矩阵特征值与特征向量的计算课件

1、矩阵特征值与特征向量的计算杨东武机电工程学院课件下载：课件下载：邮箱密码：邮箱密码：ydw_jsff矩阵特征值与特征向量的计算主要内容 矩阵特征值的概念与性质 幂法求取特征值与特征向量 反幂法求取特征值与特征向量 原点平移法 雅克比方法求特征值矩阵特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念对对应应的的特特征征向向量量。与与特特征征值值称称为为矩矩阵阵的的特特征征值值，非非零零列列向向量量称称为为则则数数，满满足足关关系系式式列列向向量量和和非非零零指指，如如果果数数的的特特征征值值与与特特征征向向量量是是阶阶矩矩阵阵所所谓谓AxAxAxxAn00IAxxIAxAx为非零

2、向量为非零向量，且，且的的特特征征值值。就就是是特特征征方方程程的的根根Anii, 2 , 1对对应应的的特特征征向向量量。就就是是与与的的非非零零解解齐齐次次线线性性方方程程组组iiixxIA0特征方程矩阵特征值与特征向量的计算是是对对应应的的特特征征向向量量。的的特特征征值值，是是是是对对应应的的特特征征向向量量，则则的的特特征征值值，是是方方阵阵）如如果果（性性质质：ikkiiixAxA1ikiiikikikiiixAxAAxAxAxAx111证：证：ikixA22ikix对对应应的的特特征征向向量量。仍仍然然是是与与是是对对应应的的特特征征向向量量，则则的的特特征征值值，是是方方阵阵）

3、如如果果（iiiiaaxxA)0(2对对应应的的特特征征向向量量。的的与与是是的的特特征征值值，是是方方阵阵则则是是对对应应的的特特征征向向量量，的的特特征征值值，是是非非奇奇异异矩矩阵阵）如如果果（iiiiiAxAxA11113iiiiiiiiixAxxAAxAxAx1111证：证：矩阵特征值与特征向量的计算是是对对应应的的特特征征向向量量。的的特特征征值值，是是矩矩阵阵是是对对应应的的特特征征向向量量，则则的的特特征征值值，是是方方阵阵如如果果）设设矩矩阵阵（性性质质：iiiixBpxApIAB,4iiiiiiiiiiiixppxxpxAxxpIABxxAx证证：是是对对应应的的特特征征向

4、向量量。的的特特征征值值，是是矩矩阵阵是是对对应应的的特特征征向向量量，则则值值，的的特特征征是是方方阵阵且且为为非非奇奇异异矩矩阵阵）如如果果矩矩阵阵（iiiixBpxApIAB11,5对对应应的的特特征征向向量量。的的与与是是的的特特征征值值，是是方方阵阵则则是是对对应应的的特特征征向向量量，的的特特征征值值，是是非非奇奇异异矩矩阵阵）如如果果（iiiiiAxAxA11113。特特征征值值的的绝绝对对值值，使使得得其其总总可可以以构构造造出出矩矩阵阵：通通过过适适当当选选取取参参数数结结论论0 pBip1。值值则则可可使使其其特特征征值值的的绝绝对对存存在在，若若构构造造矩矩阵阵：通通过过

5、适适当当选选取取参参数数结结论论pBBi11p2矩阵特征值与特征向量的计算线线性性无无关关。，各各不不相相等等，则则，。如如果果是是与与之之对对应应的的特特征征向向量量依依次次，个个特特征征值值，的的是是方方阵阵，）设设（性性质质：nnnnppppppnA212121216多多项项式式）。特特征征具具有有相相同同的的特特征征值值（或或与与相相似似，且且与与则则称称矩矩阵阵，使使阶阶方方阵阵，若若有有可可逆逆矩矩阵阵都都是是，）设设（BABABAPPPnBA17个个特特征征值值。的的即即是是矩矩阵阵相相似似，则则与与对对角角阵阵阶阶方方阵阵推推论论：若若nAAnnn,2121矩阵特征值与特征向量

6、的计算.)()(2122112121AaaanAnnnnniii8；个个特特征征值值，则则的的是是方方阵阵，）设设（性性质质：矩阵特征值与特征向量的计算幂法幂法nnnnxxxxxxAn21212121,),(,是是，且且特特征征值值的的排排列列次次序序对对应应于于特特征征值值，它它们们分分别别是是线线性性无无关关的的即即特特征征向向量量组组有有一一个个完完全全的的特特征征向向量量阶阶矩矩阵阵设设值对应的特征向量。值对应的特征向量。征征收敛于与按模最大的特收敛于与按模最大的特，则向量序列则向量序列，并构造一个迭代公式，并构造一个迭代公式任取一个非零向量任取一个非零向量kkkniiivvvvAvv

7、axav2101110)0(矩阵特征值与特征向量的计算03322110vAvAvAAvvxavkkkkkniii，且且证证明明：niikkiikniikiiniikiniiikkxaxaxaxAaxaAv211111110), 3 , 2(1111kikkiikni时时，所所以以当当因因为为11121111limlimxaxaxavkniikiikkkk即即就就是是的的特特征征向向量量。于于仍仍是是对对应应为为常常数数因因子子，111111xaakk对对应应的的特特征征向向量量。的的与与可可近近似似表表示示矩矩阵阵充充分分大大时时，因因此此，当当1Avkk对对应应的的特特征征向向量量。仍仍然然

8、是是与与是是对对应应的的特特征征向向量量，则则的的特特征征值值，是是方方阵阵）如如果果性性质质（iiiiaaxxA)0( 2矩阵特征值与特征向量的计算值值好好求求吗吗？已已知知特特征征向向量量后后，特特征征？已已知知，问问，且且问问题题转转化化：设设11111xAxx .11111111iixyxyAxy，于于是是，则则令令 ikikkkkkvvvvAvyv111111，因因此此，对对应应的的特特征征向向量量为为于于求求得得的的与与特特别别地地，在在幂幂法法中中，由由矩阵特征值与特征向量的计算使用幂法时的相关问题使用幂法时的相关问题收收敛敛速速度度)1(。，即即值值，则则于于迅迅速速收收敛敛，

9、要要使使因因为为1, 3 , 211212121111rnixaxaxaviniikiiniikiikk0nnxxx2121,特特征征值值线线性性无无关关特特征征向向量量的的计计算算1)2( 可可能能互互不不相相等等。特特征征向向量量的的近近似似值值，的的只只是是对对应应于于以以不不可可能能趋趋于于无无穷穷大大，所所因因为为ikikkvvvk/11 的的计计算算值值。的的均均值值作作为为分分量量之之比比取取11)(/ikikvv越越小小，收收敛敛速速度度越越快快。r矩阵特征值与特征向量的计算使用幂法时的相关问题使用幂法时的相关问题数数值值溢溢出出)3(），计计算算机机数数值值上上溢溢。会会越越

10、来来越越大大（时时，当当），计计算算机机数数值值下下溢溢；会会越越来来越越小小（时时，当当，因因为为kkkkvvxav10111111nnxxx2121,特特征征值值线线性性无无关关特特征征向向量量。代代替替即即用用进进行行规规范范化化，后后，都都对对向向量量所所以以，每每次次计计算算kkkkkkvvvvAvv)max(/1)max(/, 2 , 10100kkkkkvvukAuvuv，式式为为于于是是幂幂法法的的实实际际迭迭代代格格111)max()()max()(kkvxxuiii可以证明：可以证明：矩阵特征值与特征向量的计算1121211111111nnnnxxxA且且有有，相相应应的的

11、特特征征向向量量为为，的的特特征征值值为为因因为为反幂法反幂法.,0,21212121nnnnxxxAnA对对应应的的特特征征向向量量记记为为与与其其次次序序记记为为必必不不为为零零，的的特特征征值值阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵，则则为为设设.11nnnnxAxA及及）的的主主特特征征值值（按按模模最最大大归归结结为为应应用用幂幂法法求求，及及对对应应的的特特征征向向量量的的按按模模最最小小的的特特征征值值所所以以，计计算算应用反幂法应用反幂法称为对称为对A矩阵特征值与特征向量的计算反幂法的迭代公式反幂法的迭代公式)max(/, 2 , 101100kkkkkvvukuAvuv，,时时若若1/1/

12、111nnnnnknnkvxxu1)max()()max()(iii可可修修改改为为：于于是是反反幂幂法法的的迭迭代代公公式式分分解解法法求求取取，对对较较大大），通通常常用用为为避避免免求求逆逆（计计算算量量相相，程程组组实实际际上上是是求求解解非非齐齐次次方方由由于于计计算算LUuAvuAvkkkk111)max(/0100kkkkkkkvvuyUvuLyuv，为上三角阵。为上三角阵。为单位下三角阵，为单位下三角阵，其中，其中，ULLUA,越越小小，收收敛敛速速度度越越快快。则则令令rrnn, 11矩阵特征值与特征向量的计算原点平移法原点平移法.,2112121nnnnAn记记为为似似值值

13、，经经求求出出了了各各特特征征值值的的近近且且通通过过某某种种数数值值方方法法已已，的的特特征征值值为为阶阶矩矩阵阵设设平平移移法法。这这种种方方法法通通常常称称为为原原点点向向量量和和特特征征按按模模最最小小的的特特征征值值则则可可最最终终计计算算出出矩矩阵阵，及及特特征征向向量量特特征征值值用用反反幂幂法法求求按按模模最最小小的的使使，对对满满足足的的特特征征值值，使使得得矩矩阵阵）可可以以构构造造出出矩矩阵阵（.,121nnnnnnnnnnnnnnxAxBBAB1速速度度。加加速速计计算算过过程程中中的的收收敛敛，所所以以原原点点平平移移法法可可以以由由于于11nnnnnn矩阵特征值与特

14、征向量的计算原点平移法原点平移法.0lllllllillllxAxBIABliA和和特特征征向向量量值值的的特特征征，则则可可最最终终计计算算出出矩矩阵阵及及特特征征向向量量特特征征值值的的使使用用反反幂幂法法求求按按模模最最小小，并并对对则则构构造造矩矩阵阵能能够够使使，如如果果其其近近似似值值的的任任意意特特征征值值）对对于于矩矩阵阵（2求求取取。点点平平移移法法应应的的特特征征向向量量可可通通过过原原则则准准确确的的特特征征值值及及其其相相，法法如如的的近近似似特特征征值值得得矩矩阵阵一一般般来来说说，只只要要能能够够求求结结论论：)(QRA矩阵特征值与特征向量的计算雅克比方法雅克比方法

15、量量的的求求取取。的的全全部部特特征征值值及及特特征征向向适适用用范范围围：实实对对称称矩矩阵阵nnTdiagRARRA,1 . 52121使使得得正正交交矩矩阵阵为为实实对对称称矩矩阵阵，则则存存在在）：若若理理论论基基础础（定定理理对对应应的的特特征征向向量量。就就是是与与个个列列向向量量的的第第的的全全部部特特征征值值，而而为为其其中中，jjTnpjRA,21。则则为为相相应应的的特特征征向向量量组组全全部部特特征征值值，而而的的，从从而而获获得得时时，使使得得当当其其中中，令令转转化化为为对对角角阵阵，即即选选择择，逐逐步步地地将将矩矩阵阵的的正正交交理理，设设法法用用一一系系列列简简

16、单单基基本本思思想想：基基于于以以上上定定TkTTTnkTkkkkkkRRRRAdiagAkAAkRARARAR212101),()(, 2 , 1矩阵特征值与特征向量的计算雅克比方法雅克比方法途径：途径：1cossinsincos1),(qpRnk阶平面旋转矩阵阶平面旋转矩阵构造构造行行p行行q列列p列列q为为正正交交矩矩阵阵。，即即容容易易验验证证，),(),(),(qpRIqpRqpRkTkk矩阵特征值与特征向量的计算雅克比方法雅克比方法途径：途径：的的区区别别主主要要体体现现为为：与与于于是是，值值，可可求求得得合合适适的的，且且使使令令110),(),(kkpqkTkkkkAAAqp

17、RAqpRA的的其其它它元元素素均均相相同同；与与列列外外，列列，行行以以及及行行，）除除了了（1kkAAqpqp1列列）的的元元素素为为零零；行行第第列列（或或第第行行第第仍仍为为对对称称矩矩阵阵，且且第第）（pqqpAk2更更接接近近于于对对角角矩矩阵阵。比比变变成成非非零零元元素素，但但中中又又在在非非主主对对角角线线元元素素，可可能能中中经经变变换换后后被被化化为为零零的的）矩矩阵阵（11kkkkAAAA3化化为为对对角角阵阵；旋旋转转变变化化就就把把原原矩矩阵阵）不不能能指指望望通通过过有有限限次次（结结论论：A1),(11nkdiagAk时时，）当当（2矩阵特征值与特征向量的计算雅克比方法雅克比方法？阵阵中中的的哪哪个个元元素素入入手手呢呢我我们们每每次次置置零零时时该该从从矩矩复复，那那么么，该该过过程程通通常常需需要要多多次次反反变变化化的的方方法法置置零零，而而且且通通过过旋旋转转是是将将所所有有非非主主对对角角元元素素既既然然雅雅克克比比方方法法的的思思想想问问题题：零零。行行或或按按列列进进行行扫扫描描、置置对对所所有有非非主主对对角角元元素