u1u+ u- u + 总位移总应变物理方程 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程直角坐标x y 极坐标x y 物理方程 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程平面应力问题E E1 2 1 平面应变问题目的 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程* (x, y) 表示的应力分量, 转化为(, )表示的应力分量; *

10、(x, y) 表示的相容方程, 转化为(, )表示的相容方程. 坐标变换直角坐标极坐标：极坐标直角坐标：(x, y) (, ) 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程坐标变换 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程坐标变换(x, y) (, ) = (x, y) = (x, y)复合函数求导法则：坐标变换 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程坐标变换 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程应力分量 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程xyAPdBCxy = 0体

11、力f = f = 0, 以上应力分量满足平衡微分方程相容方程 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程直角坐标极坐标 4-3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程按应力求解 体力不计, 在极坐标中按应力求解平面问题, 归结为求解应力函数 (, ) . (1) 区域内相容方程应力函数 (, )必须满足: (2) 应力边界条件 (3) 多连体中的位移单值条件4 = 0s = s 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐标表述更直观. 反之也存在.问题的提出 由此需要对应力分量进行坐标变换.

12、 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式坐标变换xy ,y、x、？、将两坐标系下微元体组合yxyxxy已知求 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式坐标变换xy ,y、x、求？、xyOay- xcbyxxy F = 0 : bc = ds ab = ds cosac = ds sinds ds cos cos x- yds sin sin - xyds cos sin - yxds sin cos = 0 已知 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式坐标变换xy ,y、x、求？、xyOaycbyxxy F = 0 : bc = ds ab = ds cosac =

13、 ds sinx = ?已知 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式坐标变换将两坐标系下微元体组合yxyxxy = ? 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式坐标变换已知xy ,y、x、求？、xyO F = 0 : yxyxxy 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式坐标变换xyy、x、 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式坐标变换xyy、x、 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移轴对称= ()物体的形状或某物理量绕一轴对称,yxz通过对称轴的任何面都是对称面.应力轴对称xy= () = 0 = 0 = () 4-5 轴对称应力及相应的

14、位移轴对称应力及相应的位移应力 = () 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称 = ()轴对称应力状态的应力函数通解 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称应力状态下的应力表达式 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应变应变也为轴对称轴对称应力状态下的应变解答 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移位移 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称 4-5 轴对称应力及相

15、应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移应力轴对称轴对称应力状态下的位移解答* 位移不为轴对称* H, I, K 代表刚体位移分量. I, K 为x, y方向刚体平移. H为绕O点角度. 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移说明位移边界条件轴对称，位移轴对称。 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移说明 4-5 轴对称应力及相应的位移轴对称应力及相应的位移说明 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力rR圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变

16、问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。 q1q2 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力应力边界条件：() = r = 0() = r = - q1() = R = 0() = R = - q22个方程3个未知量, 如何求解? 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力位移单值条件：u (1, 1) = u (1, 1+2) 不存在多值项多值项B = 0多连体位移常出现多值函数,需根据位移单值条件排除多值项. 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力单值条件：(1) 多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性条件）

17、。(2) 在连续体中，应力、形变和位移都应为单值。取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。按应力求解：按位移求解：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力单值条件：单连体：对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足；多连体：对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。所以，按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力B = 0拉梅解答 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力应用(i) 只有内

18、压 q1 0, q2 = 0径向受压, 环向受拉 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力应用(i) 只有内压 q1 0, q2 = 0R 具有圆孔的无限大薄板（平面应力）具有圆形孔道的无限大弹性体（平面应变） 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力应用(i) 只有内压 q1 0, q2 = 0与圣维南原理相符 r 如果物体小边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于0）.那么,这个面力就只会使近处产生显著的应力,而远处的应力可以不计。 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力应用(ii) 只有外压 q2 0, q1 = 0径向受压, 环向受压 4-7 压力隧洞压

19、力隧洞工程背景深埋管道: 天然气输送管道; 泄洪管道; 给排水管道.含两种材料, 不符合均匀性假定, 应按接触问题分析. E、 E、 接触面(交界面), 是两弹性体公共的边界, 是它们产生相互作用的位置.横截面形状及面力不沿长度变化, 可简化为平面应变问题. 4-7 压力隧洞压力隧洞分解圆筒R 深埋管道问题可看做尺寸不同的两圆筒的接触问题深埋管道圆筒含孔无限大弹性体rRRE、 E、 rR 4-7 压力隧洞压力隧洞计算轴轴对对称称多连体位移单值条件多连体位移单值条件 B=0 B=0应力：A、C、 A、C = ? 4-7 压力隧洞压力隧洞计算边界条件：() = r = - q圣维南原理圣维南原理(

20、) = 0( ) = 0+ 2C = -qAr22C = 0 4-7 压力隧洞压力隧洞计算接触条件：交界面() = R = () = R + 2C =AR2法向应力相等+ 2CAR23个方程不能确定4个未知数 4-7 压力隧洞压力隧洞计算接触条件：交界面(u) = R = (u) = R uu径向位移相等2C = 0 4-7 压力隧洞压力隧洞计算应力结果：rRn 1 4-7 压力隧洞压力隧洞接触问题特殊情况下的接触: 轴对称rR = = 0() = R = () = R (u) = R = (u) = R 接触条件 4-7 压力隧洞压力隧洞接触问题一般情况下的接触完全接触: 两弹性体在接触面上

21、既不相互脱离也不相互滑动接触条件:(应力)(n) 接触面 = (n)接触面(t) 接触面 = (t)接触面接触条件:(位移)nt(un) 接触面 = (un)接触面(ut) 接触面 = (ut)接触面III接触条件数量与边界条件相同 4-7 压力隧洞压力隧洞接触问题一般情况下的接触非完全接触:光滑接触接触条件:(应力)(n) 接触面 = (n)接触面 0(t) 接触面 = (t)接触面 = 0接触条件:(位移)nt(un) 接触面 = (un)接触面(ut) 接触面 (ut)接触面III两弹性体在接触面上存在滑动 4-7 压力隧洞压力隧洞接触问题一般情况下的接触接触条件:(应力)(n) 接触面

22、 = (n)接触面 0(t) 接触面 = (t)接触面 = max接触条件:(位移)nt(un) 接触面 = (un)接触面(ut) 接触面 (ut)接触面III非完全接触:摩擦滑移接触两弹性体在接触面上存在滑动 4-7 压力隧洞压力隧洞接触问题一般情况下的接触接触条件:(应力)(n) 脱离面 = (n)脱离面 = 0(t)脱离面 = (t)脱离面 = 0ntIII非完全接触:局部脱离接触两弹性体在接触面上存在滑动 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中含孔构件FFFF含孔构件的应力如何计算? 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中含孔构件有孔=F拉A板-A孔无孔=F拉A板有孔 无

23、孔 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中孔口应力集中 孔口附近的应力远大于无孔时的应力, 也远大于距孔口较远处的应力. 这种现象叫做孔口应力集中. 孔口应力集中是由于开孔后发生应力扰动所引起, 在结构设计中应充分注意. 孔口应力集中区域约在距孔边1.5倍孔口尺寸. 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中小孔口问题(1) 孔口尺寸 弹性体尺寸孔口引起的应力扰动局限于小范围内(2) 孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）孔口应力不受边界条件影响 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔口解答(1) 矩形薄板, 在离边界较远处, 有半径为r的小圆孔, 四边受均布拉力 qqqqqxy

24、y = 0 x大圆周处:x = q y = q xy = 0 应力与无孔时相同坐标变换坐标变换 = q 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔口解答(1) 矩形薄板, 在离边界较远处, 有半径为r的小圆孔, 四边受均布拉力 qrRq原问题可转换为圆环或圆筒在外边界受拉力 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔口解答(1) 矩形薄板, 在离边界较远处, 有半径为r的小圆孔, 四边受均布拉力 qq2 = -q r R r /R 0 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔口解答(2) 矩形薄板, 在离边界较远处, 有半径为r的小圆孔, 左右两边受均布拉力 q, 上下两边受均布压力 qqqqqxyyx大圆周处:x = q y = -q xy = 0 应力与无孔时相同坐标变换坐标变换 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔口解答(2) 矩形薄板, 在离边界较远处, 有半径为r的小圆孔, 左右两边受均布拉力 q, 上下两边受均布压力 q 半逆解法 = f1()cos2 = f2()sin2 4 = 0 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中圆孔口解答(2) 矩形薄板, 在离边界较远处, 有半径为r的小圆孔, 左右两边受均布拉力 q, 上下两边受均布压力