高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (22)课件

1、1二、质心二、质心第四节第四节 重积分的应用重积分的应用三、转动惯量三、转动惯量四、引力四、引力一、曲面的面积一、曲面的面积2 d(1) 设曲面设曲面S的方程为：的方程为：),(yxfz ,dD ,d),( yx点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS ,d边边界界为为准准线线以以 如图如图,),(yxMAds xyzo ,dA为为截截切切平平面面 设小区域设小区域母线平行于母线平行于z轴的小柱面轴的小柱面,在在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为D,一、曲面的面积一、曲面的面积上上具具有有在在Dyxf),(.连续偏导数连续偏导数所谓曲面光滑即曲面上各所谓曲面光滑即曲面上各

2、点处都有切平面点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动且当点在曲面上连续移动时时,切平面也连续转动切平面也连续转动.3面上的投影面上的投影在在为为xOyAdd d2211cosyxff d1d22yxffA ),(yxMxyzs o 曲面曲面S的面积元素的面积元素 cosd A DyxffA d122曲面曲面S的面积公式的面积公式 dAd1,yxffn n4(3) 设曲面的方程为设曲面的方程为),(xzhy 曲面面积公式曲面面积公式zdxyyAxzd122 曲面面积公式曲面面积公式(2) 设曲面的方程为设曲面的方程为),(zygx 曲面面积公式曲面面积公式zyxxAzydd122 (1) 设曲面

3、设曲面S的方程为的方程为),(yxfz yxzzAyxdd122 xyDyzDzxD5xyO a a2解解)0,( yx求球面求球面,2222azyx 含在圆柱体含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.例例1由对称性知由对称性知,41AA axyxD 221:曲面方程曲面方程222yxaz aaaD1axyx 22xyzOyxyxaadd222 于是于是, ,yxzzyxdd122 曲面面积元素为曲面面积元素为6xyO a a2D1 1dd4222Dyxyxaa2242aa 极坐标极坐标 rrraad1d422 yxzzADyxdd14122 02 cosa0yxyxaadd

4、222 yxzzyxdd122 cosar 7例例2222ayx 222azx 所截的部分的面积所截的部分的面积. 作出图形在作出图形在第一卦限第一卦限的的A1:22xaz ,22xaxzx 0 yzyxxaadd22 则则222azx 222ayx 解解部分部分yxzzyxdd122 被圆柱面被圆柱面计算圆柱面计算圆柱面(如图如图).222ayx axyzOxyO8yxzzAyxdd1d221 在在第一第一卦卦限限部分面积为部分面积为yxxaaADdd1221 2a 整个面积整个面积2188aAA 222ayx yxxaadd22 axyO222azx 222ayx xyzOyxaxaxaa

5、d1d220220 9(0,0,2a)解解 解方程组解方程组 22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周 azayx222平面上的投影域平面上的投影域xOy在在222:ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ayzy2 求由曲面求由曲面所围立体的表面积所围立体的表面积. .oxyzazyx 22222yxaz 和和)0( a10 221yxzz22221 ayax222441yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz2 Ayxdd2 rrraaad41d0222022 a )15526(62 a 求由曲面求由曲面所围立体的表面积所围立体的表面积.

6、.azyx 22222yxaz 和和)0( axyDxyDyxyxaadd441222 11 MMyx MMxy质点系的总质量质点系的总质量对对x轴的静矩轴的静矩则该质点系的质心的坐标为则该质点系的质心的坐标为它们分别位于它们分别位于,),( ,),(),(2211处处nnyxyxyx质量分别为质量分别为.,21nmmm niiniiimxm11 niiniiimym11(1) 平面薄片的质心平面薄片的质心对对y轴的静矩轴的静矩设设xOy平面上有平面上有n个质点个质点,二、质心二、质心12由元素法由元素法: :,d),( yx,d),( DyyxxM 所以所以, DxyxyM d),(,d),

7、(d yxxMy 设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x, y)处处的面密度为的面密度为),(yx 假定假定在在D上连续上连续,平面薄片的质心平面薄片的质心),(yx 薄片中相应于薄片中相应于 d的部分的质量近似等于的部分的质量近似等于这部分质量可近似看作集中在点这部分质量可近似看作集中在点(x, y)上上,于是可写出静矩元素于是可写出静矩元素: d),(dyxyMx 13注注,d1 DxAx DyAy d1 DA d其其中中所以所以,薄片的质心坐标为薄片的质心坐标为当薄片是当薄片是均匀均匀的的,质心称为质心称为,d),(d),( DDyyxyx

8、xMMx DDxyxyxyMMy d),(d),(形心形心. .平面的面积平面的面积. .14设物体占有空间域设物体占有空间域 , ,有连续密度函数有连续密度函数 vzyxvzyxxxd),(d),(则其质心坐标为则其质心坐标为常数常数时时, ,则得则得形心形心坐标坐标,dVvxx vVd物体的体积物体的体积. .(2) 物体的质心物体的质心 yyzz当物体是当物体是均匀均匀的的,dVvyy Vvzz d其中其中M ),(zyx 即即当当),(zyx 15b例例3 求位于两圆求位于两圆,cos ar cosbr )0(ba 之间的之间的均匀均匀薄片的质心薄片的质心.axyO, 0 y DxAx

9、 d1 .)(222ababab 解解 薄片关于薄片关于x轴对称轴对称.,d1 DxAx DyAy d1则则22222 ayax cosar sincosryrx2222 ab 20coscosdcosd2 barrr质心质心).0 ,)(2(22ababab 16一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, ,剖面剖面壁线的方程为壁线的方程为30,)3(922 zzzx若炉内储有高为若炉内储有高为h的均质钢液的均质钢液, ,不计不计由由对称性对称性知质心在知质心在 z 轴上，轴上，, 0 yx炉壁方程为炉壁方程为9)3(222zzyx VzyxzVMzz ddd故故炉体的自重炉体的自重, ,求

10、它的质心求它的质心. .例例4解解222)3()(9zzyx zDhyxzddd0 zyxVddd)41229(922hhh hzzz02d)3(9 h222)3()(9zzyx zDOyxz17VzyxzVMzz ddd hzzz022d)3(9 zyxzMzddd)51233(923hhh 225409043060hhhhhVMzz )41229(922hhhV 质心为质心为.5409043060, 0, 022 hhhhh9)3(222zzyx zDhyxzzddd018(1) 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量设平面薄片占有平面区域设平面薄片占有平面区域D, DxyxI d),( D

11、oyxI d),( 则转动惯量为则转动惯量为D2y2x)(22yx DyyxI d),( yxO有连续密度函数有连续密度函数),(yx 三、转动惯量三、转动惯量19设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , ,),(zyx vzyxIxd),()(22zy (2) 物体的转动惯量物体的转动惯量则转动惯量为则转动惯量为Oxyz vzyxIyd),()(22zx vzyxIzd),()(22yx vzyxId),(0)(222zyx 有连续的密度函数有连续的密度函数20abyxxIDydd2 bbyaxxy0)1(02dd ba3121 )1(axby 例例5解解设一设一均匀均匀的直角三角形薄板的直

12、角三角形薄板, ,两直角边长分别两直角边长分别求这三角形对任一直角边的转动惯量求这三角形对任一直角边的转动惯量. .为为a、b,设三角形的两直角边分别设三角形的两直角边分别在在x轴和轴和y轴上轴上( (如图如图) )yxO对对y轴轴的转动惯量为的转动惯量为yxyIDxdd2 .1213 ab 对对x轴轴的转动惯量为的转动惯量为21用用元素法元素法求求薄片对薄片对z轴上的单位质点的引力轴上的单位质点的引力zyxFFFd,d,d d引力在三个坐标轴上的投影引力在三个坐标轴上的投影 zyxFFF,(1)平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy面上的闭区域

13、面上的闭区域D,在点在点(x, y)处处的面密度为的面密度为),(yx 假定假定在在D上连续上连续,计算该平面薄片对位于计算该平面薄片对位于z轴上的点轴上的点),(yx 处的处的单位质点单位质点的引力的引力.), 0 , 0(0aM)0( a元素元素.OxyzD 薄片中薄片中 d的大小近似地为的大小近似地为 Fd的部分对该质点的引力的部分对该质点的引力2r k d),(yx 1), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 四、引力四、引力221rmmkF ).,(zyxFFFF 22222)0()0()0(ayxr 222ayx 引力的引力的方向方向0,ayx 方向余弦方向余弦 raryrx, 薄片

14、中薄片中 上的投影上的投影 的元素的元素:zyxFFF,d),(d3ryxkxFx ,d),(d3ryxkyFy .d),(d3ryxkaFz 薄片中薄片中 的的大小大小近似地为近似地为2d),(1dryxkF 的部分对该质点的引力的部分对该质点的引力 d d 的对该质点的引力在三个坐标轴的对该质点的引力在三个坐标轴OxyzD d), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 23,d)(),(23222 DxayxxyxkF,d)(),(23222 DyayxyyxkF.d)(),(23222 DzayxyxakFk为引力常数为引力常数.,d),(d3ryxkxFx ,d),(d3ryxkyFy .

15、d),(d3ryxkaFz OxyzD d), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 24(2) 物体对质点的引力物体对质点的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , ,),(zyx 物体对于物体外一点物体对于物体外一点),(zyxFFFF 利用利用元素法元素法, , cosd),(1d2rvzyxkFx cosd),(1d2rvzyxkFy 有连续有连续分布分布的密度的密度引力元素在三坐标轴上的投影分别引力元素在三坐标轴上的投影分别空间一物体对于物体外一点空间一物体对于物体外一点),(0000zyxP处的处的单位质量单位质量的质点的引力的质点的引力. .函数函数),(0000zyxP的单位质

16、量的质点的引力的单位质量的质点的引力为为30)d)(,(rvxxzyxk 30)d)(,(rvyyzyxk 30)d)(,(rvzzzyxk cosd),(1d3rvzyxkFz 25 vryyzyxkFyd)( ),(3030)d)(,(drvxxzyxkFx 30)d)(,(drvyyzyxkFy 30)d)(,(drvzzzyxkFz 在在 上分别积分上分别积分, ,得得vrxxzyxkFxd)(,(30 vrzzzyxkFzd)( ),(30 26Foyzx0 yxFF设有面密度为常量设有面密度为常量, ,半径为半径为R的均匀圆的薄片的均匀圆的薄片求它对位于点求它对位于点 由由对称性对

17、称性知知, 0,222 zRyx)0(), 0 , 0(0 aaM处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力. . 例例6解解), 0 , 0(0aMrrarakRd)(1d0222023.11222 aaRka 引力为引力为 d)(123222 Dayxak d)(),(23222 DzayxyxakF极坐标极坐标).,0,0(zFF 27几何应用几何应用平面薄片、空间物体的平面薄片、空间物体的质心质心平面薄片、空间物体平面薄片、空间物体对质点的对质点的引力引力 平面的面积平面的面积物理应用物理应用小结小结曲面的面积曲面的面积体积体积平面薄片、空间物体的平面薄片、空间物体的转动惯量转动惯量

18、 28)(th( t为时间为时间)的雪堆在融化的雪堆在融化,)()(2)(22thyxthz 设长度单位为厘米设长度单位为厘米, , 时间单位为小时时间单位为小时, , 设有一高度为设有一高度为已知体积已知体积( (比例系数比例系数0.9),0.9),问问高度为高度为130(130(厘米厘米) )的雪堆全部融化需要多少小时的雪堆全部融化需要多少小时? ? 思考题思考题过程中过程中, ,其侧面满足方程其侧面满足方程减少的速率与侧面积成正比减少的速率与侧面积成正比记雪堆体积为记雪堆体积为V, 侧面积为侧面积为 S ,则则解解 zDyxdd )(0dthz V)()(21:222zththyxDz )(43th xOyzzD29)(21:222thyxD S Dyxyxzzdd122)(12132th )(43thV )()(2)(22thyxthz Dyxthyxdd)