第三节函数的单调性与极值PPT学习教案

1、会计学1第三节函数的单调性与极值第三节函数的单调性与极值xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xfabBA若若 在区间（在区间（a,b)上单调上升上单调上升)(xfy 若若 在区间（在区间（a,b)上单调下降上单调下降)(xfy 0)( xf一、函数的单调性0)x(f0)x(f第1页/共24页定理定理1 1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy

2、 1 1 单调性的判别法单调性的判别法第2页/共24页证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 第3页/共24页函数在函数在 内单调增加内单调增加. . , 0解解函数的定义域为函数的定义域为 ., 0，01xy例例1 1判断函数判断函数 的单调性的

3、单调性. .xlny xylnyxo1第4页/共24页例例2 2. 的单调性的单调性判断函数判断函数xeyx 函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注注1:1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性解解. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y).,(:D又又- 3- 2- 11232345注注2 2：函数在定义区间上不是单调的，但在各：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调第5页/共24页1、单调区

4、间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点2、单调区间的划分2 2 单调区间的求法单调区间的求法.,)x(f)x(f)x(f数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程 0 第6页/共24页例例3 3.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf解解).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上

5、单调增加；在在1 ,(时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2第7页/共24页例例4 4.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 解解).,(函数的定义域为函数的定义域为)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0时，时，当当0 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,()., 0 32xy

6、第8页/共24页例例5 5.132,1成立成立试证试证时时当当xxx )1(111)(22 xxxxxxf则则, 0)(), 1(,), 1 )( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；故在故在), 1 ,0)1( f证证xxxf132)( 设设时时，当当1 x0)( xf.132 ,1成立成立时时当当xxx 第9页/共24页31292)(23 xxxxf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 上上单单调调增增加加；在在), 2 二、函数的极值二、函数的极值是函数的分界点是函数的分界点2121 x,x;)(f)x(f,xx均成立均成立

7、邻域内的任何点邻域内的任何点去心去心的一个去心邻域，对此的一个去心邻域，对此因此，存在着点因此，存在着点11 ;)(f)x(f,xx均成立均成立的任何点的任何点去心邻域内去心邻域内的一个去心邻域，对此的一个去心邻域，对此存在着点存在着点22 第10页/共24页oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一般地一般地第11页/共24页.)( )(,)()(,;)( )(,)()(, , ,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果

8、存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义第12页/共24页函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.31292)(23 xxxxf函数函数注注1 1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；：极值是函数的局部性概念，与最值不同；注注2：极大值可能小于极小值：极大值可能小

9、于极小值,极小值可能大于极小值可能大于极大值极大值.第13页/共24页 设设)(xf在点在点 0 x处具有导数处具有导数, ,且在且在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. . 定理定理1(1(必要条件必要条件) ) 例如例如,3xy , 00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x由费马引理易得函数取得极值的必要条件，由费马引理易得函数取得极值的必要条件，.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf注注2:2. 函数极值的求法函数极值的求法注注1:的驻点.的驻点.f(x)f(x)做函数

10、做函数的实根)叫的实根)叫0 0(x)(x)f f程程使导数为零的点(即方使导数为零的点(即方第14页/共24页(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. .定理定理2 (2

11、(第一充分条第一充分条件件) )xyoxyo0 x0 x0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf第15页/共24页xyoxyo0 x0 x0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求求出出导导数数;0)()()2(的根的根的全部驻点，即方程的全部驻点，即方程求出求出 xfxf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号考察考察xf .)4(值值求求出出各各极极值值点点处处的的函函数数(不是极值点情形不是极值点情形)第16页/共24页例例6 6.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf解解)3)(1

12、(3963)()1(2 xxxxxf，令令0)()2( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点极大值极大值x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf0 0 0 00极小值极小值)3(第17页/共24页593)(23 xxxxf图形如下图形如下)3(f极小值极小值.22 )1()4( f极极大大值值,10 MN第18页/共24页定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值

13、处取得极大值证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 设设)(xf在在0 x 处具有二阶导数处具有二阶导数 , ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末 (1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在 0 x 处取得极大值处取得极大值; ; (2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在 0 x 处取得极小值处取得极小值. . 第19页/共24页（2）同理可以证明当）同理可以证明当0)(0 xf函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值时时得寸进尺：0)(0 xf？第20页/共24页解解例例7 7.1)1()(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf，令令0)()2( xf. 1, 0, 1321 xxx得得驻驻点点)15)(1(6)()3(22 xxxf06)0()4( f0)0( f故故极极小小值值 第二充分条件失效。第二充分条件失效。 ,)(f)(f0115 ;)x(fx01 左侧邻近的值时，左侧邻近的值时，取取当当;)x(fx01 右侧邻近的值时，右侧邻近的值时，取取当当点没有极值。点没有极值。在在故故1 x)x(f点也没有极值。点也没有极值。在在同理同理1 x)x(f第21页/共24页.1)1()(32的图形如下的图